Урок алгебры приведенное квадратное уравнение

Разработка урока алгебры в 8 классе «приведенные квадратные уравнения. Теорема Виета»
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Разработка урока алгебры в 8 классе «приведенные квадратные уравнения. Теорема Виета». Урок с использованием проблемной технологии и исследовательской работы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Приведенные квадратные уравнения. Теорема Виета.

Приведенные квадратные уравнения ax² + bx +c =0, a≠0 а=1 x² + bx +c =0 x²+px+q=0

Если ч исла х 1 и х 2 являются корнями уравнения х 2 +рх+q=0 то справедливы формулы т.е.сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Теорема Виета.

Родился в 1540 году в городе Фонтен-ле-Конт , в провинции Пуату. По образованию был юристом, но глубоко занимался многими науками, прежде всего астрономией, астрологией и даже криптографией (тайнописью). Всё это заставило Виета обратиться к тригонометрии и алгебре, в которых он сделал немало открытий. Ему принадлежит установление единого способа решения уравнений 2-й, 3-й, и 4-й степеней, но больше всего сам ученый оценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Именно за это его до сих пор называют «отцом алгебры». Сам «отец алгебры» не признавал слово «алгебра», считал его языческим, варварским. То, чем он занимался, Франсуа Виет называл «аналитическим искусством». В 2011 году исполнилось 4 2 0 лет со дня опубликования теоремы Виета, ставшей ныне самым знаковым утверждением школьной алгебры. Франсуа Виет(1540-1603)

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. x 1 + x 2 = -p x 1 · x 2 = q

Применение теоремы Виета 1. х²-16х+28=0 2. х²-12х-45=0 3. х²-27х=0 4. х²-12=0 х 1 + х 2 = 16 х 1 ·х 2 =28 х 1 + х 2 =12 х 1 ·х 2 =-45 х 1 + х 2 =27 х 1 ·х 2 =0 х 1 + х 2 = 0 х 1 ·х 2 =-12 а) для нахождения суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения:

Применение теоремы Виета 2 и 3 1 и 6 нет да нет -5 и 4 -4 и 5 нет нет нет да да 2 и -10 -2 и 9 -3 и 6 -6 и 3 Б) Для проверки правильности решения (Являются ли данные числа корнями уравнения ?)

в ) для составления квадратного уравнения по заданным корням. Задача: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа 8 и – 5. -р = 8 + (- 5) и q = 8  (- 5) р = — 3 q = — 40 Применение теоремы Виета

Применение теоремы Виета х²-7х+10=0 г ) Не применяя формулу корней , найти второй корень

Применение теоремы Виета д )для решения уравнений

Продолжите фразу: “Сегодня на уроке я узнал. ” “Сегодня на уроке я научился. ” “Сегодня на уроке я познакомился. ” “Сегодня на уроке я повторил . ” “Сегодня на уроке я закрепил. ”

Применение теоремы Виета ж)для нахождения коэффициентов уравнения 1.В уравнении х 2 — 12х + с = 0, один из корней х 1 =5. Найдите другой корень и коэффициент с. 2. В уравнении х 2 +рх + 15 = 0, один из корней х 1 =3. Найдите другой корень и коэффициент р.

Заполните таблицу. 1.Найдите сумму и произведение корней уравнения х 2 + 8х +7 = 0. 2.Решите уравнение х 2 + 9х + 20 = 0. 3.Определите знаки корней уравнения х 2 +5х-36=0. 4.Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 и 5. 5.Разложите квадратный трехчлен на множители х 2 +2х-48. 6.В уравнении х 2 + p х — 4 2=0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p .

Урок по теме «Приведенное квадратное уравнение»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Презентация к уроку.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Правильные ответы 1-З; 2-Е; 3-А; 4-К; 5-Б; 6-И; 7-Д; 8-В; 9-Г; 10-Л; 11-Ж.

Приведённое квадратное уравнение

Дискриминант уравнения равен

ЗАПОЛНИТЬ ТАБЛИЦУ p q Кол-во корней -6 -3 8 1 Два 4 2 5 -1 Нет -10 -5 25 0 Один -8 -4 12 4 Два 3 1,5 3 -0,75 нет

Самостоятельная работа Вариант 1 а) 2;3 б) — 5;- 3 в) – 1; 9 г) – 2; 5 Вариант 2 а) 2;4 б) — 3; 5 в) – 3;- 2 г) – 8; 1 Вариант 3 а) 2 б) — 3; — 1 в) корней нет г) – 12; — 4

Историческая справка Знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540–1603).

Домашнее задание п.4.5, № 258 ( 1 ст.), 259

Вопросы: Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением? По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного уравнения ? От чего зависит число корней приведенного квадратного уравнения? Что называют дискриминантом приведенного квадратного уравнения? Как связаны корни приведенного квадратного уравнения и его коэффициенты? Кто установил эту связь?

Выбранный для просмотра документ Приведенное квадратное уравнение. Конспект..doc

«Квадратное уравнение. Приведённое квадратное уравнение».

Форма проведения: урок изучения нового материала

Образовательные: предоставить учащимся возможности познакомиться и изучить приведенное квадратное уравнение, способствовать пониманию и первичному закреплению алгоритма решения приведенного квадратного уравнения.

Воспитательные: повышение коммуникативной активности учащихся, формирование умения аргументировать свою точку зрения, разумно оценивать работу своего товарища.

Развивающие : развивать способности учащихся к усвоению новой информации, формировать умение сравнивать, анализировать, кратко и четко выражать свое мнение.

1. Организационный момент .

Ребята перед уроком поделены на группы. У каждой группы на столах листы самооценки. Приложение 1. Лист самооценки. Листы разбираются, подписываются. На листах самооценки по просьбе учителя ученики подчеркивают те темы, с которыми они уже знакомы. Озвучивают их.

2. Актуализация знаний.

А) Давайте проверим, как хорошо усвоены изученные нами темы. Предлагается «Математическое лото». Приложение 2. Перед учащимися листы с заданиями и листочки с ответами. Распределяются сами в группе, кто какое задание решает. Полученный ответ укладывается на то место, где ему следует находиться в лото. В результате на листе с ответами получается картинка. Картинка сложена правильно – оценка «5».

Учитель оговаривает временные рамки и строго следит за временем.

Время вышло – группа оценивает себя.

Выясняется, какие трудности испытывали группы, кто где ошибся и что нужно повторить, чтобы избежать ошибки в следующий раз.

Ребята оценивают себя.

Б) Предлагается следующее задание: найти соответствия между словесной формулировкой и буквенным выражением. Приложение 3 . Оговариваются временные рамки выполнения задания.

Ребята проверяют задание, сравнивая с ответами из презентации. Слайд 1.

В) Предлагается самостоятельная работа в трех вариантах. Приложение 4. Ребята оценивают себя.

При рефлексии на данном этапе выясняется, что на последний вопрос о п риведенном квадратном уравнении ребята ответили только методом исключения других ответов. Эта тема им незнакома. Ставят перед собой цель изучить приведенное уравнение. Ставят задачи: научиться находить дискриминант и корни приведенного уравнения.

Учитель объявляет, что эта тема и будет изучаться ими на уроке и просит записать тему в лист самооценки. Слайд 2. Тем самым осуществляется 3 этап урока: постановка цели и задач урока, мотивация учебной деятельности учащихся.

4. Первичное усвоение новых знаний.

Учитель предлагает в известном виде квадратного трехчлена ax 2 + bx + c заменить a =1, b = q , c = p .

Выйти к доске, записать получившийся квадратный трехчлен x 2 + px + q . Записать, как будет выглядеть дискриминант, выраженный через буквы p , q .

Сравнить полученные записи с правильными записями в презентации. Слайд 3,4.

5. Первичная проверка понимания

Далее работа идет по презентации.

Предлагается заполнить таблицу. Слайд 5.

Проверить себя можно по слайду 6. Ребята оценивают себя, предварительно оговорив критерии оценивания. Выясняют, какие трудности возникли, каких знаний не хватило для правильного выполнения работы.

6. Первичное закрепление.

Предлагается самостоятельная работа для каждой из трех групп своя. Приложение 5. Учащиеся самостоятельно решают, обмениваются тетрадями и проверяют результаты. Слайд 7. Критерии оценивания оговорены в листе самооценки. Подводят итоги, выясняют затруднения.

Далее – историческая справка, подготовленная одним из обучающихся. Слайд 8. Приложение 5.

7. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению. Слайд 9 (учебник Никольского).

Ответы на вопросы по изученной теме. Слайд 10.

8. Рефлексия (подведение итогов занятия)

На уроке я успел сделать…

В результате я узнал и научился…

Я не понял, у меня не получилось…

Приложение 6 – презентация к уроку.

«Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета». — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемschool44.tyumen-edu.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета».» — Транскрипт:

1 «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»

2 Квадратные уравнения Произвольные произвольные квадратные уравнения приведенные квадратные уравнения полные неполные Формула корней квадратного уравнения D =? Х =?

3 Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения. Определение. Квадратное уравнение вида называется приведенным. Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице. Пример: Всякое квадратное уравнение может быть приведено к указанному виду. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на

4 Вывод формулы корней приведенного квадратного уравнения

5 Реши уравнения УравнениеКорни уравнения Сумма корней Произведение корней 1.х 2 + х –12 = 0 2.х х – 45 = 0 3.у 2 + 8у +15 = у 2 — 5у +6 = 0 5.z 2 -10z +21 = z 2 — 3z -10 = 0 3 и –4 15 и и –5 3 и 7 2 и 3 5 и Найдите связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Сделайте вывод.

6 Как связаны между собой корни квадратного трёхчленаи его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета. Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.

7 Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену Теорема Виета: х 2 + рх + q= 0, х 1 + х 2 = -р, х 1 х 2 = q. Докажите теорему самостоятельно по следующему плану: 1. Запишите приведенное квадратное уравнение. 2. Запишите формулы его корней. 3. Найдите сумму и произведение его корней. 4. Сделайте вывод.

8 Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II. Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом. Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»

9 Если числа и таковы,… …что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх+ q = 0 Справедливо ли это утверждение? Сформулируем утверждение, обратное теореме Виета.

10 Пример: Найти корни уравнения х 2 — 5х + 6 = 0 Решение: p = -5; q = 6. x 1 + x 2 = 5, x 1 x 2 = 6; Значит, числа х 1 и х 2 положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 2 и 3, значит, х 1 = 2, х 2 = 3 – корни уравнения. Ответ: 2; 3.

11 Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 ? По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова? В числителе с, в знаменателе а. А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда! В числителе b, в знаменателе а. Запиши символами то, что сказано словами.

12 Для чего нужна теорема Виета? 1. Она позволяет находить подбором корни квадратного уравнения. 2. По данным двум числам составлять квадратное уравнение. практическое значение 3. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его. 4. Зная один из корней, найти другой. 5. Определить знаки корней уравнения.

13 Для чего нужна теорема Виета? Практическое значение: зная корни квадратного уравнения, запишем само уравнение Пример: т = 6, n = -2 ; х 2 + р х + q = 0. т + n = 6 +(-2)= 4, р = -4; т n = 6 (-2)= -12, q = -12. х 2 – 4 х –12 = 0

14 Запишите квадратное уравнение, корни которого равны: а) 3 и 4 ; б) — 2 и 5 ; в) 0,4 и 1,5 х 2 – 7х + 12 = 0 х 2 – 3х – 10 = 0 х 2 – 1,9х + 0,6 = 0 Проверь себя!

15 Подведение итогов Ответьте на вопросы: 1. Какие уравнения называются приведенными? 2. Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным? 3. Сформулируйте теорему Виета. 4. Зачем нужна теорема Виета? 5. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

16 Подведение итогов Ответьте на вопросы: 6. Чему равна сумма и произведение корней уравнения: