Урок дифференциальные уравнения 11 класс

Пезентация на тему — Дифференциальные уравнения (11 класс)
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Пезентация на тему — Дифференциальные уравнения (11 класс)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Дифференциальные уравнения ГБОУ №1392 им. Д. Рябинкина Давтян Римма Артемовна

Порядок дифференциального уравнения

Линейное дифференциальное уравнение

Однородное дифференциальное уравнение

Решение дифференциального уравнения

Общее и частное решение

Уравнение первого порядка

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок по теме:»Решение уравнений» 5 класс

Урок математики в 5 классе по теме:»Решение уравнений» представлен в виде виртуального путешествия по планетам солнечной системы. В уроке просматривается межпредметная связь с астрономией, рисованием.

Разработка урока по теме «Логарифмические уравнения», 10 класс

Логарифмические уравнения. Меркулова Ирина Николаевна, МОУ СОШ №2 р.п. Мокроус, учитель математики, Саратовская область. Предмет (направленность): математика. Возраст детей: 16 лет, 10 класс. Мест.

Обощающий урок по теме «Решение уравнений» 7 класс

В форме дидактической игры повторение понятия корень уравнения, решение уравнения. Закрепление умения решать и исоставлять уравнения.

Презентация к уроку математики по теме «Решение уравнений» ( 5 класс)

Презентация по теме «Решение уравнений» ( 5 класс) подготовлена к уроку обьяснения решения усложнённых уравнений на основании зависимостей между компонентами и свойств арифметических.

разработка факультатива по теме «Дифференциальный уравнения первого порядка»

в данном материале дан развернутый материал, который поможет преподавателю Алгебры и начала анализа.

Конспект урока алгебры в 9 классе по теме «Рациональные уравнения» ( для классов с углубленным изучением математики)

Урок-КВН, основная часть — математическая эстафета, где ответ предыдущего задания является условием следующего.

Урок-лекция «Дифференциальные уравнения», 11 класс (углубление).

Урок разработан для классов с углубленным изучением математики. Материал математического анализа подаётся на доступном для школьников уровне. Знания полученные обучающимися на этом уроке не будут вост.

Урок-лекция «Дифференциальные уравнения», 11 класс (углубление).
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок разработан для классов с углубленным изучением математики. Материал математического анализа подаётся на доступном для школьников уровне. Знания полученные обучающимися на этом уроке не будут востребованы при подготовке к ЕГЭ, но не будут лишними для успешного обучения в ВУЗах соответствующих профилей. Разработка может быть использована для проведения факультативных занятий по математическому анализу.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Дифференциальные уравнения»

Форма урока: лекция

Цель урока: формирование понятий – дифференциальное уравнение, решение дифференциальных уравнений (общее, частные особые).

1. Постановка цели урока и домашнее задание.
2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
3. Определение дифференциального уравнения; определение решения дифференциального уравнения.
4. Интегральные кривые.
5. Определение общего решения дифференциального уравнения; определение частного решения дифференциального уравнения. Замечания об особых решениях дифференциального уравнения (д.у.).
6. Решение упражнений.
7. Итоги урока.

К пункту 3: Пример1. Показать, что функция является решением дифференциального уравнения . Имеет ли это д.у. другие решения?

Пример 2. Решить д.у. .

Пример 3. Решить д.у. .

К пункту 4:Пример 1. Решить д.у. в общем виде и прикинуть положение интегральных кривых.

Пример 2. Построить интегральные кривые д.у. .

Пример 3. Докажите, что — решения д.у. и постройте интегральные кривые.

К пункту 5:Пример 1. Найти частное решение д.у. , удовлетворяющее условию .

Пример 2. Подобрать общее решение и особые решения д.у. ; построить интегральные кривые.

К пункту 6: № 1. Решите д.у.: а) ;

№2. Решите д.у. и выделите интегральную кривую, проходящую через заданную точку:

Домашнее задание: №10 (Вил.),

Многие законы физики связывают величины со скоростями их измерения. Пусть материальная точка массой движется по прямой линии под действием силы , направленной также по прямой.

По второму закону Ньютона: (1).

Из (1) и (2) следует (3).

Уравнение (3) называется дифференциальным, а наивысший порядок производной в этом уравнении называют порядком дифференциального уравнения.

До сих пор мы встречались только с уравнениями вида , содержащими неизвестную переменную . Задача решения такого уравнения заключается в том, чтобы найти все значения переменной , при подстановке которых в данное уравнение получается верное равенство.

Однако ряд важнейших задач физики, математики и ее приложений приводит к необходимости решать уравнения более сложного вида, где неизвестной является не величина , а некоторая функция , причем уравнение наряду с и содержит еще и производные (до какого-то n-го порядка). Например: ; ; .

3. Определение д.у. и определение решения д.у.

Определение: д ифференциальное уравнение

Уравнение, связывающее независимую переменную с неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка включительно, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Задание (устно): Определите порядок д.у. а) ;

Определение: решение дифференциального уравнения

Решением дифференциального уравнения называется функция , дифференцируемая, по крайней мере, раз и такая, что при подстановке ее в уравнение последнее обращается в тождество.

№1. Показать, что функция является решением уравнения (4).

Подставим и в уравнение (4): — верно, следовательно — решение уравнения (4).

! Однако функция не единственное решение уравнения (4).

? Какие еще функции являются решением уравнения (4)? ; и т.д., т.е. , где — произвольная постоянная.

Убедимся, что функция , где — произвольная постоянная, решение уравнения (4): подставим и в уравнение (4): — верно.

Итак, , ; и т.д. частные решения уравнения (4); — общее решение уравнения (4). Все частные решения являются результатом подстановок в общее решение конкретных значений произвольной постоянной.

№2. Решить уравнение .

Возможно непосредственное интегрирование:

Здесь дважды применялось 1 свойство неопределенного интеграла: .

Ответ: — это общее решение, частные решение можно получить при подстановке в общее решение конкретных значений произвольных постоянных и .

№3. Решите уравнение .

Замечание: количество произвольных постоянных в общем решении д.у. равно порядку этого уравнения.

4. Интегральные кривые

Определение: интегральные кривые

Графики функций – решений дифференциального уравнения называют интегральными кривыми этого уравнения.

№1. Решить д.у. (5) в общем виде и прикинуть положения интегральных кривых.

Решение: , где — первообразная функции , — произвольная постоянная.

Итак, уравнение (5) имеет бесконечное множество решений. Их графики (интегральные кривые уравнения (5)) получаются путем параллельного переноса графика функции вдоль оси на , при этом через каждую точку , такую что функция непрерывна при , проходит одна и только одна интегральная кривая.

№2. Постройте интегральные кривые уравнения (4).

Общее решение уравнения (4) имеет вид . При этом через точку, кроме начала координат проходит одна и только одна интегральная кривая.

! Начало координат – особая точка для д.у. (4). В этой точке и уравнение (4) не имеет смысла.

№3. Докажите, что — решение д.у. (6) и постройте его интегральные кривые.

Подставим и в д.у. (6):

Итак, — общее решение д.у. (6), причем

— уравнение окружности с центром и радиусом .

Интегральными кривыми уравнения (6) являются окружности с центром в начале координат.

! Ни дна из них не проходит через начало координат.

5. Определение общего и частного решений д.у., замечание об особом решении д.у.

Определение: общее решение д.у. первого порядка

Функцию , где — произвольная постоянная, называют общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области , если:

1. для она является решением этого д.у., т.е. ;
2. для точки из области существует единственное значение , при котором линия проходит через точку , т.е. .

1. — общее решение уравнения на всей плоскости, проколотой в начале координат.

2. — общее решение д.у. на всей плоскости, проколотой в начале координат.

Определение: частное решение д.у.

Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего решения путем придания определенного значения произвольной постоянной, называется частным решением этого уравнения.

№1. Найдите частное решение д.у. (6), удовлетворяющее условию

Общее решение д.у. (6) имеет вид .

Чтобы найти частное решение, положим и , т.е.

Итак, (знак выбран с учетом ).

Замечание: наряду с общими и частными решениями д.у. может иметь особые решения.

№2. Подобрать общее решение и особые решения д.у. (7); построить интегральные кривые.

1) общее решение — .

Интегральные кривые – семейство синусоид.

Убедимся в том, что — решение д.у. (7), подставим и в уравнение 7:

2) кроме этого уравнение (7) имеет два особых решения: и , графики которых в каждой точке касаются проходящего через эту точку графика частного решения.

6. Решение упражнений

№1. Решите д.у. а) ; б) .

№2. Решите д.у. (8) и выделите интегральную кривую, проходящую через точку а) ; б) ; в) .

Ответ: — общее решение д.у. (8).

а) Так как , то .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа по математике 8 класс,углубленный курс

Рабочая программа алгебры 8 класс составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования.Данная рабочая программа по математике ориентирована на уча.

Контрольная работа по алгебре. 8 класс (углубленное изучение). Квадратные уравнения

Контрольная работа по алгебре по теме: «Многочлены. Уравнения и системы уравнений высших степеней. Теорема Безу. Повторение». 9 класс ( углубленный уровень).

В контрольной работе содержится подборка заданий углубленного уровня по теме «Многочлены. Теорема Безу. Деление с остатком. Повторение». Для сильных ребят в этой теме необходимо рассмотреть .

Контрольная работа по алгебре по теме: «Многочлены. Уравнения и системы уравнений высших степеней. Теорема Безу. Повторение». 9 класс ( углубленный уровень). Вариант 2

План-конспект урока в 8 классе (углубленный уровень) УМК О.В. АФАНАСЬЕВА И. В. МИХЕЕВА АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК для VIII класса школ с углубленным изучением английского языка, лицеев и гимназий Допущено Министерством образования Российской Федерации 3-е издание М

План-конспект. ВВедение новых лексических единиц.

Занятие кружка «Экспериментальная физика» 9 класс Тема «Оптика» 9 класс углубленное изучение

В рамках дистанционного проведения занятий обучающимся предлагается подробный план занятия кружка.

Технологическая карта урока «Умножение смешанных чисел» в 5 классе по учебнику Г. В. Дорофеев, Л.Г.Петерсон «Математика 5 класс», углубленный уровень

Тема урока «Умножение смешанных чисел»(3 из 5 уроков по теме «Умножение дробей»)Учебник: Г. В. Дорофеев, Л.Г.Петерсон «Математика 5 класс», углубленный уровен.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v₀t+at 2 /2

Найдем все первообразные функции 4t+4

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

Ответ: х=2t 2 +4t+10

№2. Найдите c при частном решении, у’ = x, если при х = 1 у = 0 .

Найдем все первообразные уравнения у’ , это будет общее решение уравнения :

Найдем число С , такое х = 1 у = 0 .

Подставим х = 1, y = 0 , в общее решение и получим:

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Найдем все первообразные функции 4х+5