Урок геометрии в 11 классе уравнение сферы

Урок по геометрии в 11 классе «Сфера и шар. Уравнение сферы»
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Хорошая мотивационная часть, настраивающая обучающихся только на успех; связь с астрономией

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок геометрии в 11-м классе по теме «Сфера и шар. Уравнение сферы»

Цель: ввести понятие сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, научить решать задачи по данной теме.

Кратчайший путь — путь по прямой?

1. Мотивация изучения темы

Учитель: Наметив мелом две точки на классной доске, учительница предлагает юному школьнику задачу:начертить кратчайший путь между этими точками.

Ученик, подумав, старательно выводит между ними извилистую линию.

— Вот так кратчайший путь! -удивляется учительница. — Кто тебя так научил?

— Мой папа. Он шофер такси.

Чертеж наивного ученика,конечно, анекдотичен, но разве кратчайшим расстоянием от мыса Доброй Надежды до южной оконечности Австралии является отрезок? Нет, это дуга, которая называется ортодромия, и изучается все это в сферической геометрии, которая очень важна для мореплавания и астрономии.

Сегодня мы затронем маленький кусочек этой геометрии и займемся изучением сферы и шара. (слайд № 1)

2. Объяснение новой темы

— Вспомните определение окружности (Окружность геометрическая фигура, состоящая из всех точек,расположенных на заданном расстоянии от данной точки). (слайд № 2)

— Дайте определение сферы (Сфера- поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки). (слайд № 3)

— А что же по этому поводу говорит словарь? (Сообщение ученика)

Сферой называют поверхность шара. У нее есть замечательное свойство: все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от некоторой точки, находящейся внутри — центра сферы. Если разрезать сферу плоскостью, то получим окружность. Сфера единственная поверхность, при пересечении которой плоскостью всегда получается окружность. Если пересекающая плоскость проходит через центр сферы, то полученная окружность будет самой большой. Еще одно важное свойство: из всех сосудов одинаковой вместимости у сферического наименьшая поверхность.

— По аналогии с окружностью,дайте определение радиуса сферы, центра и диаметра сферы. (Диаметр сферы -отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр. (= 2R)) (слайд № 4)

— Вспомните определение круга(Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью).

— Дайте определение шара (Шар -тело, ограниченное сферой).

— Есть и другое определение шара(Шар радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек). (слайд № 5)

— Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.

— Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F . Уравнение с тремя переменными х, у,z называется уравнением поверхности Р, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Поэтому уравнение сферы радиусаR с центром О (Х о , У о , Z o ) будет выглядеть таким образом: расстояние от произвольной точки М (х, у, z) до О (Х о ,У о , Z o ) вычисляется по формуле

R = , т .к. М — любая точка сферы,то уравнение сферы

(х — х о ) 2 + (у — у о ) 2 + (z — z o ) 2 == R 2

Тогда уравнение шара (х — х о ) 2 + (у — у о ) 2 + (z — z o ) 2 R (слайд № 6)

3. Формирование умений и навыков учащихся

№ 573 (проверка решения) (слайд№ 7)

№ 576(а), № 578(а), № 577(а) самостоятельно,ответ проверяется (слайд № 8), № 579(а)

— Дайте определение сферы; чем шар отличается от круга?

5. Домашнее задание

П. 58,59, № 573(б), 576(в), 579(б) (слайд № 9).

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
• что такое шар и его элементы;
• уравнение сферы;
• формула для нахождения площади поверхности сферы;
• взаимное расположение сферы и плоскости;
• теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна S_сф=4πR 2 . То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

Урок по теме «Сфера. Уравнение сферы» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Сфера. Уравнение сферы.

Цель урока: Сформировать на уроке понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.

Образовательные : Сформировать на уроке понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.

Развивающие : развивать логическое мышление, пространственное восприятие, математически грамотную речь.

Воспитательные : совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, аккуратность.

Организационный момент. Анализ результатов контрольной работы.

А) на доске изображена окружность

Как называется линия изображенная на плоскости?

Вспомните определение окружности. – Окружность-множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

Как называются элементы окружности? – Данная точка центр, отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности радиус, отрезок, соединяющий любые две точки окружности и проходящий через центр называется диаметр .

Как называется часть плоскости ограниченная окружностью?- Круг.

Дайте определение круга. – Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Б) Вспомните название уравнений, записанных на доске

Общий вид уравнения окружности.

, О

В) докажите, что данное уравнение является уравнением окружности:

Чему равен радиус и назовите координаты центра.

Г) Принадлежит ли точка М(2;2) данной окружности?

Что изучает стереометрия? – Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве

Как вы думаете, существует ли поверхность, состоящая из точек пространства, равноудаленных от данной точки? – Да

Такая поверхность называется сферой.

Объяснение нового материала

Итак, тема сегодняшнего урока Сфера.

Запишите тему сегодняшнего урока в тетрадях.

Цели: Я уверена, что вы неоднократно встречались в жизни не только со сферой, но и с шаром. Сегодня на уроке мы с вами сформулируем определения этих пространственных фигур, их элементов и выведем уравнение сферы .

Какая геометрическая фигура у вас ассоциируется со сферой? (окружность).

Как бы вы сформулировали определение сферы? – Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Привести примеры окружающей обстановки, дающей представление о сфере.

Как называется данная точка? – центр сферы

Как называется данное расстояние? – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром.

А что такое шар? – Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Чем он отличается от сферы? Давайте разберемся в этом вопросе, а для этого воспользуемся презентацией. – Шар содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R , и не содержит других точек.

Можно ли сферу и шар отнести к телам вращения? — Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

Первичное закрепление: №573, 574(а)

Задание: Вывести уравнение сферы с центром в точке С( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) радиуса R , используя формулу расстояния между двумя точками с заданными координатами.

Найдите расстояние от произвольной точки М ( x ; y ; z ) до С( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ )

Почему мы находим именно это расстояние? – так как это R

Формула для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве?

Если точка М лежит на сфере, то МС = R .

Вывод: уравнение сферы.

Закрепление изученного материала

Итак, что сегодня нового мы узнали на уроке?

Определение элементов сферы и шара

Как можно получить сферу и шар вращением

Краткое описание документа:

Конспект урока в 11 классе по теме «Сфера. Уравнение сферы»

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: сформировать понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.

Образовательные цели: сформировать понятие и определение сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач.

Развивающие цели: развивать логическое мышление, пространственное восприятие, математическую грамотную речь.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 585 241 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 26.05.2015
• 3114
• 75

• 26.05.2015
• 2116
• 9

• 26.05.2015
• 3016
• 0

• 26.05.2015
• 2239
• 15

• 26.05.2015
• 1059
• 17

• 26.05.2015
• 635
• 0

• 26.05.2015
• 534
• 0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.05.2015 4537
• DOCX 19 кбайт
• 156 скачиваний
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Прохоренко Светлана Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 8 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 13381
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность со скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки