Урок квадратные уравнения и неравенства

Урок по теме «Решение квадратных неравенств»
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

урок и презентация

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: Решение неравенств вида a·x 2 +b·x+c

1. Образовательная: Закрепление умений и навыков решения неравенств второй степени.
2. Развивающая: Способствовать развитию умений анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать.
3. Воспитательная: Формирование навыков общения, умения работать индивидуально, уважать мнение каждого.

Сообщить цель урока, Кратко информировать учащихся о этапах урока. Задать положительный настрой на работу.

1. Разбор домашнего задания. (3 мин)
2. Актуализация опорных знаний. (5-6 мин)

1. Знакомо ли вам слово ПАРАБОЛА?
2. Что такое квадратичная функция?
3. Как построить параболу? Как найти ее вершину?
4. Что можно сказать о квадратичной функции по её графику?

1. Изучение нового материала с элементами исследования

Чем неравенство отличается от уравнения?

Что такое «квадратное неравенство»? Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак «=» (равно) на любой значок неравенства ( > ≥ ), получится квадратное неравенство. Например:

Я не зря связала уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства — решить уравнение, из которого это неравенство сделано.

Готовое для решения неравенство имеет вид: слева — квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , справа — ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой.

Первый шаг решения: Делаем из неравенства уравнение

x 2 -8x+12 ≥ 0 x 2 -8x+12 = 0

Ответьте, какими двумя способами можно решить квадратное уравнение?

Разделимся на две группы и вспомним оба способа:

Если x 1 и x 2 — корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 , то

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4 ac .

1. Если D
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.
4. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Решаем одно и то же уравнение двумя способами :

Дети работают у доски и по подгруппам

Второй шаг решения.

На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать. Квадратные неравенства, как правило, решаются графически.

На втором шаге из уравнения сделаем функцию:

Точки 2 и 6 — это корни уравнения x 2 -8x+12 = 0 , если помните. ) Они располагаются прямо на оси ОХ. Почему так? Сравните уравнение и параболу:

Корни уравнения — это иксы, при которых в правой части уравнения получается ноль. Стало быть, при таких иксах, и игрек нулевой будет. Выражения-то одинаковые. А нулевой игрек — это, как раз, ось ОХ и есть.

Фиксируем в голове: корни уравнения (2 и 6) — это значения икса, при которых выражение x 2 -8x+12 равно нулю. Это важно!

Третий шаг решения.

На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было «решать уравнение». НЕ сказано было «строить график». Это, всего лишь, наши подручные средства.

Нам было сказано: решать квадратное неравенство!

Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!

Смотрим на исходное неравенство:

Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак «+», (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).

Остаётся просто записать ответ.

Собственно, это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства.)

Вот и записываем окончательный ответ:

Но. Математики (вы удивитесь!) тоже люди.) И тоже не любят лишнюю работу. Смотрим на график, и соображаем: без чего на этой картинке можно обойтись?

Нужна ли нам ось ОУ? Если мы и так знаем, что часть параболы выше оси ОХ даёт положительные значения выражения, а ниже — отрицательные.

Не нужна нам ось ОУ. Её наличие никак не сказывается на правильном решении.

Нужна ли нам математически точная форма параболы?

Не нужна. Точная форма никак не сказывается на правильном решении.

Выделю главные элементы рисунка, которые необходимы для верного решения:

1. Ось иксов требуется?

2. Корни соответствующего квадратного уравнения. Они отмечаются точками на оси. Точки могут быть чёрные, закрашенные (как в нашем случае), или белые, пустые внутри, как будет в следующем примере. Пустые внутри точки ещё называются выколотые точки. Чёрные точки ставятся для нестрогих неравенств ( ≤ ; ≥ ). Они визуально напоминают нам, что корни включаются в ответ . Выколотые точки ставятся для строгих неравенств ( ; > ; ≠ ) и напоминают, что корни в ответ не включаются.

3. Схематичный рисунок параболы. Здесь важно только одно: куда направлены ветви параболы, вверх или вниз.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.

2. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки — черные (закрашенные). Если строгое — белые (пустые внутри).

3. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.

4. Определяем области +/- на рисунке и записываем ответ.

1. Закрепление материала.

а) Решаем неравенства базового уровня сложности:

№ 294 (а,б,в)

Х=(4+0)/4=1 1

0,5х 2 -2х≤0

х (0,5х-2)=0

х=0 или 0,5х=2 0 4

D=36-4*(-2)*20=36+160=196

1. Дифференцированная самостоятельная работа.

Первый уровень( максимальная оценка – 4)

Второй уровень (максимальная оценка – 5)

1. x 2 +х-6≤0
2. x 2 +7х+12
3. Подведение итогов. Рифлексия.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №3. Квадратные уравнения, неравенства и их системы.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• систематизация знаний учащихся о решении квадратных уравнений и неравенств;
• установление зависимости количества и расположения корней квадратного уравнения от его коэффициентов и значения дискриминанта;
• способы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

Глоссарий по теме:

Параметр — (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. — М.: Просвещение, 2017.

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.

На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.

Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.

Дискриминант – это число, которое находим по формуле

Если D 0 два корня.

Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:

Если D = 0 , то

Рассмотрите пример. Решить уравнение

Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c.

Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.

Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:

1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.

3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.

4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.

Рассмотрите другие формулы:

, где второй коэффициент b=2k – четное число.

Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.

Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.

Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.

Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.

Рассмотрим несколько примеров:

Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.

Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел.

Записываем ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (- 5; -2).

Пример 3. Иногда проще ввести новые переменные.

Пусть xy=u, x+y=v. Тогда систему можно записать в более простом виде:

Решение смотри в примере 1.

Часть 2. Квадратные неравенства.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений, переходим к решению квадратных неравенств
ax^2+ bx + c больше или меньше нуля.

Шаг 1. Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение и найдем его корни. Отметим корни на оси OХ и схематично покажем расположение ветвей параболы «вверх» или «вниз».

Шаг 2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –.

Шаг 3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.

Вспомните возможные случаи расположения корней на оси и ветвей параболы в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:

если а>0 + — +, если а 0 ветви вверх. Парабола выше оси, все значения положительны, значит х- любое число. Неравенство не имеет решений.

Далее рассмотрим схему решения системы неравенств.

Алгоритм решения системы неравенств.

1.Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

2.Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

3.Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений и неравенств переходим к решению самых сложных заданий с параметрами. Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Первый шаг в решении — найти особое значение параметра.

Второй шаг – определить допустимые значения.

Если в задаче требуется определить знаки корней квадратного уравнения, то, как правило, удобнее использовать теорему Виета.

Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант.

Рассмотрите примеры решения неравенства с параметром.

Графический метод решения обладает несомненным преимуществом – можно представить решение наглядно.

Для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней.

Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше 0, то ветви параболы направлены вниз. Если дискриминант больше 0, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и т.д.

Мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств. Более подробно с методами решения квадратных уравнений, неравенств, их систем вы можете, поработав с интерактивными моделями.

Задания тренировочного модуля с разбором.

При каких значениях параметра, а квадратное уравнение

имеет только один корень?

Находим дискриминант D=25-4∙2∙5a=25-40a. Уравнение имеет один корень, если D=0, т.е. 25-40a=0, а=5/8.

Определите, на каком интервале значения квадратного трехчлена отрицательны?

Решаем неравенство: . Находим дискриминант квадратного трехчлена D= 1-4∙2∙ (-1) =1+8=9. Находим корни . Расставляем точки на числовой прямой.

Конспект урока по алгебре на тему «Решение квадратных неравенств» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

КОНСПЕКТ УРОКА: ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ»

Учитель: Шайхутдинова Раиса Васильевна

Место работы: МБОУ СШ № 95 г.Красноярска

Изложение нового материала по теме «Решение квадратных неравенств»

Введение и первоначальное закрепление информации по теме решение квадратных неравенств:

определение квадратного неравенства;

теоремы без строгого доказательства: теорема 1 для случая если: D 0 ; теорема 2 для случая если: D ;

Сформировать умение решать простейшее квадратное неравенство.

Развивать представления учащихся о математике как о прикладной науке: применение квадратных неравенств в решении задач и в повседневной жизни.

Проведение физминутки, разминки.

Элементы трудового воспитания : привитие навыков умственного труда (по П.Я. Гальперину):

ознакомление и ориентировка учащихся с алгоритмом решения квадратных неравенств;

выполнение действий алгоритма;

действие во внутреннем плане : предлагается ученику вслух объяснять, какими были его действия, подумать и самому найти ошибку, если таковая имеет место.

Элементы нравственного воспитания : умение уважать мнение каждого.

Элементы эстетического воспитания : аккуратное оформление конспекта, решений и рисунков (эскизов) в тетрадях.

Элементы коммуникативного воспитания : взаимопроверка, обмен решениями, умение выслушивать друг друга;

распашная доска, мультимедийный проектор и экран, тетрадь, настенные таблицы, раздаточный материал, текст математического диктанта

В тетрадях записывают тему урока

Математический диктант (10 мин. вместе с проверкой)

Читает задания, по окончании собирает первые экземпляры. Демонстрирует правильные ответы, записанные на оборотной стороне доски.

1. Квадратным уравнением называют уравнение вида…

2. Напишите формулу вычисления дискриминанта квадратного уравнения для любого b.

3. При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?

4. В квадратном уравнении 1-й коэффициент -…, 2-й коэффициент -…, свободный член — …

5. Напишите формулы вычисления корней квадратного уравнения для любого b.

6. При каком условии квадратное уравнение имеет один корень?

Подписывают листы, записывают ответы в двух экземплярах. По окончании диктанта сдают первые экземпляры. Обсуждают результаты.

Объяснение нового материала (15 мин.)

Ведет рассказ-беседу. Пишет на доске конспект.

Для наглядности и простоты мы воспользуемся графиком квадратичной функции в зависимости от коэффициента а и дискриминанта соответствующего трехчлена.

Рассмотрим случаи (см. таблицу слайд).

Также существует вполне определенный алгоритм:

Алгоритм решения квадратных неравенств у = ах 2 + bx + c > 0 (ах 2 + bx + c

Ввести функцию у = ах 2 + bx + c = 0; и выяснить направление ветвей параболы (а > 0 – вверх, а

Приравнять функцию к нулю и найти корни квадратного уравнения.

Отметить полученные корни на числовой прямой.

Построить эскиз графика функции, учитывая направление ветвей параболы.

Определить промежутки, в которых парабола выше оси ОХ или ниже, в зависимости от знака неравенства.

Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Учитель сообщает, что с квадратными неравенствами мы встречаемся и в повседневной жизни. Это задачи из реальных ситуаций. Для лагеря нужно огородить делянку прямоугольной формы, одна сторона которой прилегает к речке. Какие размеры должна иметь делянка, если её площадь должна быть не меньше чем 0,50 га, а длинна ограды равна 205 м?

РЕШЕНИЕ: Понятно, что делянка будет огорожена с трех сторон. Пусть перпендикулярная к речке сторона равна х м, тогда смежная сторона будет равна (205-х) м. Отсюда площадь делянки:

S = х ( 205-2х)=-2х 2 + 205х (м 2 ).

По условию S ≥ 0,50 га = 5000 м 2 , поэтому 2х 2 + 205х — 5000 ≥ 0. Решив неравенство имеем :

40 ≤ x ≤ 62,5. Длина стороны,которая перпендикулярна берегу реки, должна быть не меньше 40 м и не больше 62,5м. Величина смежной стороны 80≤205-2х≤125,где х –длинна первой стороны

Слушают, записывают конспект, участвуют в беседе.

Физкультминутка (1 мин.)

Исходное положение: стойка ноги врозь, руки за голову. На счет раз – резко повернуться направо; на счет два – резко повернуться налево. Во время поворотов плечевой пояс остается неподвижным. Повторить 4–6 раз; темп средний.