Урок линейные уравнения двумя переменными

открытый урок по математике на тему «Линейные уравнения с двумя переменными»
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Данный урок разработан по учебнику Г.В.Дорофеева Алгебра 8 класс. К уроку приложена электронная презентация, которая наглядно представляет учебный материал.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Получать новые знания, это тоже самое, что покорять горные вершины.

a 2 — в 2 =(a- в )(a+ в ) ( a- в) 2 =a 2 -2a в + в 2 ( a +в) 2 =a 2 + 2a в + в 2 ( a +в) 3 =a 3 +3 a 2 в + 3 a в 2 +в 3 Журнал маршрута

10 + х = 15 , 2x=6, x 2 +4x=16, 3x-15=0, 5x+y=7, x 2 =9, 2x 4 +5x 2 -6=0, 0.5x 3 -4x 2 +2x-5=0 .

Тема урока: Линейные уравнения с двумя переменными

Цель: узнать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, найти способы его решения.

Переведите условие задачи на математический язык: 1) Разность утроенного первого числа и удвоенного второго числа равна 12. Найдите эти числа. 2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон? 3) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины его сторон? 4) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны его катеты?

1) 3х – 2у=12 2) ху=36 3) 2х+у=16 4) + =25

Определение: уравнением с двумя переменными называется равенство, содержащее две неизвестные величины.

Определение: решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон?

1) 3х – 2у=12 2) ху=36 3) 2х+у=16 4) + =25

Определение: линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by =c , где a,b,c произвольные числа.

2х – 10у = 3 +3у = 1 х + 0,5у = 4 5х – 2у 2 =7 3х – у = 0 + = -1

x=4-2y Уравнение решено относительно x 2y=4-x Уравнение решено относительно y

-5y=-3x-15 5y=3x+15 y=0,6x+3 если x=0, то y=3 (0; 3) если x=1, то y=3,6 (1; 3,6) если x=2, то y=4,6 (2; 4,6)

Предварительный просмотр:

Организационный момент: здравствуйте, ребята.

Получать новые знания то же самое, что покорять горные вершины. Сегодня мы будем покорять вершину математических знаний [слайд 1].

В путешествии нам потребуется журнал маршрута [слайд 2].

Актуализация прежних знаний

Откроем его [слайд 3]. Что мы видим?

10+x=15, 2x=6, x 2 +4x=16, 3x-15=0, 5x+y=7, x 2 =9, 2x 4 +5x 2 -6=0, 0.5x 3 -4x 2 +2x-5=0.

— А что такое уравнение?

— Уравнение – это равенство, содержащее переменную.

Какие уравнения вам известны? Назовите.

Называют. Какое это уравнение?

Линейные, квадратные, кубические, биквадратные, и т. д.

Какое уравнение осталось? 5x+y=7, чем оно отличается?

Оно содержит две переменных.

На этом уроке мы рассмотрим уравнения с двумя переменными.

Запишите в тетрадях число и тему урока: «Линейные уравнения с двумя переменными» [слайд 4]

А теперь сформулируем цель урока.

Цель: узнать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, найти способы его решения [слайд 5]

Перед нами первая ступень горной вершины знаний

На доске представлены задачи, [слайд 6]

1) Разность утроенного первого числа и удвоенного второго числа равна 12.
Найдите эти числа.
2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон?
3) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины его сторон?
4) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны его катеты?

Нужно перевести их на математический язык. Обратите внимание на то, что для перевода этих задач на математический язык необходимо ввести две переменные, например, x и y. (пусть пробует дети без подсказки).

Разбор каждой задачи с записью на доске.

Сверим наши записи с журналом маршрута [слайд 7].

1) 3х – 2у=12
2) ху=36
3) 2х+у=16
4) x 2 +y 2 =25

Если есть ошибки проанализировать и

Запишем в тетрадях результат.

Такие равенства называются уравнениями с двумя неизвестными.

Сформулируем определение уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала маршрута [слайд 8].

уравнением с двумя переменными называется равенство, содержащее две неизвестные величины .

Перед нами вторая ступень горной вершины и новое испытание.

Давайте к каждому из составленных уравнений подберём пару чисел, чтобы равенство было верным.

Учащиеся называют пары чисел, учитель записывает на доске.

Только ли положительные числа являются решением уравнений?

Полученные пары являются решениями данных уравнений с двумя переменными.

Сформулируем определение решения уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала нашего маршрута [слайд 9].

решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство

А сейчас перед нами третья ступень горной вершины.

Вспомним вторую задачу [слайд 10].

Обратите внимание на то, что отрицательные корни не являются решением этой задачи

[слайд 11]. Рассмотрим первое и третье уравнение, чем они похожи и чем отличаются от других.

Такие уравнения являются линейными.

Сформулируем определение линейного уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала маршрута [слайд 12].

линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где a,b,c произвольные числа.

А вот и четвёртая ступень горной вершины.

Определите, какие из следующих уравнений являются линейными с двумя переменными [слайд 13].

1. 2х – 10у = 3
2. +3у = 1
3. х + 0,5у = 4
4. 5х – 2у 2 =7
5. 3х – у = 0

А сейчас попробуем решить линейное уравнение [слайд 14].

Применим метод подбора.

Записать на доске.

Существует более простой способ решения линейных уравнений с двумя переменными. (варианты)

Посмотрим в журнал маршрута и запишем [слайд 15].

Для нахождения решений линейного уравнения с двумя переменными можно выражать одну переменную через другую.

Попробуем решить ещё одно уравнение [слайд 16]. Решите уравнение относительно Y.

Проверим по журналу маршрута [слайд 17].

Подберите несколько пар чисел, которые являются решением данного уравнения.

Минутка релаксации с цветотерапией

Перед самыми трудными испытаниями сделаем привал, отдохнём. [слайд 18].

Мы подошли к самым трудным ступеням, которые вы должны пройти самостоятельно. Решают номера [слайд 19]. №571 (а,в), 574.

Сравним ваши решения с журналом маршрута [слайд 21]

Вот мы с вами и добрались до вершины [слайд 22]. Вспомните цель нашего урока, достигли ли мы её? Что помогло нам добиться успеха? С каким новым понятием мы познакомились? Что для вас было самым сложным на уроке? Какие качества характера помогли нам справиться с этими трудностями.

Рефлексия «Плюс, минус»

Ребята заполните анкеты, в которых подчеркните тот вариант, который вам подходит для оценки нашего урока.

1.На уроке я работал
2.Своей работой на уроке я
3.Узнал на уроке
4.За урок я
5.Мое настроение
6.Материал урока я

активно / пассивно
доволен / не доволен
много нового/ ничего нового не узнал
не устал / устал
стало лучше / стало хуже
понял / не понял

Домашнее задание: А маршрут выполнения домашнего задания будет зависеть от того, какую оценку вы хотите получить. На 5, на 4 и на 3.

На память о нашем восхождении к вершине примите в подарок фото, на котором есть определение линейного уравнения и алгоритм его решения. Вы можете им пользоваться при подготовке домашнего задания, а также заучить его в качестве основного правила.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Презентация к уроку предназначена для учащихся 9 класса коррекционной школы I, II вида, обучающихся по программе ЗПР.

Открытый урок по математике 5 класс «Уравнение»

Обобщающий урок по теме «Уравнение».

Открытый урок на тему «Системы линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения». Алгебра 7 класс

Приобретать знания — храбрость.

Конспект открытого урока по математике «Арксинус.Решение уравнения sin t=а»

Тема урока: «Арксинус.Решение уравнения sin t=a.»Тип урока: Урок изучения нового материалаЦели урока:. Знать определение арксинуса,формулу корней уравнения, частные случаиПродолжить развитие умений пр.

урок «Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными»

Цель: научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

план — конспект урока по теме»Решение систем уравнений с двумя переменными второй степени.»

план- конспект урока по теме «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными.» 1 урок по заданной теме. Учатся решать системы , состоящие из одного линейного уравнения и одного уравнения .

разработка уроков по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными», алгебра, 7 класс

Разработка уроков по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»Урок 1ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙС ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИЦели: ввести понятие системы уравнений с двумя переменными; формировать умен.

Урок по теме «Линейное уравнение с двумя переменными», алгебра, 7 класс

Первый урок в теме «Системы линейных уравнений».

Просмотр содержимого документа
«Урок по теме «Линейное уравнение с двумя переменными», алгебра, 7 класс»

Дата проведения __________

Тема урока. Линейное уравнение с двумя переменными

Цель урока: сформировать представление об уравнении с двумя переменными и его решения; осознать содержание понятия «график уравнения с двумя переменными»; выработать умения: отбирать проверкой решение уравнения с двумя переменными; работать с готовым графиком уравнения с двумя переменными; преобразовывать уравнения вида у=f(x) и вычислять решение уравнения с двумя переменными.

Тип урока: усвоение новых знаний.

І. Организационный момент

ІІ. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений:

Что значит «решить уравнение»?

3. Составить уравнения по условию задачи:

1) длина прямоугольника х, ширина 3 м, а периметр 20 м;

2) ширина прямоугольника х, длина на 4 м больше, а периметр 20 м;

3) ширина прямоугольника х, длина у м, а периметр 20 м.

Если можно, решите уравнения, найдите длины сторон прямоугольника.

4. Принадлежит ли графику функции у=3х+2 точки А (1;-5), В(3;11), С(0;2)? Почему?

ІII. Формулирование цели и задач урока

После повторения основных понятий, изученных в теме «Линейные уравнения с одной переменной», и выполнения устных упражнений, составления уравнений вместе с учащимися формулируем цели: познакомиться с тем новым видом уравнения, что встретился нам во время решения одной из задач.

IV. Изучение нового материала

Новое понятие уравнения с двумя переменными вводится на примерах (так же, как и уравнения с одной переменной), а затем формулируется определение уравнения с двумя переменными и определение решения такого уравнения, как упорядоченной пары чисел — значений переменных, обращающие уравнение в верное равенство, так же, как и корень уравнения с одной переменной. Понятие равносильных уравнений с двумя переменными строится на известных учащимся понятий равносильных уравнений и свойств равносильных уравнений.

Записи в тетрадях учащихся могут иметь вид сравнительной таблицы, в которой выделены ключевые слова.

Уравнение с одной переменной

Уравнение с двумя переменными

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (переменная)

Равенство, содержащее два неизвестных числа, обозначенных буквой (переменные)

Корень уравнения с первой переменной-значение переменной, превращающей уравнение в правильное равенство

Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (х;у), при которых уравнение превращается на верное равенство

уравнения с одной переменной — имеют одинаковые корни или вообще не имеют корней

уравнения с двумя переменными — имеют одни и те же решения или оба не имеют решений

Свойства равносильных уравнений

Фигура, которая состоит из точек (х;у), таких, что их координаты — решения уравнения

V. Закрепление материала. Выработка умений

І. Выполнение устных упражнений:

1. Является ли решением уравнения х−2у=6 пара чисел (0; 0); (2; –2); (0; 3); (6; 0)?

2. Точки А(…;0), В(0;…), С(1;…), D(…;−3) принадлежат графику уравнения 3х–у=6. Найти пропущенные координаты.

3. Выразить переменную у через переменную х (представить уравнение в виде у=f(x)) путем выполнения тождественных преобразований: х+у=3; 3х+3у=0 ; х−у=4.

Используя полученную формулу, найдите два каких-либо решения каждого уравнения.

ІІ. Выполнение письменных упражнений:

1. Пары значений х и у внесены в таблицу. Какие из них являются решениями уравнений: 1) х 2 +у 2 =25; 2) х 2 −у 2 =7?

Конспект урока на тему «Линейные уравнения с двумя переменными

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Линейные уравнения с двумя переменными

УМК: Алгебра 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.]; под ред. С.А. Теляковского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014

Тема: Линейные уравнения с двумя переменными

Цели: Познакомить учащихся с понятиями линейного уравнения с двумя переменными и его решения, научить выражать из уравнения х через у или у через х .

Познавательные: выдвигать и обосновывать гипотезы, предлагать способы их проверки

Регулятивные: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона; составлять план и последовательность действий.

Коммуникативные: устанавливать рабочие отношения; эффективно сотрудничать и способствовать продуктивной кооперации.

Личностные: ф ормирование навыков организации анализа своей деятельности

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран

I Организационный момент

— Послушайте сказку про Деда-Равняло и догадайтесь, о чем мы сегодня будем говорить

Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внука, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается и радуется: хорошая ему смена растет.

— Итак, о чем идет речь в этой сказке? (об уравнениях)

II . Давайте вспомним всё, что мы знаем о линейных уравнениях и попробуем провести параллель между известным нам материалом и новым материалом.

Какой тип уравнения нам известен? (линейное уравнение с одной переменной)

Вспомним определение линейного уравнения с одной переменной.

Что называется корнем линейного уравнения с одной переменной?

Сформулируем все свойства линейного уравнения с одной переменной.

Заполняется 1 часть таблицы

ах=в, где х – переменная, а,в- числа.

Значение х, при котором уравнение обращается в верное равенство

1) перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменив их знак на противоположный.

2) обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже, не равное нулю число.

Линейное уравнение с двумя переменной.

ах + ву = с, где х,у – переменные, а,в.с – числа.

Значения х, у, обращающие уравнение в верное равенство.

Верны свойства 1,2.

3) равносильные уравнения:

После того, как заполнили первую часть таблицы, опираясь на аналогию, начинаем заполнять вторую строку таблицы, тем самым узнавать новый материал.

III . Обратимся к теме: линейное уравнение с двумя переменными . Само название темы наталкивает на мысль, что нужно вводить новую переменную, например у.

Существует два числа х и у, одно больше другого на 5. Как записать соотношение между ними? (х – у = 5) это и есть линейное уравнение с двумя переменными. Сформулируем по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной определение линейного уравнения с двумя переменными (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c, где a,b и c – некоторые числа, а x и y –переменные).

Уравнение x – y = 5 при x = 8, y = 3 обращается в верное равенство 8 – 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных x = 8, y = 3 является решением этого уравнения.

— Сформулируйте определение решения уравнения с двумя переменными (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство)

Пары значений переменных иногда записывают короче: (8;3). В такой записи на первом месте пишут значение x а на втором — y.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие решений), называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число(не равное нулю), то получится уравнение равносильное данному.

Пример 1. Рассмотрим уравнение 10x + 5y = 15. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную через другую.

Для этого сначала перенесем 10x из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5y = 15 — 10x.

Разделим каждую часть этого уравнения на число 5, получим равносильное уравнение

у = 3 — 2x. Таким образом, мы выразили одну переменную через другую. Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y.

Если x = 2, то y = 3 — 2· 2 = -1.

Если x = -2, то y = 3 — 2· (-2) = 7. Пары чисел (2; -1), (-2; 7) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.

Из истории. Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.

Пример 2. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получилось 20 кг муки?

Допустим, что надо взять x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x + 2y = 20. Требуется найти все пары натуральных значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению. Получаем:

Подставляя в это равенство вместо x последовательно все числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких значениях х, значения y являются натуральными числами.

Получаем: (2;7), (4;4), (6;1). Других пар, удовлетворяющих данному уравнению нет. Значит надо взять либо 2 и 7, либо 4 и 4, либо 6 и 1 пакетов соответственно.

IV . Работа по учебнику (устно) № 1025, № 1027(а)

Самостоятельная работа с проверкой в классе.

1. Выпишите линейно уравнение с двумя переменными.

а ) 3х + 6у = 5 в) ху = 11 б) х – 2у = 5

2. Является ли пара чисел решением уравнения?

3. Выразите из линейного уравнения

4х – 3у = 12 а) х через у б) у через х

4. Найдите три, каких либо решения уравнения.

V . Итак, подведем итог:

Дать определение линейного уравнения с двумя переменными.

Что называется решением (корнем) линейного уравнения с двумя переменными.

Сформулировать свойства линейного уравнения с двумя переменными.