Урок линейные уравнения с двумя неизвестными

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение линейных уравнений.

• Линейное уравнение с двумя неизвестными.

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы с вами уже познакомились с линейными уравнениями первой степени, содержащими одно неизвестное.

Однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.

Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.

Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел.

x 2 + z 2 = 7x 2 + z 2 = 7

Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливыми все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным.

Попробуем дать определение таких уравнений.

Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида ax + bx = c, где x, y – неизвестные, a, b (коэффициенты при неизвестных), не равные оба нулю, c – любое число.

Решим уравнение: 2x – y = 3

Возьмём пару чисел: x = 1, y = –1.

Подставив эти значения, получим верное равенство:

Следовательно, эта пара чисел удовлетворяет уравнению, или она (эта пара) – решение уравнения.

Возьмём пару чисел: x = 2, y = 4

Следовательно, 0 ≠ 3. Это ложное равенство.

Говорят, что пара чисел не удовлетворяет уравнению, или, что она – не решение уравнения.

Определение. Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y, обращает его в верное равенство.

Уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

В случае линейной зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия.

Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Возьмём уравнение: 2x – y = 4

Уравнение представляет собой линейную зависимость вида:

y = ax + b, графиком является прямая линия.

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Необходимо ввести две переменные: x – число инопланетян, y – число питомцев, тогда получим уравнение 3x + 2y = 15.

Давайте же узнаем, сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.

далее воспользуемся методом перебора: при x = 1, y = 6. При x = 2,

Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.

Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Какое значение переменной удовлетворяет уравнению: 4x – 2y – 14?

Для решения уравнения, выразим одну переменную через другую: 2y = 4x – 14,

разделим обе части уравнения на 2:

подставим вместо переменной x её значения:

при x = 3 получаем:

при x = 4 получаем:

при x = –4 получаем:

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

Решите уравнение: x – 2y = 5

Выразим переменную x через переменную y:

подставим вместо переменной y её значения:

при y = 1 получаем x = 5 + 2 = 7

при y = 3 получаем x = 5 + 6 = 11

при y = 5 получаем x = 5 + 10 = 15

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

Урок математики на тему » Линейные уравнения с двумя неизвестными».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: Уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Тип урока : урок ознакомления с новым материалом.

Образовательные: ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными, научить составлять уравнение по условию задачи, научить узнавать, является ли пара чисел решением уравнения.

Развивающие: развитие познавательного интереса учащихся через введение исторического материала; умения анализировать, сопоставлять; развитие наблюдательности, внимания, математической речи учащихся; формирование математической культуры, потребности приобретения знаний.

Воспитательные: воспитание самостоятельности, активности, заинтересованности учащихся на всех этапах урока; формирование таких качеств личности как организованность, ответственность, аккуратность; формирование навыков само- и взаимоконтроля.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку.

1. Организационный момент. ( мотивация ) .

2. Определение цели и задачи урока.

1.Ребята , посмотрите на это уравнение.

5х+3у=15 Сколько здесь неизвестных? ……..

2.Определяем цели, задачи и результат (на доске лист 1,2,3).

3.Актуализация прежних знаний.

1.Какое равенство называют уравнением? Верное

2.Что называют корнем уравнения? Число, которое превращает уравнение в верное равенство

3.Что значит решить уравнение? Найти его корни или доказать, что корней нет.

4.Какое уравнение называется линейным? Которое содержит в себе один и более неизвестных.

Ребята, скажите: чем эти уравнения отличаются друг от друга? (количеством неизвестных)

Как называется первое уравнение? Решаем первое уравнение.

Обратите внимание на второе уравнение?

Ребята, мы можем решить второе уравнение по предыдущей теме?

Нет конечно. Так, как будет называться наша тема? (подсказки)

Запишите число и тему урока.

3. Изучение новой темы.

Записываем общий вид уравнения первой степени с двумя неизвестными.

ах+ву=с – это уравнение … (правила на доске)

Давайте решим вот такое уравнение :

Если взять х=0 , то получится: 5 Х 0+3у=15; 3у=15; у=15:3; у=5

Делаем проверку : 5Х0+3Х5=15; 15=15. (0; 5) упорядоченная пара чисел.

Аналогично , если взять у=0, то …..

Это уравнение имеет бесконечное множество решений. Решим уравнение другим способом.

5х+3у=15; 3у=15-5х; у=15-5х/3;

Возьмем х=1 и подставим в уравнение: у=15-5Х1/3; у=10/3; у=3целых 1/3

Таким образом, получаем еще одну упорядоченную пару чисел: (1; 3ц. 1/3)

Найти упорядоченную пару чисел для данных уравнений.

Сначала объяснить, как сложить два уравнения. (взаимопроверка, меняются тетрадями). Результаты заносим в оценочный лист.

Работа по учебнику, (трое учеников работают у доски).

№ 672, № 670, № 673(а, б, в, г).

Результаты заносим в оценочный лист.

4. Физкультминутка для глаз.

Ребята давайте немного отдохнем, а потом продолжим наш урок.

Трясем ручками (мы писали, мы писали, наши пальчики устали)

Стоп. А теперь потрите во так ладони. Ребята, в 7ом классе вы начинаете изучать такой предмет, как физика. И там есть такая тема, чтобы назвать эту тему, вам нужно произнести глагол тереть только как существительное. Это тема –Трение.

Кто знает, что такое трение? Это когда два тела соприкасаются друг с другом.

А что происходит при трении? Правильно, тела нагреваются. Ну, в нашем случае, это наши ладони. А теперь вам нужно закрыть глаза и приложить ладони к вашим так. И держите так минуту. Это упражнение хорошо снимает напряжение с наших глаз.

5. Закрепление изученного материала

Ребята, взгляните на экран.

Скажите ребята , что вы видите? А как вы думаете, что общего между морковью и уравнениями ? + здоровьесберегающий элемент(иммунитет)

Самостоятельная работа (слайд 2): Составьте уравнение для решения задачи:

«В комнате было несколько стульев на четырех ножках и табуреток на трех ножках. После того как их все заняли, оказалось, что ног у сидящих людей вместе с ножками у всех стульев и табуреток 49. Сколько было стульев и табуреток?» Решите задачу методом подбора.

(слайд 3) Самопроверка:

Уравнение 4x+ 3y+ 2(x + y) =49 или 6x+5y=49. Ответ:4 стула и 5 табуреток.

Результаты заносим в оценочный лист.

Обобщение пройденного материала на уроке.

а) какие уравнения называются линейными с двумя переменными?

б) что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

в) как записывается это решение?

Выставление отметок. Оценочный лист .

(слайд 4) 7 . Домашнее задание. № 668, № 669 (1 столбик);

№ 668 , № 669 (1 столбик), дополнительно № 680.

открытый урок по математике на тему «Линейные уравнения с двумя переменными»
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Данный урок разработан по учебнику Г.В.Дорофеева Алгебра 8 класс. К уроку приложена электронная презентация, которая наглядно представляет учебный материал.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Получать новые знания, это тоже самое, что покорять горные вершины.

a 2 — в 2 =(a- в )(a+ в ) ( a- в) 2 =a 2 -2a в + в 2 ( a +в) 2 =a 2 + 2a в + в 2 ( a +в) 3 =a 3 +3 a 2 в + 3 a в 2 +в 3 Журнал маршрута

10 + х = 15 , 2x=6, x 2 +4x=16, 3x-15=0, 5x+y=7, x 2 =9, 2x 4 +5x 2 -6=0, 0.5x 3 -4x 2 +2x-5=0 .

Тема урока: Линейные уравнения с двумя переменными

Цель: узнать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, найти способы его решения.

Переведите условие задачи на математический язык: 1) Разность утроенного первого числа и удвоенного второго числа равна 12. Найдите эти числа. 2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон? 3) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины его сторон? 4) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны его катеты?

1) 3х – 2у=12 2) ху=36 3) 2х+у=16 4) + =25

Определение: уравнением с двумя переменными называется равенство, содержащее две неизвестные величины.

Определение: решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон?

1) 3х – 2у=12 2) ху=36 3) 2х+у=16 4) + =25

Определение: линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by =c , где a,b,c произвольные числа.

2х – 10у = 3 +3у = 1 х + 0,5у = 4 5х – 2у 2 =7 3х – у = 0 + = -1

x=4-2y Уравнение решено относительно x 2y=4-x Уравнение решено относительно y

-5y=-3x-15 5y=3x+15 y=0,6x+3 если x=0, то y=3 (0; 3) если x=1, то y=3,6 (1; 3,6) если x=2, то y=4,6 (2; 4,6)

Предварительный просмотр:

Организационный момент: здравствуйте, ребята.

Получать новые знания то же самое, что покорять горные вершины. Сегодня мы будем покорять вершину математических знаний [слайд 1].

В путешествии нам потребуется журнал маршрута [слайд 2].

Актуализация прежних знаний

Откроем его [слайд 3]. Что мы видим?

10+x=15, 2x=6, x 2 +4x=16, 3x-15=0, 5x+y=7, x 2 =9, 2x 4 +5x 2 -6=0, 0.5x 3 -4x 2 +2x-5=0.

— А что такое уравнение?

— Уравнение – это равенство, содержащее переменную.

Какие уравнения вам известны? Назовите.

Называют. Какое это уравнение?

Линейные, квадратные, кубические, биквадратные, и т. д.

Какое уравнение осталось? 5x+y=7, чем оно отличается?

Оно содержит две переменных.

На этом уроке мы рассмотрим уравнения с двумя переменными.

Запишите в тетрадях число и тему урока: «Линейные уравнения с двумя переменными» [слайд 4]

А теперь сформулируем цель урока.

Цель: узнать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, найти способы его решения [слайд 5]

Перед нами первая ступень горной вершины знаний

На доске представлены задачи, [слайд 6]

1) Разность утроенного первого числа и удвоенного второго числа равна 12.
Найдите эти числа.
2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон?
3) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины его сторон?
4) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны его катеты?

Нужно перевести их на математический язык. Обратите внимание на то, что для перевода этих задач на математический язык необходимо ввести две переменные, например, x и y. (пусть пробует дети без подсказки).

Разбор каждой задачи с записью на доске.

Сверим наши записи с журналом маршрута [слайд 7].

1) 3х – 2у=12
2) ху=36
3) 2х+у=16
4) x 2 +y 2 =25

Если есть ошибки проанализировать и

Запишем в тетрадях результат.

Такие равенства называются уравнениями с двумя неизвестными.

Сформулируем определение уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала маршрута [слайд 8].

уравнением с двумя переменными называется равенство, содержащее две неизвестные величины .

Перед нами вторая ступень горной вершины и новое испытание.

Давайте к каждому из составленных уравнений подберём пару чисел, чтобы равенство было верным.

Учащиеся называют пары чисел, учитель записывает на доске.

Только ли положительные числа являются решением уравнений?

Полученные пары являются решениями данных уравнений с двумя переменными.

Сформулируем определение решения уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала нашего маршрута [слайд 9].

решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство

А сейчас перед нами третья ступень горной вершины.

Вспомним вторую задачу [слайд 10].

Обратите внимание на то, что отрицательные корни не являются решением этой задачи

[слайд 11]. Рассмотрим первое и третье уравнение, чем они похожи и чем отличаются от других.

Такие уравнения являются линейными.

Сформулируем определение линейного уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала маршрута [слайд 12].

линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где a,b,c произвольные числа.

А вот и четвёртая ступень горной вершины.

Определите, какие из следующих уравнений являются линейными с двумя переменными [слайд 13].

1. 2х – 10у = 3
2. +3у = 1
3. х + 0,5у = 4
4. 5х – 2у 2 =7
5. 3х – у = 0

А сейчас попробуем решить линейное уравнение [слайд 14].

Применим метод подбора.

Записать на доске.

Существует более простой способ решения линейных уравнений с двумя переменными. (варианты)

Посмотрим в журнал маршрута и запишем [слайд 15].

Для нахождения решений линейного уравнения с двумя переменными можно выражать одну переменную через другую.

Попробуем решить ещё одно уравнение [слайд 16]. Решите уравнение относительно Y.

Проверим по журналу маршрута [слайд 17].

Подберите несколько пар чисел, которые являются решением данного уравнения.

Минутка релаксации с цветотерапией

Перед самыми трудными испытаниями сделаем привал, отдохнём. [слайд 18].

Мы подошли к самым трудным ступеням, которые вы должны пройти самостоятельно. Решают номера [слайд 19]. №571 (а,в), 574.

Сравним ваши решения с журналом маршрута [слайд 21]

Вот мы с вами и добрались до вершины [слайд 22]. Вспомните цель нашего урока, достигли ли мы её? Что помогло нам добиться успеха? С каким новым понятием мы познакомились? Что для вас было самым сложным на уроке? Какие качества характера помогли нам справиться с этими трудностями.

Рефлексия «Плюс, минус»

Ребята заполните анкеты, в которых подчеркните тот вариант, который вам подходит для оценки нашего урока.

1.На уроке я работал
2.Своей работой на уроке я
3.Узнал на уроке
4.За урок я
5.Мое настроение
6.Материал урока я

активно / пассивно
доволен / не доволен
много нового/ ничего нового не узнал
не устал / устал
стало лучше / стало хуже
понял / не понял

Домашнее задание: А маршрут выполнения домашнего задания будет зависеть от того, какую оценку вы хотите получить. На 5, на 4 и на 3.

На память о нашем восхождении к вершине примите в подарок фото, на котором есть определение линейного уравнения и алгоритм его решения. Вы можете им пользоваться при подготовке домашнего задания, а также заучить его в качестве основного правила.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Презентация к уроку предназначена для учащихся 9 класса коррекционной школы I, II вида, обучающихся по программе ЗПР.

Открытый урок по математике 5 класс «Уравнение»

Обобщающий урок по теме «Уравнение».

Открытый урок на тему «Системы линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения». Алгебра 7 класс

Приобретать знания — храбрость.

Конспект открытого урока по математике «Арксинус.Решение уравнения sin t=а»

Тема урока: «Арксинус.Решение уравнения sin t=a.»Тип урока: Урок изучения нового материалаЦели урока:. Знать определение арксинуса,формулу корней уравнения, частные случаиПродолжить развитие умений пр.

урок «Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными»

Цель: научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

план — конспект урока по теме»Решение систем уравнений с двумя переменными второй степени.»

план- конспект урока по теме «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными.» 1 урок по заданной теме. Учатся решать системы , состоящие из одного линейного уравнения и одного уравнения .

разработка уроков по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными», алгебра, 7 класс

Разработка уроков по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»Урок 1ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙС ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИЦели: ввести понятие системы уравнений с двумя переменными; формировать умен.