Урок математики по теме тригонометрические уравнения

Разработка урока «Решение тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Цель урока : закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ »

Учитель математики Ахмедова У.Д .

Тип урока : урок закрепления и систематизации знаний.

Цель урока : закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов.

— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

— обобщение и систематизация материала;

— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

— воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке :

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации : компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема ( приложение 1 );

на партах учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы , листы учета знаний, лист бумаги для проведения теста , комплект «Математическая игра-лотерея», карточки заданий с уравнениями, карточки с домашними заданиями.

1. Организационный момент.(3 мин)

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

Учитель: «Сегодня у нас очередной урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».

2. Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель : «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, повторим основные формулы». На столах находится раздаточный материал –это приложения, справочный материал, карточки заданий и математическое информационное лото .

Ученики работают с опорным конспектом (приложение №1).

3. Выполнение устного теста.(3 мин)

Работа выполняется на листах

Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
а) (нет);
б) (да);
в) (нет);
г) (нет);
д) (да).
Ученики осуществляют контроль в ходе самопроверки (правильные ответы на слайде).

4. Математическая лотерея(5 мин). Работа парная, меняются листами и проверяют друг у друга правильность подбора ответов,(выставляются оценки на листах учета знаний)

Учитель: «Найдите правильные ответы к вопросам на листочках, т. е. разложите ответы под вопросами-заданиями и прочитайте историческую информацию».

( Приложение 2 . Математическое лото, 3 страницы).

Принцип действия лото: перед учащимися лист с вопросами-заданиями, и разрезанные информационные двусторонние прямоугольнички

Листок с ответами с обратной стороны заклеивается табличками с информацией, разрезаются на прямоугольнички, которые прикладываются под соответствующими вопросами. Учащимся предлагается вначале установить соответствие вопросов и ответов, а затем перевернуть таблички и прочитать «историческую» математическую информацию.

Лист с заданиями на математическом лото.

5. Работа в группах.(20 мин)

Учитель обращается к учащимся:

«Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений»

• Введение новой переменной.
• Разложение на множители.
• Деление обеих частей уравнения на cos(mx) для однородных уравнений первой степени.
• Деление обеих частей уравнения на cos 2 (mx) для однородных уравнений второй степени.
• Метод предварительного преобразования с помощью формул

Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает каким рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению. Время на решение 15-20 минут.

1 группа готовит решение уравнения а),

2 группа-уравнение б )

3 группа –уравнение в)

4 группа –уравнение г)

«А по пятому уравнению д) попрошу обратить внимание группе учащихся»( можно разделить 2 –м учащимся решить одним из прилагаемых способов, а второй группке-другим способом). Если не успевают на уроке –задать на дом, с последующим объяснением на уроках.

Математическая эстафета «Кто быстрее?»

Каждая группа получает карточки с уравнениями, они- находятся в файлах ,на столах. Решив уравнение, один из учащихся группы выходит, изначально записывает ответ на доске , а потом проверяет решение со слайда.

Карточка с уравнениями.( на столах- карточки без ответов)

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Образовательные:
– актуализировать знания учащихся по теме “Решение тригонометрических уравнений” и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
– рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
– закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:
– содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
– формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
– отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:
– вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
– способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме “Общие методы решения тригонометрических уравнений”. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

Эпиграфом нашего урока будут такие слова:

Результат учения равен
произведению способности
на старательность.
Если старательность равна нулю,
То и все произведение равно нулю.
А способности есть у каждого.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Сегодня на уроке мы с вами должны решить тригонометрические уравнения (задание на столах. Приложение 1). Как вы думаете, что мы должны знать, чтобы приступить к их решению?

– Табличные значения тригонометрических функций.
– Формулы тригонометрии.
– Способы решения тригонометрических уравнений.
– Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Учитель: давайте вспомним формулы тригонометрии (на экране появляется начало формулы, учащиеся говорят продолжение формулы, затем правильный ответ появляется на экране).

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу.

1 ) Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

2.2. Рефлексивно-оценочная часть урока. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

После выполнения задания на экране появляются ответы, учащиеся сами себя проверяют.

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

Урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

МБОУ «Куйбышевская СОШ»

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

Решение тригонометрических уравнений

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Дроздова Лариса Александровна

— актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

— рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

— закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

— познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

— содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

— формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

— отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

— вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

1. Вводно-мотивационная часть

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Учитель: Учитель: Первый шаг к успеху при решении тригонометрических уравнений – это умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

При решении более сложных уравнений, на какой вопрос вы должны в первую очередь дать ответ?

Ученик: Какой способ применить? Какую формулу?

Учитель: Этот вопрос встаёт при решении любых уравнений, но при решении тригонометрических уравнений ответить на него особенно сложно. Почему?

Ученик: Много формул, сложно выбрать ту формулу, которая необходима в данном случае.

Учитель: Итак, проблему мы обозначили, попробуем её решить. Вспомните, какие уравнения мы решали, какие способы применяли, какие формулы. Постарайтесь разбить их на группы и изобразить это в виде модели.

Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня — рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа: Определение значений тригонометрических функций некоторых углов

Пример 1. .

Разделим обе части уравнения на 4.

,

.

Пример 2. .

Разделим обе части уравнения на.

,

,

уравнение не имеет корней, так как .

Ошибка заключена в делении на 4.

Ошибка заключена в делении на выраже-ние, содержащее переменную.

2. Основная часть урока.

Давайте, проверим домашнюю работу. (На экране отсканированная копия работы ученика), ученик объясняет способы решения уравнения.

Ребята, а теперь вспомним основные методы решения тригонометрических уравнений.

На доске собирается схема. Анализ методов решения.

1. Введение новой переменной.

2sin 2 x – 5sinx + 2 = 0.

Пусть sinx = t, |t|≤1,

Имеем: 2t 2 – 5t + 2 = 0.

Получаем и решаем tg = z,

2. Разложение на множители

2sinx cos5x – cos5x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

3. Однородные тригонометрические уравнения.

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).

Разделим на cosx ≠ 0.

Получаем и решаем: a tgx + b = 0; …

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

1) если а ≠ 0, разделим на cos 2 x ≠0

имеем : a tg 2 x + b tgx + c = 0.

имеем: b sinx cosx + c cos 2 x =0; разделим на cos 2 x ≠0

получаем и решаем

4. Неоднородные тригонометрические уравнения.

asinx + bcosx = c

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Введение вспомогательного угла

Опорные конспекты раздать учащимся

Учитель: Вспомнив теорию, давайте решим несколько тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

3. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой результатов работы Каждому учащемуся дается уравнение для решения, определить метод и решить его.

3 sin x+ 5 cos x = 0 — arctg 5/3+ πk, k Z.

5 sin2 х — 3 sin х cos х — 2 cos2 х =0 π/4 + πk; — arctg 0,4 + πn, k, n Z

3 cos2 х + 2 sin х cos х =0 π /2 + π k; — arctg 1,5 + π n, k, n Z

2 sin 2 x — sin x — 1 = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0 — arctg 2/3+ π k, k Z.

6 sin 2 х — 5 sin х cos х + cos 2 х =0 arctg 1/3+ π k; arctg 0,5 + π n, k, n Z

Физминутка. Найти под сидениями стульев ответ для своего уравнения.

2.2 Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим. Познакомимся с еще одним методом решения тригонометрических уравнений.

Метод оценки левой и правой частей.

Предлагаю решить вам следующее уравнение .

Использование тригонометрических формул не упростит уравнение.

Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравенствах , .

Так как наибольшее значение, которое могут принять функции и равно 1, то уравнение равносильно системе уравнений

Решим каждое уравнение.

, ,

. .

Все корни первого уравнения являются корнями второго ().

,

,

,

.

Следовательно, решением исходного уравнения является множество .

Ответ: .

Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1, получим х = 2 π+ 8πn, n Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn — 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.

Просмотр слайда, где исп. Триг. Ур.

Решение задания ЕГЭ

а) Ре­ши­те урав­не­ние sin 2 x = sin ( π /2+x)

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Сибирь. Ва­ри­ант 302.

3.1 Тест по определению метода

Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений:

а) ; – однородное уравнение ().

б) ; – ур-е, решаемое путем разложения на множ.

в) ; – ур-е, сводящееся к квадратным (замена пер.).

г) ; – ур-е, решаемое с пом. триг. преобразований

д) . – однородное уравнение ().

3.2 Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений я предлагаю вам выполнить домашнее задание дифференцированного содержания:

*Дифференцированное домашнее задание

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

3.3 Учитель: Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения, и с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

— Сегодня я узнал…

Учитель: Спасибо вам за насыщенную работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!