Урок математики в 10 классе тригонометрические уравнения

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Конспект урока математики в 10 классе «Различные способы решения тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Систематизация знаний учащихся по теме «Методы решений тригонометрических уравнений», формирование умений классифицировать тригонометрические уравнения по методам решения и применять эти методы в новой ситуации.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Бутурлиновская средняя общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района Воронежской области

Конспект урока по математике

«Различные способы решения тригонометрических уравнений».

Коротких Эмма Александровна

— систематизация знаний учащихся по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»;

-углубление знаний по теме;

— формирование умения классифицировать тригонометрические уравнения по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.

– способствовать развитию аналитико-синтетического мышления, внимания;

— содействовать развитию логического, математического мышления учащихся.

— развивать у учащихся коммуникативные способности, элементы ораторского искусства;

— способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Оборудование: экран, проектор, карточки для самостоятельной работы, карточки с проверочной работой «Карусель», интерактивная доска, система опроса и тестирования PrometheanActivExpression, таблицы: «Тригонометрический круг», «Тригонометрия», «Тригонометрические уравнения», индивидуальный справочный материал,индивидуальные оценочные листы; Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1.Учебник (задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень), — М.: Мнемозина, 2012.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Методы обучения: метод постановки проблемы и метод поиска решений.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Педагогические приемы урока: эпиграф, наблюдение, обобщение, общественный смотр знаний, самостоятельная и проверочная работы.

1. Организационный момент (1 мин).
2. Систематизация теоретического материала.

1.Самостоятельная работа: блиц-опрос — контроль знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям (система опроса и тестирования Promethean ActivExpression,системное голосование) (8 мин).

2.Повторение: методы решения тригонометрических уравнений (13 мин).

1. Проверочная работа (20 мин).
2. Итог урока. Рефлексия (2 мин).
3. Домашнее задание (1 мин).

1. Организационный момент урока.

— Сегодня на уроке мы будем учитьсяприменять различные методыв решении тригонометрических уравнений, которые занимают важное место в математическом анализе. Математика способствует развитию умений анализировать, сопоставлять, творчески мыслить. Правильное решение по-своему красиво, а поиск решения всегда интересен. Эпиграфом нашего урока будут словаМ. И. Калинина:

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе».

II. Систематизация теоретического материала

— Посмотрите на уравнения (слайд). Каким способом их можно решить? (постановка проблемы).

Пример 2 cos(x/5)=1

Пример 5. Решите уравнение

Пример7. 2sin 2 (x)+3cos(x)=0

Учащиеся дают разные ответы.

— Сравните и сопоставьте эти уравнения. Разбейте их на группы. Какими способами можно решить каждую получившуюся группу уравнений?

— Решение простейших уравнений: примеры 1,2

— Метод разложения на множители:примеры 3, 4.

— Метод замены переменных: примеры 5 ,6.

— Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул:примеры 7, 8

Верно. Все тригонометрические уравнения, как правило, сводятся к простейшим уравнениям, которые мы научились решать с помощью общих формул простейших тригонометрических уравнений, их частных случаев, а также с помощью тригонометрических формул. Обратите внимание на таблицы и справочный материал:

Справочный материал (на рабочем столе учащихся).

Урок «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа №12

по алгебре и началам анализа

по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Образовательные — повторение, обобщение, систематизация и углубление материала темы.

Развивающие –формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

Воспитательные – воспитание ответственности, активности, настойчивости, мобильности, общей культуре.

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор.

Проверка домашней работы. Устная работа.

Работа в группах.

Систематизация теоретического материала. Объяснение нового.

Домашнее задание. Итог урока.

Сегодня заключительный урок по теме « Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ. Перед вами стоит задача — показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние работы по группам.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группы (3 уровня сложности: легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили заранее до урока и оцениваются самими учащимися по готовым решения на интерактивной доске.

Задания легкого уровня.

Задания среднего уровня.

(2 tg x/2) / (1- tg 2 x/2)= 2 cos π /6

Сколько корней имеет уравнение sin x + sin 3 x =0 на отрезке [0; π ]

Задания усложненного уровня.

cos ( x+ π /4)= cos (2 x- π /3)

Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения 4 cos 2 x + 3 sin x cos x — 2 sin 2 x = 2

Сколько корней имеет уравнение sin x /8 * cos x /8* cos x /4 * cos x /2= 1/16 на отрезке [ π /6; 13 π /6]

Найдите ординаты общих точек графиков функций у = 2 tg x и у= 1+с tg x

Устно (повторение изученного материала)

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x = a при | a | > 1 ? [Нет решения]

2) при каком значении а уравнения sin x = a , cos x = a имеют решения? [Если | a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x = a ,

cos x = a ? при условии | a | ≤ 1

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x = a ,

5) чему равен ar с co s (- a ) ? [π- ar с co s a ]

6) в каком промежутке находится arctg a ? [-π/2; π/2] , чему равен arcctg (- a ) ? ( π — arcctg a )

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x = a ?

8) в каком промежутке находится arc с tg a ? (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x = a ? ( x= arcctg a + π n , n Z )

Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.

arcsin 45= √2/2 ( неопределенно )

arcos (-1/2) = -π/3 (2π/3 )

arcsin 3 = arcsin 1*3= π /4*3= 3 π /4 (не существует)

arctg 1= arctg π /4 (π /4 )

arctg (√3)= — π / 6 ( 3π /4 )

cos x =1/2 , х = ± π/6 + 2π к , к Z

Верно : cos x =1/2 , х = ± π/ 3 + 2π к , к Z

Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции

2) sin x =√ 3/2 , x = π/3 + π к , к Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1) к π/3 + π к , к Z

Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x = a

3) cos x /3 =√ 2/2 , x /3 = ± π/ 4 + 2 π к ; x = ± 3 π/ 4 + 2 π к /3, к Z

Верно : cos x /3 =√ 2/2 , x /3 = ± π/4 + 2 π к ; x = ± 3π/4 + 6 π к , к Z

Ошибка в выполнении деления

4) sin 2 x =1/3, x = (-1/2) n arcsin1/3 + π n , n Z

Верно : sin 2 x =1/3 , x = (-1) n /2 arcsin1/3 + π n /2, n Z

5) cos x = -1/2, x = ±(- π /3) + 2 π m , m Z

Верно : cos x = -1/2, x = ±2 π /3 + 2 π m , m Z

По определению arc с o s ( — π /3) [0 ;π ]

6) cos x =√10/3, x = arc с o s √10/3 + 2 π n , n Z

x — не существует, так как √10/3 не удовлетворяет условию | cos x | ≤ 1

7) tg x = -1, x = — π / 4 + 2 π n , n Z

8) ctg x =-√3/3, x = — π/3 + π m , m Z

По определению arc с o s ( — π /3) [0 ;π ]

Работа в группах

А теперь выберите одно из предложенных уравнений и решите его.

На экране проецируется задание.

2 cos 2 х + 5 sin х — 4=0

c os 2х + cos х =0

√ 2 sin ( x /2) + 1 = cos х

(-1) k π /6 + πk , k Z

3 sin x — 2 cos 2 x =0

cos 2x + sin x =0

√ 2 cos ( x /2) + 1= cos x

(-1) k π /6 + πk , k Z

(-1) k +1 π /6 + πn , n Z

Проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы

Систематизация теоретического материала.

Классификация тригонометрических уравнений.

На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.

Это простейшие тригонометрические уравнения типа sin f ( x )= a , которые решаются сначала относительно f ( x ) , а затем полученные уравнения решаются относительно х по известным формулам.

2sin 2 x- 7 cos x -5=0

2 cos 2 3 x+ sin 3 x -1=0

Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.

Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

4 sin 2 x+2 sin x cos x =3

Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x ( sin x ), cos 2 x ( sin 2 x )

cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x

Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

Уравнения вида a cos x + b sin x = c , где a ; b ; c 0. Решаются методом введения вспомогательного аргумента.

2 cos 3x+4 sin x/2=7

2 cos 3x+ cos x=-8

Данные уравнения решаются оценкой левой и правой частей

А сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1. Цель этого упражнения — устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

В положении стоя положите руки на бедра.

Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз .

Упражнение 2. Цель — укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и пред отвращения болей в области шеи .

Поза : сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой , а не вверх и не вниз .

Надавите указательным пальцем на подбородок .

Сделайте движение шеей назад .

Совет : совершая это движение , продолжайте смотреть прямо перед собой , не см отрите вверх или вниз . Для этого представьте , что кто — то , стоящий позади вас , тянет за нить , проходящую через ваш подбородок . Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд .
Повторите 10 раз .

К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = D , преобразуем данное уравнение А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = D ( sin 2 х + cos 2 х)

или (А – D ) sin 2 х + В sin х cos х + (С- D ) cos 2 х =0.

Уравнение A sin x + B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos 2 (x/2) — sin 2 (x/2) )= С (sin 2 (x/2) + cos 2 (x/2)). А теперь давайте решим следующее уравнение.

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2 x/2- sin 2 x/2= 2 sin 2 x/2+ 2 cos 2 x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2 x/2- sin 2 x/2- 2 sin 2 x/2- 2 cos 2 x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos 2 x/2- 3 sin 2 x/2= 0

Если cos x /2 =0 , то должно выполняться равенство sin 2 x /2 =0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos 2 x /2 и получить уравнение, равносильное данному

Пусть tg x /2=у, получим квадратное уравнение

Д =16-12=4, Д >0, уравнение имеет два различных корня

x /2= arctg 1 + π n , n Z x /2= arctg 1/3 + π к , к Z

x /2= π /4 + π n , n Z x = 2 arctg 1/3 +2 π к , к Z

x = π /2 +2 π n , n Z

Ответ: x = π /2 +2 π n , n Z , x = 2 arctg 1/3 +2 π к , к Z

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение, введение новой переменной)

На экране проецируется задание.

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin 2 х — 3 sin х cos х — 2 cos 2 х =0

3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0

5 sin 2 х + 2 sin х cos х — cos 2 х =1

2 sin x — 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos 2 х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin 2 х — 5 sin х cos х + cos 2 х =0

2 sin 2 x – sin x cosx =0

4 sin 2 х — 2 sin х cos х — 4 cos 2 х =1

2 sin x — 3 cos x = 4

2 sin 2 х — 2sin 2 х +1 =0

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы

«3»

— arctg 5/3+ πk , k Z .

π /4 + πk ; — arctg 0,4 + πn , k , n Z .

π /2 + πk ; — arctg 1,5 + πn , k , n Z .

π /4 + πk ; — arctg 0,5 + πn , k , n Z .

arctg ( — 1 ± √5) + πk , k Z .

π /4 + πk ; arctg 7 + πn , k , n Z .

— arctg 2/3+ πk , k Z .

arctg 1/3+ πk ; arctg 0,5 + πn , k , n Z .

πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; — arctg 5/3 + πn, k, n Z.

arctg ( 2 ± √11 ) + πk, k Z.

π /4 + πk ; arctg 1/3 + πn , k, n Z.

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

— Что нового узнали на уроке?

— Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

— Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

— Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен.