Урок методы решения тригонометрических уравнений и их систем

методы решения тригонометрических уравнений
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

Учитель математики: Жихарева Е. Н.

Тема: Методы решения тригонометрических уравнений.

-углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;

-сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.

-воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

-формирование умения анализировать поставленную задачу;

-способствовать улучшению психологического климата в классе.

-способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;

-способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

I. Актуализация опорных знаний

Повторение определения тригонометрических уравнений и формул простейших тригонометрических уравнений.(слайд 2,3)

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим способы их решения. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

— При решении тригонометрических уравнений остаются в силе общие правила решения алгебраических уравнений. Если при этом использованы неравносильные преобразования уравнений, то на конечном этапе решения необходимо проверить: принадлежат ли найденные значения неизвестного к корням данного уравнения или нет.

Каждое конкретное уравнение может быть решено различными способами, что при безошибочности выполняемых действий приведет к одному и тому же окончательному результату. Однако следует иметь в виду, что из-за различия методов решения результат может быть получен в разных формах (приводимых друг к другу тождественными преобразованиями).

Тождественные преобразования с помощью тригонометрических формул в процессе решения позволяют, как правило, свести данное уравнение к одному из нескольких основных типов, решаемых стандартными (наиболее часто встречающимися) методами.

Объяснение учителя. (Презентация)

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x ,

cos 4 x · ( cos 2 x – cos 4 x ) = 0 ,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0 ,

1). cos 4 x = 0 , 2). sin 3 x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а ) перенести все его члены в левую часть;

б ) вынести все общие множители за скобки;

в ) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y 1 = 1, y 2 = 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

a sin x + b cos x = c ,

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4 x – cos 8 x = cos 4 x ,

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .

Таким образом, решение даёт только первый случай.

Перед вами тригонометрические уравнения распределите их в таблице указав их номер определив метод их решения.

Алгебраический метод ( метод замены переменной и подстановки ).

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Урок по алгебре на тему «Методы решения тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе

Семендяева Людмила Вячеславовна

«Ровеньковская общеобразовательная школа №8»

Цели: Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений;

Содействовать развитию математического мышления учащихся;

Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Проверка домашнего задания:

а) Поменяться домашними тестами с соседом по парте и проверить работы

б) Приготовить карточки с уравнениями, где вы должны были дома определить методы решения этих уравнений и устно объяснить свой выбор.(слайд 2)

1. sin — cos 6x = 2 ;

2. sin x = 4sin 2 x cosx

3. sinx — . sin 2 x= sin 2 x

4. 5 sinx – 2 cosx = 1

5. sin3x cos2x = 1

6. cos2x = (cos x – sin x)

7. 1 – sin2x = cos x – sin x

9. 4 – cos 2 x = 4 sin x

10. sin3x – sin5x = 0

11. tg3x tg(5x + ) = 1

12. 2 tg — cos x = 2

Методы решения тригонометрических уравнений:

1.Разложение на множители.

2.Введение новой переменной:

а) сведение к квадратному;

б) универсальная подстановка;

в) введение вспомогательного аргумента.

3. Сведение к однородному уравнению.

4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:

а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;

б) использование свойства ограниченности функции.

а) 1. Какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

2. Определите и ответьте, какими методами нужно решать данные тригонометрические уравнения?

а ) sin 2x – cos x = 0,

б ) 2sin²x — 5sinx = -3,

в ) cos²x – sin²x = sinx – cosx,

г ) sin 2 x – 3sinx cosx + 2cos²x = 0. ( по 1 человеку у доски)

б) 3. Какие основные формулы решения простейших тригонометрических уравнений вы знаете?

4. Определите и ответьте, какое уравнение имеет данное множество решений? (найти соответствие)

1. x = (-1) arcsin α + π n, n  z

2. x = arctg α + π n, n  z

3. x = arc с os α +2 π n, n  z

4. x = π +2 π n, n  z

5. x = +2 π n, n  z

7. x = 2 π n, n  z

8. x = — +2 π n, n  z

9. x = + π n, n  z

(1.sin x = а , 2.tg х = а , 3. со s x = a, 4.cos x = -1, 5.sin x = 1, 6.sin x = 0, 7. со s x = 1, 8.sin x = -1, 9. со s x = 0)

5. Решите простейшие тригонометрические уравнения:

( а) x = +2  n , n  z ; б) x =  + 2  n , n  z ; в) x = +2  n , n  z ; г) нет решений; д) x = arctg 2 + n , n  z .)

3. Решение уравнений:

Тригонометрическими называются уравнения, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции. Уравнения sin x = х; tg 3 x = 2х +1 и так далее не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически. Возьмите карточки в клеточку и решите уравнение sin x = х (х = 0)

Может случится так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому. Например, 2(х-6) cos 2 x = x -6, ( x -6) (2 cos 2 x – 1) =0, x = 6 или x = +  n , n  Z . Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения, знать тригонометрические формулы и определять нужный метод решения для данного вида тригонометрического уравнения.

Решим уравнение №1. sin — cos 6 x = 2. (1 ученик у доски)

Решим методом использования свойства ограниченности функции.

Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(х) и g(х) таковы, что для всех х выполняются неравенства f(х)а и g(х) в, и дано уравнение

f(х) + g(х) = а + в, то оно равносильно системе

Так как и , то имеем систему: ; ;

.

Покажем общее решение на тригонометрической окружности. Решение первого уравнения системы обозначим , а второго – точкой и найдем их общее решение.

Ответ: + 6  m , m .

Трое учеников решают уравнения №10, №8, №11 на доске , остальные учащиеся решают любой из этих номеров.

2.Решим уравнение №10. sin 3 x – sin 5 x = 0.

При решении уравнений, сводящихся к равенству одной тригонометрической функции от различных аргументов можно применить метод использования условий равенства одноименных тригонометрических функций. Равенство этих функций имеет место тогда и только тогда, когда, соответственно, x = (-1) n y +  n , x = , x = y + .

nZ, kZ

nZ, kZ

g(x) +  n

nZ, kZ

На основании условий равенства двух синусов имеем:

,

Ответ : x =  k,k  Z; x = (2n+1) ,n  Z.

3. Решим уравнение №8. cos 3 x = sin x .

Используя формулы приведения, получим

cos 3 x = cos ( — x ). Воспользуемся равенством косинусов двух углов, имеем:

Ответ: x = (4 n +1) , nZ , x = (4 k -1) , kZ .

4. Решим уравнение №11. tg 3 x tg (5 x + ) = 1.

Разделим обе части уравнения на tg 3 x . Это допустимо, так как в данных условиях tg 3 x не может равняться нулю:

tg (5 x + ) = , tg (5x + ) = с tg 3x, tg (5x + ) = tg ( — 3x).

На основании условия равенства тангенсов двух углов имеем:

5 x + — + 3 x =  n ;

8х = +  n ; х = + ; х = (6 n + 1) , nZ .

При каждом значении х из этой совокупности каждая из частей уравнения tg (5 x + ) = tg ( — 3 x ) существует.

Уравнения sin x = sin у и cos x = cos у можно решать и с применением формул, заменив разность функций произведением.

5. Уравнения вида a sinx + b cosx = c ( a , b , c 0).

Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл;

Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество.

Рассмотрим случаи, когда а,в,с не равны 0.

sin x + 4 cos x = 1,

3 sin 5x — 4 cos 5x = 2,

2 sin 3 x + 5 cos 3 x = 8.

Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7. Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tg ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими.

Решение этих уравнений существует при a 2 + b 2 c 2 .

6. Решить уравнение sin x + cos x = 1 введением вспомогательного аргумента.

Разделим обе части уравнения на = , получим sin x + cos x = , cos sinx + sin cos x = , sin ( x + ) = , x + = (-1) n arcsin + π n , n  z , x = (-1) n — + π n , n  z .

Ответ: x = (-1) n — + π n , n  z .

Какими еще методами можно решать данное уравнение?

( Сведением к однородному уравнению, выразив sin x , cos x и 1 через функции половинного аргумента; с использованием универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tg , sin x = , cos x = . ( )

Обращение к функции tg предполагает, что cos , то есть x   2  n , n  z и другими)

Рассмотреть решение уравнения 2 sin x + cos x = 2 на слайдах (14 и15) сведением к однородному уравнению и введением вспомогательного аргумента.

Решить уравнение самостоятельно

Проверим с помощью следующего слайда (16 – 17).

7. Самостоятельная работа:

1 в. №6, №2. (№6: x =(4 n +1) , x = (8 k +1) n , kZ ; №2: x = (2 m +1)  , x = (-1) n + , m , nZ .

2в. №7, №3. (№7: x = (4 n +1) , x = , n , k  Z ; №3: х=2  k , x = (-1) n +  n , n , kZ .

Дополнительно: Решить уравнение sin x + cos x = 1 разными способами .

Итоги урока: При решении тригонометрических уравнений могут возникнуть некоторые проблемы.

Например: При решении уравнения cos 2 x + sin x cos x = 0 делить на со s x нельзя, так как в условии не указано, что со s x  0. Но можно утверждать, что sin x  0, так как в противном случае со s x = 0, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству. Значит можно решать либо делением на sin 2 x , либо разложением на множители.

Потеря корней, лишние корни.

Опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

Возводим в четную степень.

Умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Нужна ли проверка решения тригонометрического уравнения? На этот вопрос утвердительно ответить нельзя. Если тригонометрическое уравнение представляет собой целый многочлен относительно синуса и косинуса и если грамотно решать уравнение, то проверка может понадобится только для самоконтроля – для уверенности в правильности решения. Проверка, как правило, не нужна. Если следить в процессе решения уравнения за равносильностью перехода, то проверку решения можно не делать. Если же решать уравнение без учета равносильности перехода, то проверка обязательно нужна, особенно когда уравнение содержит тангенс, котангенс, дробные члены или тригонометрические функции от неизвестного, входящие под знак радикала. Не сделав в этом случае проверку, приходят к грубым ошибкам, к посторонним решениям. При решении уравнений, содержащих дробные члены, нужно следить за сокращением дробей, ссылаясь на основное свойство дроби. В этом случае мы избегаем посторонних корней и избавляем себя от проверки найденных решений.

Домашнее задание: Решить уравнения №4 (несколькими способами), №5,№9.