Урок на тему иррациональные уравнения

При каких условиях равенство будет верным?

Сделать карточки и при ответах их прикрепить к доске.

Они должны висеть до конца урока.

II. Объяснение нового материала.

На магнитной доске висят карточки с уравнениями.

Учитель: Прошу вашего внимания на доску. Здесь расположены карточки, на которых записаны уравнения. Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?

– Кто из вас может выйти к доске убрать карточки с уравнениями, которые вы можете решить и назвать их тип?

Вывод: Остались карточки с уравнениями, которые вы еще не умеете решать.

– Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?

Ответ: Неизвестное находится под знаком корня.

– Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.

Итак, тема нашего урока: “Иррациональные уравнения”.

Цель урока: Отработать алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотреть некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.

Записываем число и тему урока в тетрадь.

Объясняю алгоритм решения и оформления иррациональных уравнений.

Беру первую карточку с уравнением, прикрепляю к основной доске и решаю его.

Основной метод решения иррациональных уравнений – это метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но при этом мы можем получить неравносильное уравнение, поэтому в конце обязательно нужно сделать проверку.

3. Следовательно, числа –3 и 3 являются решениями данного иррационального уравнения.

Учитель: А как бы вы решали вот такое уравнение

2. Выходит учащийся к доске и решает второе уравнение этим же способом.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим х + 2 = х 2 ; х 2 – х – 2 = 0; х₁ = -1, х₂ = 2.

– Давайте проверим, являются ли полученные значения переменной решениями данного уравнения? Пишем ПРОВЕРКА!

Следовательно, число 2 является решением данного уравнения.

Итак, ребята, мы получили, что только одно значение переменной является решением данного уравнения. Это число 2. Число –1 в данном случае называется посторонним конем.

Вопрос к отвечающему: Скажи, важна ли проверка в иррациональных уравнениях, решаемых таким способом и почему?

Ответ: Да, так как могут появиться посторонние корни.

Учитель: Возможность появления посторонних корней обязывает нас быть очень внимательными при решении иррациональных уравнений.

Мы рассмотрели один из способов решения иррациональных уравнений. Это возведение обеих частей уравнения в квадрат. А если переменная находится под знаком корня 3-ей, 4-ой и т.д. степени. Тогда как быть?

Ответ: Возвести обе части уравнения в 3-ю, 4-ю и т.д. степень.

Учитель: Кто попытается сформулировать общий способ решения иррациональных уравнений?

Выслушать все высказывания и в завершении подвести итог.

Учитель: Значит одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. И не забыть, при этом сделать проверку, отсеяв, возможные посторонние корни.

III. Закрепление нового материала.

Решить следующие уравнения:

1.

Ответ: нет корней.

2.

Ответ: нет решений.

Ответ: 0; 2.

Учащиеся первые два уравнения решают у доски, третье уравнение на местах, один ученик проговаривает решение, четвертое уравнение устно, а пятое – для хорошо успевающих детей.

Учитель: На следующем уроке я покажу вам другой способ оформления решения иррациональных уравнений, используя равносильные переходы. А сегодня я бы хотела показать вам еще один способ решения иррациональных уравнений. Это графический способ. Так как этот способ дает нам не точные значения переменной, то его используют реже. Однако встречаются уравнения, которые можно и легче решить именно этим способом. Посмотрите, как это делается. Внимание на экран.

Показываю презентацию (слайды № 1-5)

Решить уравнение (рис. 1, 2, 3).

Учитель: Существует ее один способ решения иррациональных уравнений. Этот способ вы рассмотрели самостоятельно, выполняя домашнее задание № 410 (б). Посмотрите еще раз на это уравнение.

– Какое вам нужно было решить уравнение?

– Каким способом вы его решали?

Ответ: Способом замены переменной.

Учитель: Итак, существует несколько способов решения иррациональных уравнений. Мы сегодня рассмотрели только некоторые из них. Давайте, перечислим, какие это способы?

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня, графический способ, способ замены переменной.

Учитель: Расскажите алгоритм решения уравнений каждого из способов.

Учащиеся очень быстро проговаривают три алгоритма.

Учитель: Молодцы! А теперь прошу внимание на экран.

Высвечиваются уравнения через проектор по одному (презентация, слайд №5)

Учитель: Как решить первое уравнение?

Выслушать все варианты ответов. Если будут затруднения, вспомнить еще раз с учащимися определение арифметического квадратного корня и обратить внимание на доску с карточками, , где записаны условия выполнения равенства

Ответ: уравнение не имеет решения.

Высветить второе уравнение. Учащиеся дают свои варианты решения. Учитель их внимательно выслушивает, корректирует, задает наводящие вопросы, если это необходимо. И все вместе делают вывод, что уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Высветить третье уравнение. Все необходимые рассуждения высвечиваются на экран. Решаем это уравнение с помощью области определения уравнения. В итоге получаем систему

которая не имеет решений. Следовательно, и уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

IV. Подведение итогов.

Итак, ребята! Какие уравнения мы сегодня на уроке рассмотрели?

– Дать определение иррациональных уравнений.

– Какая особенность существует при решении иррациональных уравнений?

– Какие способы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели?

– Молодцы! Запишите домашнее задание. (На экран высветить слайд № 7).

V. Домашнее задание.

Пока ребята записывают домашнее задание, учитель проговаривает оценки за урок, обосновывая каждую оценку.

Открытый урок по дисциплине «Математика» на тему: «Иррациональные уравнения»
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему

Работа посвящается разработке методики проведения уроков с использованием информационных и коммуникационных технологий (ИКТ). На сегодняшний день одним из перспективных и важных является комплексный подход к использованию средств ИКТ. Информационные и коммуникационные технологии неизмеримо расширяют возможности организации и управления учебной деятельностью и позволяют реализовать огромный потенциал перспективных методических разработок, найденных в рамках традиционного обучения, которые в силу определенных объективных причин не смогли бы дать нам должного эффекта.

Методы изложения нового материала и методы освоения материала студентами, предложенные в разработке, разнообразны: это и объяснительно-иллюстративный с элементами опорного конспектирования; работа в парах. Использован также способ обучения в сотрудничестве.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Открытый урок по математике для студентов 1 курса СПО

преподаватель Мерикова Любовь Анатольевна

Тема занятия: «Иррациональные уравнения».

Вид занятия: урок.

Тип занятия: урок формирования новых знаний.

Научить решать иррациональные уравнения, стимулировать студентов к овладению рациональными приёмами и методами решения иррациональных уравнений.

Формировать культуру общения: умение выслушивать других; формировать навыки самоконтроля и контроля полученных знаний и навыков, чувство ответственности за выполненную работу, дисциплинированность.

Развивать мыслительную деятельность студентов: умение анализировать, обобщать, классифицировать.

Показать методику проведения урока формирования новых знаний с применением ИКТ.

Методы обучения: объяснение преподавателя, самостоятельная работа студентов с последующей самопроверкой, презентация.

Обеспечивающие: физика, математика (базовый уровень).

Оснащение занятия: компьютер и проектор, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал: карточки с текстом заданий самостоятельной работы, листы самоконтроля ответов студентов, карточки с домашним заданием.

1. Организационный момент:

Приветствие студентов. Осведомление об отсутствующих.

(Демонстрация презентации 1-й слайд, появление только эпиграфа к занятию).

— Занятие сегодня мне хотелось бы начать словами из книги «Прелюдия к математике», которую написал известный английский преподаватель Уолтер Уорик Сойер.

2. Актуализация опорных знаний (метод: фронтальный опрос).

— Прежде чем приступить к изучению новой темы, вспомним ранее изученные сведения.

Вопросы для повторения:

1) — Дайте определение уравнения с одной переменной.

Ответ: Равенство с одной переменной, в котором нужно найти те значения переменной, при которых получается верное числовое равенство.

2) — Что называется корнем уравнения?

Ответ: Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

3) – Какие уравнения называются равносильными?

Ответ: Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

4) – Какие равносильные преобразования можно выполнять при решении уравнений?

Ответ: — перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;

— умножение обеих частей равенства на одно и то же отличное от нуля число;
— дробь равна нулю, тогда и только тогда когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

У каждого из вас на столе лежит справочный материал, в котором содержатся: таблица квадратов чисел; формулы сокращенного умножения; формулы нахождения корней полного квадратного уравнения, вы можете пользоваться этими материалами при решении уравнений.

3. Мотивация учебной деятельности.

В результате работы на сегодняшнем занятии, мы познакомимся с понятием иррационального уравнения, рассмотрим некоторые способы решения различных иррациональных уравнений, сначала мы будем решать уравнения совместно, затем выполним самостоятельную работу, вы обменяетесь с соседом по парте работами и выполните проверку работы, результаты будем записывать в лист самооценки.

4. Запись темы и плана занятия:
(Демонстрация презентации: 1-й слайд — появление темы занятия).

— Откройте свои тетради и запишите тему занятия: «Иррациональные уравнении».

(Демонстрация презентации: 2-й слайд — план занятия).

— Запишите план занятия.

План занятия:
1) Понятие иррациональных уравнений.

2) Методы решения иррациональных уравнений.

3) Решение иррациональных уравнений.
4) Самостоятельная работа.

5. Изучение нового материала.

1) Понятие иррациональных уравнений: (Демонстрация презентации: 3-й слайд ).

Определение. Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала.

2) Методы решения иррациональных уравнений:

(Демонстрация презентации: 4-й слайд ).

Преподаватель: Решение иррационального уравнения основано на преобразовании его к рациональному уравнению, которое достигается возведением обеих частей в одну и ту же степень (иногда несколько раз). При этом если обе части уравнения возвести в нечётную степень, то получим уравнение, равносильное данному. Запишите это в конспект.

(Демонстрация презентации: 5-й слайд ).

Преподаватель: В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым, при этом используя следующие правила преобразований уравнения в равносильное:
— перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;
— обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число;
— уравнение можно заменить равносильной системой или решить уравнение f(x)=0, а затем отбросить те корни, которые обращают в 0 знаменатель.

(Демонстрация презентации: 6-й слайд , запись информации на слайде в конспект).

Преподаватель: При возведении обеих частей иррационального уравнения в чётную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Уравнению – следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но могут появиться и корни, которые не являются корнями исходного уравнения, так называемые посторонние корни. Запишите это в конспект.

(Демонстрация презентации: 7-й слайд , запись в конспект).

Преподаватель: К появлению посторонних корней могут привести следующие преобразования:
— возведение в квадрат (или в чётную степень) обеих частей уравнения;

— умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную.

(Демонстрация презентации: 8-й слайд , запись в конспект).

Преподаватель: Рассмотрим правила равносильного перехода для простейших иррациональных уравнений. То есть те преобразования при выполнении, которых проверка не требуется.

1) если (область допустимых значений находить не надо).

2) если или любой другой корень чётной степени равен отрицательному числу, то ( x принадлежит пустому множеству, т.е. решений нет).

3) если квадратный корень равен нулю, то и подкоренное выражение равно нулю:
.

Уравнения вида (т.е. n – чётное) решаются по аналогичным правилам.

4) если n – чётное, то .

Таким образом: (условие f(x) ≥ 0 в этом случае не рассматривается, т.к. проверяется автоматически потому что правая часть уравнения системы неотрицательна).

2) Методы решения иррациональных уравнений;

3) Решение иррациональных уравнений.
(Демонстрация презентации 9-й слайд , запись в конспект)

Привлечение к решению уравнения студентов:
-Что нужно сделать чтобы решить это уравнение?
Ответ: обе части уравнения возвести в квадрат.

Подставив полученные корни в исходное уравнение, видим, что они удовлетворяют ему.

В данном случае. проверку делать было не обязательно, почему?
— Потому что в правой части равенства положительное число.

(Демонстрация презентации 10-й слайд , запись в конспект)

По определению арифметического квадратного корня: – это неотрицательное число, квадрат которого равен a .

Ответ: решений нет.

(Демонстрация презентации 11-й слайд , запись в конспект)

Преподаватель: Рассмотрим решение уравнений вида:

(Студент решает у доски, затем проверка с помощью слайда, способы могут не совпадать).

В результате проверки получаем, что число -7 не является корнем данного уравнения.

При такой записи проверка не нужна.

(Демонстрация презентации 12-й слайд , запись в конспект)

Преподаватель: Рассмотрим решение уравнения, содержащего более одного радикала. Уравнение вида .

Из двух систем решают ту, которая решается проще.

(Демонстрация презентации 13-й слайд , запись в конспект)

Иногда для решения уравнения достаточно найти область допустимых значений (ОДЗ). То есть все значения переменной, при которых уравнение имеет смысл.

Ответ: решений нет.

(Демонстрация презентации 14-й слайд , запись в конспект)

Запишите в конспекты рекомендации для линейных комбинаций двух и более радикалов.

Если уравнение содержит два и более радикала, то необходимо придерживаться следующих правил:
1. указать область допустимых значений уравнения;
2. распределить радикалы по обеим частям, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными;
3. только после этого возводить в квадрат левую и правую части уравнения.

(Демонстрация презентации 15-й слайд , запись в конспект)

(Студент у доски решает, затем проверяем с помощью слайда).

Возведем в квадрат ещё раз обе части уравнения, получим:
,

Выполнив проверку, получим, что корнем уравнения является число 5.

Или можно воспользоваться ещё одним правилом равносильного перехода, и тогда проверка не нужна:
.

(Демонстрация презентации 16-й слайд , запись в конспект)

Пример 7 (Решение с привлечением студентов).

(Демонстрация презентации 17-й слайд , запись в конспект)

Решение иррациональных уравнений с использованием способа замены переменных.

Тогда решаем уравнение: ⇔ так как , то возвращаемся к замене:

Проверка показывает, что оба числа являются корнями уравнения.

(Демонстрация презентации 18-й слайд , запись в конспект)

Преподаватель: Рассмотрим решение уравнений вида:

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а второй при этом имеет смысл:
.

(Демонстрация презентации 19-й слайд , запись в конспект)

Преподаватель: Если у нас радикал имеет нечётную степень здесь всё просто, возвести обе части уравнения в эту степень и решить получившееся уравнение.

Пример 10 (Студент у доски решает, затем выполняем проверку с помощью слайда).

(Демонстрация презентации 20-й слайд , запись в конспект)

Преподаватель: И ещё один способ решения иррационального уравнения – графический.

Графически решить уравнение

Решение. Построим в одной системе координат графики функций . Графики пересекаются в одной точке при .

Преподаватель: Методов решения иррациональных уравнений очень много и рассмотреть их подробно в рамках одного занятия нет возможности, для заинтересовавшихся студентов я могу рассказать о других методах во внеурочное время.

6. Закрепление нового материала.

4) Самостоятельная работа.

А теперь, проверим уровень понимания материала, приготовьтесь к выполнению теста. Результаты теста записывайте в листы самопроверки, которые у вас лежат на столе, на выполнение теста у вас 5 минут. Выполнять тест старайтесь самостоятельно, только в этом случае можно определить, как вы поняли материал занятия. (Тест на слайде 21 , текст теста приложение 4).

(Демонстрация презентации 22-й слайд)

Проверка тестового задания.

— Проверяем правильность рассуждений, внимание, посмотрите на слайд и сверьте получившиеся у вас результаты с правильными.

— Кто ответил на все вопросы правильно? Поднимите руки, пожалуйста.

— Кто не ответил ни на один вопрос? Есть у нас такие? (Если да, то поручить студентам, хорошо ориентирующимся в теме объяснить этот материал ещё раз своим товарищам).

— Выполним самостоятельную работу, проверять её будем в парах
(Приложение 2).

23-й слайд. – Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте и выполните проверку, а теперь сверьте получившиеся результаты с теми, что на слайде и запишите в лист самоконтроля.

7. Подведение итогов урока.

Подведем итог нашего занятия:

— Какие уравнения мы сегодня научились решать?

— С какими способами решения иррациональных уравнений познакомились?

— Запишите своё отношение к занятию в лист самоконтроля (приложение 1).

8.Задание на дом и его инструктаж .

Запишите задание на дом: Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа.
Учебник. Ч.1- М.: Наука, 1987 § 10 (п.2), карточка с заданиями (приложение 3).
Задание выполнить письменно в тетради к следующему занятию.

9. Заключительная часть урока.

На этом наше занятие окончено, до встречи на следующем занятии.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Иррациональные уравнения. Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если бы смог передать ученику гибкость ума, которая дала бы ему в дальнейшем возможность самостоятельно решать задачи. У.У . Сойер .

План 1) Понятие иррациональных уравнений. 2) Методы решения иррациональных уравнений. 3) Решение иррациональных уравнений.

Определение Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала. Примеры:

Приёмы решения иррациональных уравнений. Решение иррационального уравнения основано на преобразовании его к рациональному уравнению. Это достигается возведением обеих его частей в одну и ту же степень (иногда несколько раз). При этом если обе части уравнения возвести в нечётную степень, то получим уравнение, равносильное данному. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными.

В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым, при этом используя следующие правила преобразований уравнения в равносильное: — перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком; — обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число; — уравнение можно заменить равносильной системой или решить f(x)=0 , а затем отбросить те корни, которые обращают в 0 знаменатель.

Степень чётная: При возведении обеих частей иррационального уравнения в чётную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но могут появиться и корни, которые не являются корнями исходного уравнения, так называемые посторонние корни . Поэтому все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение и посторонние корни отбрасывают.

К появлению посторонних корней могут привести (не обязательно приводят) следующие преобразования: — возведение в квадрат (или четную степень) обеих частей уравнения; — умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную.

Правила равносильного перехода для простейших иррациональных уравнений 1) если a>0 , то (здесь проверять область допустимых значений не надо); 2) если ; 3) если квадратный корень равен нулю, то и подкоренное выражение равно нулю: Уравнение вида решаются по аналогичным правилам. 4)

Пример 1. Решить уравнение: Подставив полученные корни в исходное уравнение, видим, что они удовлетворяют ему. Ответ: -4; 4.

Пример 2. Решить уравнение: . Решение. По определению арифметического квадратного корня: — это неотрицательное число, квадрат которого равен a . Ответ: решений нет.

Уравнение вида: Способ решения: . Пример 3. Решить уравнение: Решение. Ответ: 3

Рассмотрим уравнение Из двух систем решают ту, которая решается проще. Пример 4. Решить уравнение: Ответ: -7.

Пример 5. Решить уравнение: . Решение. Подкоренные выражения не должны быть отрицательными: Полученная система неравенств решений не имеет, не имеет их, таким образом, и исходное уравнение. Ответ: решений нет.

Линейные комбинации двух и более радикалов. Если уравнение содержит два и более радикала, то необходимо придерживаться следующих правил: 1. указать область допустимых значений уравнения; 2. распределить радикалы по обеим частям, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными; 3. только после этого возводить в квадрат левую и правую части уравнения.

Пример 6. Решить уравнение: Решение. Ответ: 5.

Пример 7. Решить уравнение: . Решение. Ответ:

Использование замены переменных

Уравнение вида Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а второй при этом имеет смысл: Пример 9.

Степень нечётная: Решим уравнение: Ответ: 0; 2. Проверка не нужна!

Графический способ решения иррационального уравнения Графически решить уравнение .Построим в одной системе координат графики функций и . Графики пересекаются в одной точке при x  0,5. Ответ: 0,5.

Тест 1) Какие из уравнений не являются иррациональными? 2) Какие иррациональные уравнения не имеют корней? 3) Какие иррациональные уравнения необходимо решить с проверкой? 4) Какие уравнения имеют один корень?

Ключ к тесту 1 2 3 4 в, д б г а, е

Ответы к самостоятельной работе Вариант 1 . Вариант 2 . № задания 1 2 3 4 5 6 ответ 2) 1) 3) 0 10 -8 № задания 1 2 3 4 5 6 ответ 3) 2) 1) -14 10 -6

Предварительный просмотр:

Самостоятельная работа по теме: Иррациональные уравнения.

1. Решите уравнение:

1) -2 2) 3 3) 6 4) -2; 3.

2. Решите уравнение:

1) – 1 2) 1 3) – 6 4) 6 .

3.Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения:

1) (- 2; 2] 2) (- 4; — 3) 3) (- 3; — 2] 4) [0;2]

4 . Найдите произведение корней уравнения

5. Найдите суму корней уравнения (х – 5)

Самостоятельная работа по теме: Иррациональные уравнения.

1. Решите уравнение:

1) 4 2) 1 3) – 4 4) – 1

2. Решите уравнение:

1) 7 2) 4 3) 4; 7 4) нет корней

3. Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения = х +1

1)[3; 6] 2) (-2; 0) 3) (0; 2) 4) [- 4; — 1)

4. Найдите сумму корней уравнения

5. Найдите произведение корней уравнения ( х + 2)

6. Решите уравнение:

Предварительный просмотр:

Лист самоконтроля студента ________________________________________

К занятию по теме « Иррациональные уравнения».

Урок на тему «Иррациональные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ГУ «Вечерняя(сменная) средняя общеобразовательная школа №5 при учреждении ЕЦ 166/5»

учитель математики Бережная Л.И.

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ

Тема: Иррациональные уравнения

Цель: Научить учащихся решать иррациональные уравнения.

Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения;

Проверка знаний учащихся по решению иррациональных уравнений;

Повторение пройденного материала с целью предупреждения забывания.

Развитие умения мыслить, делать выводы, применять теоретические знания для решения задач;

Развитие самостоятельности, мышления, познавательного интереса.

Воспитание интереса к математике, трудолюбия.

Тип урока: урок изучения нового материала и первичное его закрепление

Вид урока: смешанный (рассказ, беседа, самостоятельная работа).

I .Организационный момент.

II. Актуализация. Сообщение темы и цели урока.

III. Изучение нового материала. IV . Закрепление изученного материала

V. Самостоятельная работа. VI. Подведение итогов. Рефлексия VII. Домашнее задание.

I .Организационный момент.

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку.

Эпиграфом сегодняшнего урока будут слова:

«Да, мир познания не гладок.

И знаем мы со школьных лет

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет!»

II. Актуализация. Сообщение темы и цели урока.

Что такое уравнение? (Уравнение – это равенство двух алгебраических выражений).

Что называется корнем уравнения? (Корнем уравнения называется, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство).

Что значит решить уравнение? (Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней).

Решением уравнений в школе мы с вами занимаемся, по меньшей мере, в течение семи лет. В этом году вам придется сдавать выпускные экзамены, где часто предлагаются различные виды уравнений, для решения которых применяются определенные преобразования и не всегда стандартные.

Прошу вашего внимания на доску. Здесь записаны уравнения. Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?

– Кто из вас может выйти к доске и подчеркнуть уравнения, которые вы можете решить и назвать их тип?

Вывод : Остались карточки с уравнениями, которые вы еще не умеете решать.

– Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?

Ответ: Неизвестное находится под знаком корня.

– Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.

Итак, тема нашего урока: “Иррациональные уравнения”.

Цель урока : Отработать алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотреть некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.

Записываем число и тему урока в тетрадь.

III. Изучение нового материала.

Объясняю алгоритм решения и оформления иррациональных уравнений.

Решаю уравнение. =2

Основной метод решения иррациональных уравнений – это метод возведения в одинаковую степень обеих частей уравнения. Но при этом мы можем получить неравносильное уравнение, поэтому в конце обязательно нужно сделать проверку.

3. Следовательно, числа –3 и 3 являются решениями данного иррационального уравнения.

Преподаватель: А как бы вы решали вот такое уравнение

2. Выходит учащийся к доске и решает второе уравнение этим же способом.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим х + 2 = х 2 ; х 2 – х – 2 = 0; х ₁ = -1, х ₂ = 2.

– Давайте проверим, являются ли полученные значения переменной решениями данного уравнения? Пишем ПРОВЕРКА!

Следовательно, число 2 является решением данного уравнения.

Итак, ребята, мы получили, что только одно значение переменной является решением данного уравнения. Это число 2. Число –1 в данном случае называется посторонним конем.

Вопрос к отвечающему: Скажи, важна ли проверка в иррациональных уравнениях, решаемых таким способом и почему?

Ответ: Да, так как могут появиться посторонние корни.

учитель: Возможность появления посторонних корней обязывает нас быть очень внимательными при решении иррациональных уравнений.

Мы рассмотрели один из способов решения иррациональных уравнений. Это возведение обеих частей уравнения в квадрат. А если переменная находится под знаком корня 3-ей, 4-ой и т.д. степени. Тогда как быть?

Ответ: Возвести обе части уравнения в 3-ю, 4-ю и т.д. степень.

учитель: Кто попытается сформулировать общий способ решения иррациональных уравнений?

Выслушать все высказывания и в завершении подвести итог.

учитель: Значит одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. И не забыть, при этом сделать проверку, отсеяв, возможные посторонние корни.

Учитель: существует еще один способ решения иррациональных уравнений- способ введения новой переменной.

Я предлагаю решить иррациональное уравнение вида: +=2,5

Решение: для решения введем обозначение: = а Тогда =

И наше иррациональное уравнение примет вид: а+ т.е получили дробно-рациональное уравнение.

Чтобы его решить, приведем его к квадратному виду, т.е. а 2 -2,5а+1=0

Квадратные уравнения мы решать умеем.

Кто решит? Ученик идет и решает D=2.25

Учитель: 1 ) Возведем обе части уравнения=2 в квадрат, и получим:

или 3х-2=8х+12 Решая уравнение получим: х ₁ =-2,8

2) Обе части =возведем во вторую степень. Получим:

х=-2,8 удовлетворяет данное иррациональное уравнение

х ₂ =1,1 также удовлетворяет данное иррациональное уравнение.

Иногда при решении иррациональных уравнений можно найти область допустимых значений переменной. Затем достаточно провести проверку только для тех, значений переменной, которые входят в найденную область. Значения, не принадлежащие этому множеству, будут посторонними корнями.

Решим уравнение вида: += 2. вначале определим область допустимых значений переменной х. так как каждый радикал является квадратным корнем, получаем следующую систему неравенств ⇒. Решение каждого неравенства покажем на координатной прямой. Областью допустимых значений переменной х является промежуток . Таким образом, корни данного иррационального уравнения должны принадлежат данному промежутку.

Теперь решим данное уравнение += 2.

8х 2 +4х-24-12=х 2 +4х+4

х ₁ =4 х ₂ =-. Второй корень не входи в область допустимых значений.. поэтому он является посторонним корнем. Ответ: 4

И подведем итоги. Т.е. составим алгоритм решения иррационального уравнения

Алгоритм решения уравнений

1. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.

2. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

3. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений неизвестного и используя равносильные переходы.

IV . Закрепление изученного материала

№ 96 (комментированное письмо у доски)

Проверка: 1) х= – 1 , тогда = –1, 1= –1 ложно;