Урок на тему простейшие показательные уравнения

Урок по теме: Простейшие показательные уравнения
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

На данном уроке познакомить с различными методами и приемами решения показательных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Форма проведения: урок изучения нового материала.

— проверить знания основных теоретических вопросов по теме «Показательная функция»;

— познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений;

— сформировать навыки решения простейших показательных уравнений;

— рассмотреть применение знаний, умений и навыков в новых условиях.

— развивать навыки реализации теоретических навыков в практической деятельности;

— развивать умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;

— развивать интерес к предмету через содержание учебного материала.

— воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;
— воспитывать культуру общения, умения работать в коллективе, самостоятельность.

Оборудование: учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11»

С.М Никольский, компьютер, проектор, презентация.

подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие, проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид), организация внимания.

1. Запись в тетрадь темы урока. Определение учащимися цели урока.

Вступительное слово учителя

На прошлых уроках мы познакомились с определением логарифма и определением показательной функции вспомним пройденный материал.

1. Проверка усвоения учащимися пройденного материала.

1. Дайте определение логарифма (слайд 2)
2. Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

(слайд 3)

1. Решите уравнения: а) х² = 200; б) х³ = 125; в) = 81

Как называется каждое уравнение?

Назовите тему урока.(слайд 4)

Сформулируйте цели нашего урока( слайд 5)

1. Изучение нового материала.

— Как решаются такие уравнения?

Познакомимся с определением показательного уравнения и простейшего показательного уравнения. ( слайд 6)

Показательные уравнения – уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Простейшими показательными уравнениями называются уравнения вида a x = b , где а > 0, а ≠ 1 и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Рассмотрим случаи ( слайд 7)

Решением уравнения вида a x = b

1. т.к. прямая у = b , при b > 0 имеет с графиком функции

у = а х одну единственную точку.

1. т о корней нет, при b ≤ 0 прямая у = b не пересекает график показательной функции

Также показательные уравнения решаются с помощью свойства степени( слайд 8)

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что

решение любого показательного уравнения сводиться к решению

простейших показательных уравнений.
Сегодня мы рассмотрим три основных метода решения простейших показательных уравнений. (слайд 9)

1.Метод приведения степеней к одному основанию (слайды 10 – 12)

2.Метод вынесения общего множителя за скобки ( слайды 13 — 16)

3.Метод почленного деления ( слайды 17 – 19)

После каждого рассмотренного метода учащиеся решают уравнения самостоятельно в тетради ( кто первый решил, показывает решение на доске) проводится самопроверка.

При подведении итогов урока ученики кратко отвечают на вопросы( слайд 20)

1. Домашнее задание ( слайд 21)

Конспект урока по математике на тему «Простейшие показательные уравнения» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Урок математики. Тема урока: «Простейшие показательные уравнения»

Урок предназначен для 11 класса вечерней школы.

Форма проведения: урок с применением ИКТ.

Цель урока: формирование знаний и умений решать простейшие показательные уравнения.

Задачи урока: образовательные: повторить необходимый материал для формирования новых знаний и умений; ввести понятие показательного уравнения, рассмотреть простейшие показательные уравнения и закрепить знания и умения при решении уравнений.

развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, памяти, внимания, грамотной математической речи.

воспитательные: воспитывать терпение, аккуратность, находчивость, чувство товарищества, гордости за правильное решение.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Время урока: 45 минут.

Технические средства: компьютер, проектор, презентация

Дидактические материалы: 1) Проверочный лист; барометр настроения;

2) Карточка – задача с практическим применением;

3) Карточки –задания для самостоятельной работы;

4) учебник «Алгебра и начала анализа» 11 класс

авторы А.Н. Колмогоров и др.

План проведения урока:

Организационный момент. (1 минута)

Актуализация опорных знаний и применение их на практике. (7 минут)

Проверка ранее полученных знаний. (3 минуты)

Применение на практике. (3 минуты)

Историческая справка. (1 минута)

Формирование новых знаний и умений. (34 минуты)

1. Объяснение нового материала. (5 минут)

2. Первичное закрепление нового материала. (5 минут)

3. Решение уравнений. (13 минут)

4. Применение показательного уравнения в практической ситуации. (1 минута)

5. Первичный контроль. Решение уравнений с взаимопроверкой по слайду(10 минут)

Подведение итога урока. Оценки. (1 минута)

Домашнее задание. (1 минута)

Рефлексия. (1 минута)

Используемая литература, интернет-ресурсы:

Учебник «Алгебра и начала анализа» 11 класс авторы А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.

videouroki . net -урок Н.Г. Дятловой

myshared . ru — урок Н.В. Орловой

На магнитной доске прикреплен тезис: « Чтобы переваривать знания, надо

поглощать их с аппетитом»

УМК «Алгебра и начала анализа» 11 класс авторы А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.

Данный урок по математике на тему «Простейшие показательные уравнения» предназначен для учащихся 11 классов вечерней школы. Контингент учащихся «Открытой (сменной) школы» разнороден по уровню развития познавательных способностей, мотивации учебно-познавательной деятельности. Среди учащихся есть: рабочая молодёжь, имеющая большой перерыв в обучении; подростки с девиантным поведением и низкой базовой подготовкой, с отсутствием мотивации к обучению.

Урок проводится согласно программе. Это первый урок по теме. Одним из наиболее существенных аргументов важности данной темы является то, что на ЕГЭ и базового и профильного уровня встречаются показательные уравнения. Решать простейшие показательные уравнения должен каждый учащийся. Это повышает шанс сдачи ЕГЭ.

На момент проведения урока учащиеся должны знать свойства степени с рациональным показателем и чему равна степень числа с рациональным показателем; возводить в степень; понятие показательной функции и её свойства. К разработке прилагается компьютерная презентация, которая сопутствует всем этапам урока. Использование слайдов помогает обеспечить урок более эффективным и качественным, быстро выполнить взаимопроверку.

вспомнили свойства степени с рациональным показателем и чему равна степень числа с рациональным показателем; понятие показательной функции

возводили число в степень; применяли свойства степени с рациональным показателем; представляли выражение в виде степени с рациональным показателем

разобрали примеры решения простейших показательных уравнений от простого к сложному

выполнили самостоятельную работу с взаимопроверкой

получили домашнее задание

подвели итоги работы на уроке

Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом»

Организационный момент. (1 минута)

Приветствие, проверить готовность к уроку, получение сведений об отсутствующих; психологический настрой на работу.

Ребята, тему и постановку целей и задач вы попробуете сформулировать сами в течение урока.

Актуализация опорных знаний и применение их на практике.

Проверка ранее полученных знаний. (3 минуты)

Какую тему, мы с вами проходили на прошлом уроке? А ещё ранее.

Ребята, у каждого из вас на столе лежит «Проверочный лист». Попробуем проверить, как вы знаете свойства степени с рациональным показателем и чему равна степень числа с рациональным показателем. Подпишите свою фамилию. Запишите на листе свойства степени с рациональным показателем и чему равна степень числа с рациональным показателем.

Теперь обменяйтесь проверочными листами. Проверяем по слайду №2 (Приложение №1)

а -1 =

а р ∙а q = а p + q

= а p — q

( a ∙ b ) p = a p ∙ b p

( ) p =

=

Возле каждого верно записанного свойства поставьте «+», возле неверного « — »

Поднимите руку, у кого нет ошибок. У кого 1 ошибка.

Отложите проверочные листы на край стола.

Применение на практике. (3 минуты)

А теперь, ребята примените свойства. Слайд №3. (Приложение №1) Вычислите. Ответы проверяются при щелчке.

Следующее задание вычисляем устно. Слайд №4. (Приложение №1)

План-конспект открытого урока «Решение показательных уравнений»

Разделы: Математика

Образовательные:

• познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

Развивающие:

• развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

Воспитательные:

• воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование: таблица, доска, тесты, цветные мелки.

Тип урока: комбинированный.

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.

С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Устно:

1. Какая функция называется показательной?
2. Область значений показательной функции.
3. Что называется корнем уравнения?
4. Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4 х ?
5. Сравнить числа 2,7 3 и 1.
6. Что является графиком линейной функции?
7. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5 x , 4) у = x 3 .

3. Математический диктант.

Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).

1.а) является ли убывающей функция y =2 x .
б) является ли возрастающей функция y = (0,3) x .

2.а) является ли показательным уравнение ?
б) является ли показательным уравнение ?

3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?

4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение a x = b имеет один корень,
б) верно ли, что если b=0, то уравнение a x = b не имеет корней.

5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2 x = 8,
б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3 x = 0,09.

4. Изложение нового материала.

Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а х монотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а х =в имеет корень при в >0. Именно к виду а х =в надо сводить более сложные уравнения.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.

1.Простейшие уравнения: (устно)

Приведение обеих частей к общему основанию:

Данное уравнение равносильно уравнению:

х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7 х + 7 х+2 = 350
7 х + 7 х 7 2 = 350
7 х (1+ 49) = 350
7 х =350:50
7 х = 7
х = 1
Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

16 х – 174 х + 16 = 0

Пусть 4 х = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t 2 — 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

Если t₁ = 1, то 4 х = 1, 4 х = 4 0 , х₁ = 0.

Если t₁ = 16, то 4 х = 16, 4 х = 4 2 , х₂ = 2

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15 х + 20 х = 25 х

Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15 2 + 20 2 = 25 2

Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

+= 1

+= 1

Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

5. Графический метод.

Решить уравнение: 4 х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4 х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

Проверка: х = 1, 4 1 = 5-1, 4 = 4 (верно)

6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.

2 · 2 3 · 2 5 ·… ·2 2х-1 = 512

Рассмотрим арифметическую прогрессию (а_n) из х членов, где а_n = 2 n-1, а₁ = 1:

S_n =х= х·х = х 2

9
х 2 = 9
х₁ = 3
х₂ = -3 ( (не удовлетворяет)

7.Однородные показательные уравнения второй степени.

6 ·4 х – 13 6 х + 6 ·9 х = 0
6 ·2 х – 13 ·2 х 3 х +6· 3 2х = 0

Так как 3 2х 0, то разделим обе части уравнения на 3 2х , тогда получим

–

6· ( 2х – 13· ( х + 6 = 0

Путь( х =t, тогда получим уравнение 6t 2 – 13t + 6 = 0

D = 13 2 -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25

t₁ = _, t₂ =_.

Если t₁ = х = _, х = () 1 , х₁ = 1.

Если t₂ = х = _, х = () -1 , х₂ = -1.

Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.

5. Закрепление изученного материала

М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

На доске написаны 5 уравнений:

2.3 х-1 -3 х + 3 х+1 = 63

3.3 -х = —

4.64 х – 8 х –56 = 0

5.3 х +4 х = 5 х ( устно)

К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.

Так как 31, то

= 0

По теореме Виета получаем:

2. 3 х-1 — 3 х + 3 х+1 = 63

Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:

3 х 3 -1 – 3 х + 3 х 3 = 63

Выносим общий множитель за скобки:

3 х (
3 х
3 х =
3 х = 27
3 х = 3 3
х = 3
Ответ: х = 3.

3.3 -х = —

Решением этого уравнения является точка пересечения графиков функций у = 3 -х и у = –

4.64 х – 8 х – 56 = 0
(8 2 ) х – 8 х – 56 = 0 или
(8 х ) 2 – 8 х – 56 = 0

Введем новую переменную t = 8 х , тогда уравнение примет вид:

По теореме Виета:

t₁+ t₂ = 1
t₁ t₂ = – 56
t₁ = 8, t₂ = -7 (не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения)

Если t₁ = 8, то 8 х = 8, 8 х = 8 1 , х = 1.

5.3 х + 4 х = 5 х (устно)

Итог урока. Выставление оценок.

Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений. Дома необходимо выполнить домашнюю контрольную работу. Учащиеся получают карточки с заданиями вариантов.

Домашняя контрольная работа.

I вариант

II вариант

Решите уравнения.

Решите уравнения.

1. 5 2-3x = 1/25;
2. 6 x+2 – 2•6 x = 34;
3. 4•2 2x – 5•2 x +1 = 0;
4. 5 2x+5 – 2 2x+10 + 3•5 2x+2 – 2 2x+8 = 0;
5. 25 x = 7 2x;
6. 3 x = -x-2/3.

1. 4 1-2x = 1/16;
2. 2 x+3 + 3•2 x+1 = 28;
3. 6•3 2x – 3 x – 5 = 0;
4. 3 2x+5 – 2 2x+7 + 3 2x+4 – 2 2x+4 = 0.
5. 2 2x = 91 x ;
6. 5 x = -x + 6.

Кроссворд “И в шутку и всерьез”.

По горизонтали: 1.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

По вертикали:2.Название функции, любой из графиков, которой обязательно пройдет через точку (0;1). 3.Исчезающая разновидность учеников. 4.Проверка учеников на выживание. 5.Ученый математик, механик и астроном. Его высказывание о показательной функции напечатано в учебнике перед первым параграфом. 6.Другое название независимой переменной в функции.

Ответы: 1.Корень. 2.Показательная. 3.Отличник. 4.Контрольная. 5.Эйлер. 6.Аргумент.