Урок на тему простейшие тригонометрические уравнения

Тема урока: «Решение простейших тригонометрических уравнений». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Тип занятия: изучение нового материала.

Цели урока:

• Дидактическая: ввести понятия простейших тригонометрических уравнений, формул их корней; закрепить умение находить значения обратных тригонометрических функций
• Развивающая: формировать умение анализировать, искать аналоги и различные варианты решения.
• Воспитательная: воспитывать внимательность, уверенность; активность, наблюдательность; стремление в взаимовыручке, умение работать в группе и самостоятельно.

Форма проведения: работа в группах, индивидуальная, самостоятельная.

Формы контроля: текущий.

Оборудование: презентация «Простейшие тригонометрические уравнения», проектор, экран; доска, цветной мел; листы отчета работы в группах; карточки-тесты, индивидуальные задания на карточках; листы.

В результате изучения новой темы студенты должны:

• знать: понятия простейших тригонометрических уравнений и формулы их корней; частные случаи простейших тригонометрических уравнений;
• уметь: применять формулы корней уравнений при решении упражнений; находить значения обратных тригонометрических функций на единичной окружности.

План проведения занятия:

1. Организационный момент
2. Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.
   • Тест с выбором ответа (по 2 вариантам)
3. Мотивационный момент
4. Изучение нового материала
5. Первичное применение приобретенных знаний
   • Работа под руководством преподавателя
   • Работа в группах
6. Рефлексия
   • Самостоятельная работа студентов
7. Итог занятия
8. Задание на дом

Структура занятия

1. Организационный момент

2. Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Тест с выбором ответа по 2 вариантам на карточках. (Приложение)

3. Мотивационный момент

– обоснование необходимости изучения данной темы, сообщение темы
– вовлечение студентов в процесс постановки целей и задач занятия (Приложение \ Презентация, слайды № 1-2)

4. Изучение нового материала

Определение Простейшие тригонометрические уравнения – уравнения вида Sinx = a, Cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргумента, при котором данная тригонометрическая функция принимает значение а.

Рассмотрим решения данных уравнений

Т.к. функция у = Cosxимеет смысл при , то рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

Рассмотрим ещё несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

(разбираем решение на доске).

Уравнение Sinx = a

Т.к. функция у = Sinxтакже имеет смысл при , то аналогично рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

при .

Рассмотрим также несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

1) (разбираем решение на доске).

2) (разбираем решение по презентации)

Уравнение tgx = a (вспомнить линиюtgxна окружности!)

.

Т.о.

Уравнение ctgx = a

Аналогично рассматривается

(разбираем решение на доске).

5. Первичное применение приобретенных знаний

Работа под руководством преподавателя

№ 1. Решить уравнения:

а)
б)

Работа в группах

Разделяю студентов на группы, выдаю листы отчета работы в группах
№ 2. Решить уравнения (Приложение \ Презентация – слайд № 14)
Далее проводим проверку и разбор решения по ответам на экране (Приложение \ Презентация, слайд № 15)

6. Рефлексия

Самостоятельная работа студентов

Проводится в трех вариантах + Работа по индивидуальным заданиям – карточкам
Задания по вариантам – Приложение \ Презентация, слайд № 16)
Задания по карточкам – Приложение
Проверка и оценивание самостоятельной работы и оценок по карточкам проводится во время записи домашнего задания студентами

7. Итог урока

Во фронтальной беседе повторить основные моменты нового материала. Подведение итогов, выставление оценок.

8. Задание на дом:

а) теория – учебник Н.В. Богомолова «Математика» (п. 39), конспект

Урок алгебры в 10 классе по теме «Простейшие тригонометрические уравнения»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Урок изучения новой темы, где большое внимание уделяется мотивации и стимулировании деятельности обучающихся.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок по алгебре в 10-м классе по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Цели урока. Образовательные: изучить общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений, сформировать у обучающихся первичные умения и навыки их решения;

Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру, математический кругозор. Развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

Воспитательные: содействовать формированию личностно – адаптированой компетентности (быть подготовленным к самообразованию и самовоспитанию).
Воспитывать уверенность в своих знаниях; умение слушать других; содействовать воспитанию интереса к математике; воспитывать объективность и честность при контроле знаний; культуру поведения.

Тип урока : комбинированный( урок изучения нового материала.)

Оборудование урока : мультимедийная аппаратура , презентация, раздаточный материал (самостоятельная работа), карточки, таблицы , листы учета знаний.

Методы обучения: практический (самопроверка и взаимопроверка).

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная.

а) Приготовление рабочего места. Знакомство с гостями.

б) Каждый оценит свою работу. ( Оценочные листы )

2.Проверка домашнего задания ( Взаимопроверка)

4.Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.

5.Изучение нового материала.

• учебное исследование;
• обсуждение итогов учебного исследования;
• схематизация материала;

6. Отработка умений и навыков по решению простейших тригонометрических уравнений.

7.Самостоятельная работа. (Проверка первичного усвоения знаний, умений и навыков по теме)

1. Рефлексия. Подведение итогов.
2. Домашнее задание.

1. Добрый день,дорогие друзья!

На экране слова: “Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом” (Анатоль Франс (1844– 924) – французский писатель) (слайд Учитель: Следуя советам писателя, давайте будем активны, внимательны и с большим удовольствием будем поглощать знания, которые понадобятся в дальнейшем.

Чтобы легче всем жилось,
Чтоб решалось, чтоб моглось.
Улыбнитесь! Удачи всем!
Чтобы не было проблем! (слайд 2)

Ребята,для нашего урока нам необходим дополнительный материалл, который лежит на вашем рабочем месте в определенном порядке.Обратите внимание.

Сегодня каждый из вас оценит свою работу.

Возьмите в руки рабочую карту и подпишите ее. Рабочая карта __________________________________________________________

Первичное применение знаний

1 уравнение -2 бала

II. Этап проверки домашнего задания

т.к. .

(Взаимопроверка) ( слайд 3,4,5)

А творческую часть домашнего задания проверим мы проверим немного позже.

III. Фронтальный опрос и устная работа. (кодоскоп)

Вопросы: а) Дать определение:

arcsin ,( арксинус а — это такое число из отрезка , синус которого равен а) arccos ,( арккосинус а – это такое число из отрезка , косинус которого равен а.)

arctg , (арктангенс а – это такое число из интервала , тангенс которого равен а.

б) Имеют ли смысл выражения(кодоскоп)

А сейчас проверим творческую часть домашнего задания

lV Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.

В итоге анкетирования мы с вами установили,что для того чтобы ощущать себя успешным,для каждого из вас необходимо либо исполнение вашей мечты или достижение какихто целей.Давайте посмотрим как мы двигаемся к своей мечте. Мы с вами условились, вся площадь этого колеса 100% . Я просила вас ответить на вопрос:

Как я оцениваю свое:

личностный и духовный рост( читаю ли я книги.расту ли я как личность),

отношение с родителями,

отношение с друзьями,

эмоции(умею ли я владеть своими чувствами, эмоциями),

отношение к учебе,

подготовка к ЕГЭ .Отметили.

Соединили все плавной линией. Как вам нравиться ваше колесо?

Представьте,что это колесо вашей жизни.На нем вы стремитесь к успеху!

Доедите далеко? Это просто упражнение. Вам есть к чему стремиться!

Задумайтесь, что нужно делать изо дня в день,чтобы ближе к своей мечте. Заглядывайте в свое колесо,выравнивайте изо дня в день. Если полностью закрыли, увеличте круг! И сейчас мы будем пополнять свое колесо успеха А давайте посмотрим,где самый большой % стремление к успеху. ( Анализируем)!

Тема сегоднешнего урока поможет вам в подготовке к ЕГЭ.

Возьмите в руки книгу « математика» по подготовке к ЕГЭ под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Мы с вами многие задания решаем из нее. Сейчас, я прошу обратить внимание на задание В3 варианта №26 стр.145.Это простейшее тригонометрическое уравнение. Кому из вас необходимо знать, как его решить?

А теперь обратите внимание на задание С1 вариантов 1,2,3,4,5 и т.д. Решить систему тригонометрических уравнений. Эти тригонометрические уравнения не являются простейшими, но решаются они путем приведения их к простейшему виду. Хотите научиться их решать?

Запишите число и тему урока

» Решение простейших тригонометрических уравнений»

Назвать цели урока: вывести общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

Все, что мы делаем нужно!

Так давайте работать честно,

Усердно и дружно!

V. Получения новых знаний

На протяжении многих уроков мы научились

1) отмечать точки на числовой окружности;

2) определять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для точек числовой окружности;

3) знаем свойства основных тригонометрических функций;

4) на предыдущем уроке мы познакомились с понятием арксинуса, арккосинуса,

арктангенса, арккотангенса и научились отмечать их на числовой окружности.

Для чего же нам понадобились эти знания ? (слайд 6)

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. К ним относятся уравнения вида: , , , . Некоторые представления о решении таких уравнений мы уже имеем. Задача нашего урока состоит в следующем: нам необходимо вывести общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Групповая работа Алгоритм работы в группе:

• выбрать руководителя группы; ответственного за понимание и выступающего от группы;

• прочитать и осмыслить задание (применяя следующие приемы, организующие понимание: перефразирование, вопросы на понимание);
• наметить алгоритм решения;
• выполнить задание;
• подготовить выступление.

Задание 1 группе.

1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

1. Для каждого значения параметра a, решите уравнение .

Задание 2 группе.

1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

1. Для каждого значения параметра a, решите уравнение .

Задание 3 группе.

1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

1. Для каждого значения параметра a, решите уравнение .

Задание экспертной группе.(учитель)

Представьте общие выводы решений простейших тригонометрических уравнений.

Выступления от групп. Обсуждение итогов учебного исследования.

Учитель: Внимательно слушайте объяснение лидера группы , фиксируйте в тетради основные моменты решения тригонометрических уравнений .

1 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,5 (она лежит на прямой х. = 0,5). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида . Точка Р соответствует числу , а, следовательно, и всем числам вида . В итоге получаем две серии решений уравнения: .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,4 (она лежит на прямой х. = 0,4). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем. Наверно, необходима новая математическая формула.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая х. = -2 не пересекает числовую окружность.

Вывод: уравнение имеет две серии решений при , не имеет решений при . Для решения уравнения необходимо ввести новую математическую формулу.

2 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с ординатой (она лежит на прямой ). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида

. Точка Р соответствует числу , а, следовательно, и всем числам вида

. В итоге получаем две серии решений уравнения: ; .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с ординатой 0,3 (она лежит на прямой у = 0,3). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая у = 2 не пересекает числовую окружность.

Вывод: уравнение имеет две серии решений при , не имеет решений при . Решение уравнения вызвало у нас затруднение.

Мы считаем, что для решения уравнения также необходимо ввести новую математическую формулу.

3 группа . Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число . Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Точка М соответствует числу , точка Р соответствует числу — . Учитывая периодичность функции y = tgx, можно сказать, что уравнение имеет одну серию решений .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число 0,4. Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Это уравнение имеет одну серию решений, но записать это решение мы не смогли .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число 2. Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Это уравнение имеет одну серию решений, но записать это решение мы не смогли . Наверно, здесь имеют место математические термины, которые мы изучили на прошлом уроке-это arctgа

Вывод: уравнение имеет одну серию решений при любом значении параметра а. Для решения уравнения необходимо ввести новую формулу.

Учитель: Ребята,с какими же уравнениями увас возникли проблемы?

Итак, для решения простейших тригонометрических уравнений, были введены новые математические термины. Какие? (arcsin , arсcos , arctg , arcсtg )

Презентация слайд 7-16

Если , то уравнение имеет решения .

Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:

, ; , ; , .

Если , то уравнение решений не имеет.

Если , то уравнение имеет две серии решений . Эти две формулы можно объединить одной формулой. Перепишем эти формулы следующим образом: . Замечаем, что если перед arcsin a стоит знак «плюс», то у числа множителем является четное число 2k. Если же перед arcsin a стоит знак «минус», то у числа множителем является нечетное число 2k + 1. Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения : .

Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:

Если , то уравнение решений не имеет.

Уравнение имеет решения для любого значения а.

(Для решения уравнения выступление аналогичное).

Представим общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений в виде таблиц.(На доске)

Vl. Отработка умений и навыков по решению простейших тригонометрических уравнений.

1)Учащиеся, пользуясь полученными формулами, решают уравнения.

Решите уравнения: У доски 2 учащихся по очереди решают уравнения: слайд 17

2) 2sin х = 1, 2cosх = ;

cosх –1 =0, tgх – 1 = 0; ctgх = 2,5

3) Работа с учебником №136а- №139а, №140а,б (Решаем и коментируем с места)

VI.Самостоятельная работа. (Проверки первичного усвоения знаний, умений и навыков по теме ) (разноуровневые задания по карточкам)

Каждый работает индивидуально, а вместе мы подготовим следующую литературную минутку нашего урока.

Кто решил показывает ответ,если он верен,выбираем по ответу слово и вывешиваем на свое место на доску

В результате на доске высказывание:

« Быть человеком, значит чувствовать свою ответственность»

Ребята, мне очень хотелось вас познакомить с этой мудрой мыслью французского писателя, который в своих произведениях сумел показать доверие людей друг к другу.Нравственная сторона его произведений-вера в возможность в понимание и единение людей.

Ребята, я просила подготовить о нем краткую информацию.

(Он написал «Маленкий принц»-сказку «Планета людей». «Южный почтовый» и др.Советую вам почитать эти романы.Его годы жизни 1900-1944г.Он летчик,погиб на войне,в разведательном полете.)

Ребята,наш урок подходит к концу,и во-первых я могу сказать вам спасибо за то,что каждый из вас чувсвовал свою ответственность.

VII. Домашнее задание.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

П.9, № 137-141 (г). Сборник Лысенко №146

Учащиеся записывают домашнее задание в дневники.

1)Чем занимались на уроке?

2)Что узнали нового на уроке?

5)Поставьте оценки в дневник

6)Экран настроения. Смайлики вывешиваем на доску

Урок на тему «Простейшие тригонометрические уравнения»

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение ТРИГ. УРАВН.doc

1 Определить знак результата выражения:

А —

Б —

В

А

Б

В

А

Б

В

№ 1 Определить знак результата выражения:

А —

Б —

В

А

Б —

В

А

Б

2. Индивидуальные карточки с заданиями.

Выбранный для просмотра документ Тема урока ТРИГОН. УРАВНЕНИЯ.doc

Тема урока: Простейшие тригонометрические уравнения

Тип занятия: изучение нового материала

Дидактическая : ввести понятия простейших тригонометрических уравнений, формул их корней; закрепить умение находить значения обратных тригонометрических функций

Развивающая : формировать умение анализировать, искать аналоги и различные варианты решения.

Воспитательная : воспитывать внимательность, уверенность; активность, наблюдательность; стремление в взаимовыручке, умение работать в группе и самостоятельно.

Форма проведения: работа в группах, индивидуальная, самостоятельная

Оборудование: презентация «Простейшие тригонометрические уравнения», проектор, экран; доска, цветной мел; листы отчета работы в группах; карточки-тесты, индивидуальные задания на карточках; листы.

В результате изучения новой темы студенты должны:

знать: понятия простейших тригонометрических уравнений и формулы их корней; частные случаи простейших тригонометрических уравнений;

уметь: применять формулы корней уравнений при решении упражнений; находить значения обратных тригонометрических функций на единичной окружности.

План проведения занятия

Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Тест с выбором ответа (по 2 вариантам)

Изучение нового материала

Первичное применение приобретенных знаний

Работа под руководством преподавателя

Работа в группах

Самостоятельная работа студентов

Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Тест с выбором ответа (по 2 вариантам на карточках)

(См. 1. Приложение)

Изучение нового материала

(Сообщение темы урока, постановка цели и задач урока) (См. 2. Приложение \ слайды № 1- 2)

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргумента, при котором данная тригонометрическая функция принимает значение а.

Рассмотрим решения данных уравнений

Уравнение Cos x = a

Т.к. функция у = Cos x имеет смысл при , то рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

(См. слайды № 3, 4 презентации \ Приложение)

Рассмотрим ещё несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

(См. слайды № 5 – 6 презентации \ Приложение)

1) (разбираем решение на доске).

2) (разбираем решение по презентации)

Т.к. функция у = Sin x также имеет смысл при , то аналогично рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

(См. слайды № 8, 9 презентации \ Приложение)

при .

Рассмотрим также несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

(См. слайды № 10 – 11 презентации \ Приложение)

(разбираем решение на доске).

.

Т.о.

(См. слайд № 12 презентации \ Приложение)

(См. слайд № 13 презентации \ Приложение)

(разбираем решение на доске).

Первичное применение приобретенных знаний

Работа под руководством преподавателя

№ 1. Решить уравнения:

а)

б)

Работа в группах

Разделяю студентов на группы, выдаю листы отчета работы в группах

№ 2. Решить уравнения (задание в презентации – слайд № 14 презентации \ Приложение.

Далее проводим проверку и разбор решения по ответам на экране (См. слайд № 15 презентации \ Приложение)

Самостоятельная работа студентов

Проводится в трех вариантах + Работа по индивидуальным заданиям – карточкам

Задания по вариантам – слайд № 16 презентации \ Приложение

Задания по карточкам – См. 3 Приложение

Проверку и оценивание самостоятельной работы и оценок по карточкам проводится во время записи домашнего задания студентами

а) теория – учебник Н.В. Богомолова «Математика» (п. 39, конспект)

б) № 3. Решить уравнения.

Подведение итогов, опрос по изученному, выставление оценок.

Мною проведен урок по теме «Простейшие тригонометрические уравнения», который соответствует п.1 лекции № 5 данного курса. Дидактической целью данного урока было познакомить студентов с понятием простейших тригонометрических уравнений и формулами их решения. Стояла задача – закрепить умение находить значения обратных тригонометрических функций с помощью единичной окружности (это прослеживается во втором этапе урока, т.е. проверка, воспроизведение и коррекция опорных знаний в форме теста с выбором ответа в двух вариантах по теме «Обратные тригонометрические функции»), затем научиться решать простейшие тригонометрические уравнений и уравнения к ним сводящиеся. При этом мною использовался объяснительно-иллюстративный метод обучения в форме объяснения с помощью презентации по данной теме, при этом изложение учебного материала носило диалогически построенный характер при помощи продуманной системы вопросов студентам в ходе объяснения, что способствовало повышению понимания и восприятия научной информации, развитию аналитического мышления, а также обучению студентов переносить знания в другие условия и применять их на практике.

Первичное применение приобретенных навыков студентами учебного материала проводилось в два этапа: 1 этап – работа под руководством учителя с помощью доски и комментировано с места: данный метод используется с целью освоения, закрепления и совершенствования умения решать уравнения данного типа, способствует формированию навыка обучаемых искать аналоги и различные варианты решения; 2 этап – работа в группах применялась мною для развития умения работать в коллективе, группе и воспитания внимательности, уверенности в своих силах, стремления к взаимовыручке. Студенты провели самопроверку решения по готовым ответам на экране, провели разбор недочетов и ошибок для лучшего усвоения изученного.

В качестве закрепления изученного на уроке, т.е. ретроспективная рефлексия, проводилась в виде самостоятельной работы студентов по вариантам, а также применялись индивидуальные задания для более слабых студентов на карточках, что помогло оценить уровень первичного усвоения материала, разобранного на уроке, формировать у обучаемых умения и навыки познавательной деятельности по пройденной теме.

Данное занятие рассчитано на студентов 1 курса с достаточной математической подготовкой. Умение находить значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций с помощью единичной окружности способствует в дальнейшем лучшему усвоению материала по физике и технической механике. В ходе применения выбранных мною форм обучения студентов прослеживался рост познавательной активности обучаемых, здесь же был заметен рост усвоения материала у более слабых учащихся. Ребята добивались не только автоматического решения задач по образцам, но и осмысления сущности заданий. Результатом работы может послужить анализ самостоятельной работы, послужившей рефлексией к данному уроку.