Конспект урока по алгебре за 10 класс по теме: «Решение систем показательных уравнений и неравенств»
план-конспект урока по алгебре (10 класс)
Тип урока: урок закрепления знаний.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| konspekt_uroka_po_algebre_no2.docx | 29.71 КБ |
Предварительный просмотр:
Конспект урока по алгебре за 10 класс по теме: «Решение систем показательных уравнений и неравенств»
- научиться решать показательные уравнения и неравенств;
- научиться решать системы показательных уравнений и неравенств;
- развивать навыки логического мышления;
- развивать навыки вычисления.
- воспитывать внимательность и аккуратность.
- воспитывать самостоятельность и устойчивый интерес к предмету.
Тип урока: урок закрепления знаний.
Формы работы учащихся: фронтальный опрос.
Литература: «Алгебра 10-11», Учебник. Алимов Ш.А. и др.
Организационный момент (2 минуты);
Проверка домашней работы;
Актуализация знаний (5 минут);
Решение задач (34 минуты);
Подведение итогов (2 минуты);
Домашнее задание (2 минуты).
Организационный момент (2 минуты).
Приветствие учеников. Проверка готовности учащихся к уроку: проверка наличия тетрадей, учебников. Проверка отсутствующих на уроке.
Проверка домашней работы.
Проверка домашней работы происходит в том случае, если у многих учеников возникли вопросы при ее решении.
Актуализация знаний (5 минут).
Учитель. На прошлых уроках мы познакомились с понятием показательной функции, научились решать показательные уравнения, неравенства и системы показательных уравнений и неравенств, так давайте вспомним, что называется показательной функцией?
Ученик. Показательной функцией называется функция y=ах, где а заданное число, а > 0, а ≠ 1.
Учитель. Какова область определения функции y=0,3x?
Ученик. Область определения данной функции все действительные числа.
Учитель. Каково множество значения функции y=3x?
Ученик. Множество значений данной функции – действительные положительные числа.
Учитель. При каком условии показательная функция является возрастающей?
Ученик. Функция будет являться возрастающей, если а > 1.
Учитель. При каком условии показательная функция является убывающей?
Ученик. Функция будет являться убывающей, если 0
Учитель. Возрастает или убывает функция у=0,5 х и почему?
Ученик. Даная функция убывает, так как основание данной функции меньше единицы.
Учитель. Возрастает или убывает функция у=2 х и почему?
Ученик. Даная функция возрастает, так как основание данной функции больше единицы.
Учитель. Определите при каком значении а функция у=а х проходит через точку А(1; 2)?
Ученик. Функция у=а х будет проходить через точку А(1; 2) при а = 2.
Учитель. Какие способы решения показательных уравнений вы знаете?
Ученик. Приведение к одному основанию, вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной.
Учитель . Какие методы мы использовали для решения показательных уравнений и неравенств?
Ученик . Для решения показательных уравнений и неравенств мы использовали графический и аналитический методы.
Учитель . Что означает решить систему уравнений?
Ученик . Решить систему уравнений – значит найти все те значения неизвестной при которых каждое уравнение этой системы обращается в верное равенство.
Учитель . Что означает решить систему неравенств?
Ученик . Решить систему неравенств – значит найти все те значения которые удовлетворяют каждому неравенству этой системы.
Решение задач (34 минут).
Учитель . Запишите в тетради число, классная работа, тема урока – решение систем показательных уравнений и неравенств.
Запись на доске и в тетрадях:
Решение систем показательных уравнений и неравенств
На прошлом уроке вы научились решать системы показательных уравнений и неравенств, сегодня мы постараемся укрепить ваши знания, умения и навыки по этой теме. Поэтому сразу приступим к решению упражнений по теме. Решим систему из номера №241 под цифрой 2. Прочитайте задание.
Ученик. Решите систему уравнений.
Запись на доске и в тетрадях
Что необходимо для того чтобы решить систему уравнений?
Для того, чтобы решить систему уравнений необходимо найти все те значения неизвестных при которых каждое уравнение этой системы обращается в верное равенство.
Каким способом будем решать показательные уравнения?
Для того чтобы решить показательные уравнения приведем обе части уравнений к одинаковым основаниям.
В левой части второго уравнения мы имеем произведение степеней с одинаковым основанием, как можно преобразовать это выражение?
По свойству степеней левую часть второго уравнения можно представить в виде 3 6х+у .
И левая и правая части наших уравнений имеют в основании одно и то же число, в соответствии с этим, как можно преобразовать систему?
Так как и в левой и в правой части уравнений степени с одинаковым основанием, то мы имеем право избавиться от оснований степеней, и приравнять их показатели.
Мы получили систему уравнений с двумя переменными. Каким методом будем решать данную систему?
Для решения данной системы уравнений необходимо воспользоваться методом подстановки.
Как применим этот метод к нашей системе уравнений?
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки необходимо:
- из второго уравнения выразить у.
- у = 3 – 6х
- полученное выражение подставим в первое уравнение и решим полученное выражение.
- 3х – 2 (3 – 6х) = 4
- Подставляем найденное значение х во второе уравнение и находи значение у.
- у = 3 – 6 * 2/3
Ответ записывается парой чисел (х; у).
Учитель. Решим систему из номера №242 под цифрой 2. Прочитайте задание.
Ученик. Решите систему уравнений.
Запись на доске и в тетрадях
Что необходимо для того чтобы решить систему уравнений?
Для того, чтобы решить систему уравнений необходимо найти все те значения неизвестных при которых каждое уравнение этой системы обращается в верное равенство.
В обоих уравнениях степени с одинаковыми основаниями и показателями, но разными знаками. Каким способом будем решать данную систему?
Для того чтобы решить данную систему необходимо сложить оба уравнения.
У нас получилось показательное уравнение, в правой части которого сумма степеней с одинаковым основанием. Каким способом следует воспользоваться для решения этого уравнения?
Так как получилось показательное уравнение в правой части которого сумма степеней с одинаковыми основаниями, необходимо вынести общий множитель за скобки.
Далее задание решается по аналогии.
Остальные задачи решаются по аналогии.
Учитель. Решим систему из номера №244 под цифрой 1. Прочитайте задание.
Ученик. Решите систему.
Запись на доске и в тетрадях
Что необходимо для того чтобы решить систему?
Для того, чтобы решить систему необходимо найти все те значения неизвестных которые удовлетворяют неравенству и при которых уравнение этой системы обращается в верное равенство.
Так как данная система содержит как уравнение, так и неравенство, то применить какой-либо известный способ решения систем мы не можем, а значит что мы должны сделать для решения данной системы?
Для решения данной системы мы должны отдельно решить уравнение и неравенство, а затем выделить те значения неизвестной, которые удовлетворяют как уравнению, так и неравенству или установить что их нет.
Для начало давайте решим неравенство. В левой части неравенства мы имеем степень с основанием 5, а в правой – число 625, можем ли мы выразить число 625 в виде степени с основанием 5?
Да, можно. 625 можно представить как 5 4
В основании степеней число 5, а 5 > 1. Как данный факт применим к решению нашего неравенства?
Так как 5 > 1, то по свойству показательных функций у = 5 2х + 1 будет являться возрастающей функцией, то решением неравенства 5 2х + 1 > 5 4 будут являться числа удовлетворяющие неравенству 2х + 1 > 4.
Показательное уравнение входящие в состав нашей системы и в правой и в левой части имеет одно и тоже основание – 11. Как данный факт применим к решению нашего уравнения?
Так как и в левой и в правой части показательного уравнения находятся степени с одинаковым основанием, то от оснований можно избавиться и приравнять их показатели. Далее решаем полученное квадратное уравнение.
6х 2 – 10х = 9х – 15
6х 2 – 19х + 15 = 0
Какие числа удовлетворяют решению данной системы?
Так как 3,(3) > 1,5 и 3 > 1,5, то оба эти числа будут являться решением системы.
Ответ: х 1 = 3,(3) и х 2 = 3
Ответ: х 1 = 3,(3) и х 2 = 3
Подведение итогов (2 минуты).
Учитель. Сегодня мы с вами продолжили решать системы показательных уравнений и неравенств. Вспомнили, как решаются отдельно друг от друга показательные уравнения и неравенства. Вспомнили, как решать системы. На следующем уроке мы вспомним материал по изученной главе, подготовимся к контрольной работе.
Все кто сегодня работал молодцы.
Домашнее задание (2 минуты).
Учитель. Дома вам необходимо повторить параграф 14, решить №243-244 (нечетные).
Запись на доске и в дневниках:
Параграф 14, №243-244 (нечетные).
Учитель. Урок окончен, можете быть свободны.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
План-конспект урока по алгебре 7 класс по теме:Решение задач с помощью систем уравнений
Открытый урок для 7 класса по алгебре по теме «Решение задач с помощью систем уравнений» подготовленный для методической недели в школе № 1462 на 19 апреля 2013 года.
План-конспект урока по алгебре в 7 классе по теме: «Решение систем линейных уравнений»
Методическая разработка урока по алгебре в 7 классе с использованием ЭОР и ссылками на мультимедийные ресурсы.
Конспект урока алгебры в 7 классе на тему «Решение систем линейных уравнений способом подстановки»
Урок изучения нового материала с применением новых обучающих структур.
Конспект урока алгебры 8 класс по теме «Решение систем линейных неравенств»
Конспект урока алгебры 8 класс по теме «Решение систем линейных неравенств» с приложением презентации в программе SmartNotebook.
Технологическая карта урока математики в 7 классе по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными»
Конспект урока по математике в 7 классе по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными» в виде технологической карты. Данный материал будет интересен учителям математики, использующим.
открытый урок по алгебре 8 класс на тему «Решение систем неравенств с одной переменной»
открытый урок по алгебре 8 класс на тему «Решение систем неравенств с одной переменной» Урок полностью соответствует ФГОС+ презентация к уроку.
Конспект урока по алгебре 8 класс по теме «Решение неравенств с одной переменной»
урок изучения нового материала с применением ЭОР.
План-конспект урока на тему: «Системы показательных неравенств»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема урока: « Системы показательных уравнений и неравенств ».
Цель урока: Познакомить учеников с методами решения систем показательных уравнений и неравенств.
— дать определение систем показательных уравнений и неравенств, методов их решения.
— развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления; развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации;
— учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы.
— формирование нравственных качеств, аккуратности, дисциплинированности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели;
— формирование навыков коллективного труда.
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный.
Оборудование: компьютер, интерактивная доска.
Организационный момент (2 мин).
Постановка цели урока. (1 мин).
Актуализация опорных знаний (4 мин).
Изучение нового материала (15 мин).
Закрепление изученного материала (20 мин).
Домашнее задание (1 мин).
Подведение итогов (2 мин).
1. Организационный момент.
Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.
2. Постановка цели урока.
Сегодня мы с вами поговорим о системах показательных уравнений и неравенств, рассмотрим основные свойства, которые применяются при их решении.
3. Актуализация опорных знаний.
Проводится в форме фронтальной работы с классом.
Какую функцию называют монотонной?
Какую функцию называют возрастающей? Какую функцию называют убывающей?
Какая функция называется показательной? Каковы область определения и множество значений показательной функции?
Какую показательную функцию называют возрастающей? (Убывающей?)
Важен ли характер монотонности показательной функции при решении уравнений?
3.Изучение нового материала.
Учитель : Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока « Системы показательных уравнений и неравенств ».
При решении систем показательных уравнений и неравенств, применяются те же приемы, что при решении систем алгебраических уравнений и неравенств (метод подстановки, метод сложения, метод введения новых переменных). Во многих случаях, прежде чем применить тот или иной метод решения, следует преобразовать каждое уравнение (неравенство) системы к возможно более простому виду.
При решении неравенств вида следует помнить, что показательная функция y = а x возрастает при а и убывает при 0 а. Значит, в случае, когда а, от неравенства следует переходить к неравенству . В случае же, когда 0 а от неравенства следует переходить к неравенству .
3)Решение примеров на доске:
Решение: Решим эту систему способом подстановки:
Решение: Обозначим 2 х = u, 3 y = v. Тогда система запишется так:
Решим эту систему способом подстановки:
a) 
Уравнение 2 х = -2 решений не имеет, т.к. –2 х > 0.
b) 
Решение: Перемножим уравнения данной системы. Получим
Решение: 1) Решим неравенство
т.к. функция у=3 t возрастает, 
2) Решим уравнение
(0,2) 3x 2 -2 =(0,2) 2х 2 +х+4 ,
3х 2 – 2 = 2х 2 +х + 4,
4.Закрепление изученного материала.
Учитель : Решаем задания № 240-243 (§14 Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс).
Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Ученики : Узнали особенности решения систем показательных уравнений и неравенств.
Запись на доске и в дневниках: Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. §14 №244, №245.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 580 019 материалов в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
§ 14. Системы показательных уравнений и неравенств
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Другие материалы
- 11.10.2017
- 2197
- 64
- 11.10.2017
- 3768
- 127
- 11.10.2017
- 3733
- 131
- 11.10.2017
- 5916
- 157
- 10.10.2017
- 745
- 25
- 10.10.2017
- 714
- 0
- 10.10.2017
- 4416
- 12
- 05.10.2017
- 324
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 11.10.2017 7464
- DOCX 41.2 кбайт
- 563 скачивания
- Рейтинг: 3 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Дмитриева Мария Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 5 лет и 2 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 52936
- Всего материалов: 15
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР
Время чтения: 1 минута
В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей
Время чтения: 1 минута
Приемная кампания в вузах начнется 20 июня
Время чтения: 1 минута
Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.
Время чтения: 2 минуты
Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ
Время чтения: 0 минут
Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Неравенства
- Линейные неравенства
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
≥ больше или равно,
≤ меньше или равно,
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
- Если знак неравенства строгий > , , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой .
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
- Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной .
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
- Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.
Таблица числовых промежутков
| Неравенство | Графическое решение | Форма записи ответа |
|---|---|---|
| x c | x ∈ ( − ∞ ; c ) | |
| x ≤ c | x ∈ ( − ∞ ; c ] | |
| x > c | x ∈ ( c ; + ∞ ) | |
| x ≥ c | Алгоритм решения линейного неравенства
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
Примеры решения линейных неравенств: №1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. − 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 ) Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) №2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14 6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4 3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет. x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно). №1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x − 6 x ≤ − 1 + 1 Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа. Ответ:
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. x + 6 − 9 x > − 8 x + 48 − 8 x + 8 x > 48 − 6 Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ. Квадратные неравенства Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная. Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет. Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4). Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые. Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий. Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +. Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -. Примеры решения квадратных неравенств: №1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 1, c = − 12 D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ . Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = − 2 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1 x 1 = − 2, x 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − . Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +. Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ] №3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = 4 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − . Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 5, c = − 6 D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -. Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 ) №5. Решить неравенство x 2 4. Решение: Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения. ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − . Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 ) №6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0. Решение: Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0. x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже. Дробно рациональные неравенства Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов: f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0 Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю). Примеры дробно рациональных неравенств: x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3 Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов. Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Вне зависимости от знака неравенства Если знак неравенства строгий , Если знак неравенства нестрогий ,
Примеры решения дробно рациональных неравенств: №1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.
x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) .
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0 3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0 − 5 x − 37 x + 8 ≤ 0
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4 x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.
x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : − 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -. В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ ) №3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1 x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.
x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) Системы неравенств Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой. Пример системы неравенств: Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решений систем неравенств: №1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный. Графическая интерпретация решения: Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные. №2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения: Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.
Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) №3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения:
2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений. №4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем методом интервалов. a = − 1, b = 2, c = 3 D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16 D > 0 — два различных действительных корня. x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1 Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными. Графическая интерпретация решения второго неравенства:
Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ . Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные. источники: http://infourok.ru/plankonspekt-uroka-na-temu-sistemi-pokazatelnih-neravenstv-2168472.html http://epmat.ru/modul-algebra/urok-8-neravenstva-sistemy-neravenstv/ |
