Разработка урока «Решение тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему
Цель урока : закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
10_klass.docx | 30.58 КБ |
Предварительный просмотр:
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.
Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ »
Учитель математики Ахмедова У.Д .
Тип урока : урок закрепления и систематизации знаний.
Цель урока : закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов.
— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;
— обобщение и систематизация материала;
— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;
— воспитание навыков делового общения, активности;
-формирование интереса к математике и ее приложениям.
— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,
— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Формы организации работы учащихся на уроке :
индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.
частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.
Оборудование и источники информации : компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема ( приложение 1 );
на партах учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы , листы учета знаний, лист бумаги для проведения теста , комплект «Математическая игра-лотерея», карточки заданий с уравнениями, карточки с домашними заданиями.
1. Организационный момент.(3 мин)
Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).
Учитель: «Сегодня у нас очередной урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.
Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».
2. Повторение теории.
Вопросы к классу:
1). Какое уравнение называется тригонометрическим?
2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?
3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?
Учитель : «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, повторим основные формулы». На столах находится раздаточный материал –это приложения, справочный материал, карточки заданий и математическое информационное лото .
Ученики работают с опорным конспектом (приложение №1).
3. Выполнение устного теста.(3 мин)
Работа выполняется на листах
Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
а) (нет);
б) (да);
в) (нет);
г) (нет);
д) (да).
Ученики осуществляют контроль в ходе самопроверки (правильные ответы на слайде).
4. Математическая лотерея(5 мин). Работа парная, меняются листами и проверяют друг у друга правильность подбора ответов,(выставляются оценки на листах учета знаний)
Учитель: «Найдите правильные ответы к вопросам на листочках, т. е. разложите ответы под вопросами-заданиями и прочитайте историческую информацию».
( Приложение 2 . Математическое лото, 3 страницы).
Принцип действия лото: перед учащимися лист с вопросами-заданиями, и разрезанные информационные двусторонние прямоугольнички
Листок с ответами с обратной стороны заклеивается табличками с информацией, разрезаются на прямоугольнички, которые прикладываются под соответствующими вопросами. Учащимся предлагается вначале установить соответствие вопросов и ответов, а затем перевернуть таблички и прочитать «историческую» математическую информацию.
Лист с заданиями на математическом лото.
5. Работа в группах.(20 мин)
Учитель обращается к учащимся:
«Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений»
- Введение новой переменной.
- Разложение на множители.
- Деление обеих частей уравнения на cos(mx) для однородных уравнений первой степени.
- Деление обеих частей уравнения на cos 2 (mx) для однородных уравнений второй степени.
- Метод предварительного преобразования с помощью формул
Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает каким рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению. Время на решение 15-20 минут.
1 группа готовит решение уравнения а),
2 группа-уравнение б )
3 группа –уравнение в)
4 группа –уравнение г)
«А по пятому уравнению д) попрошу обратить внимание группе учащихся»( можно разделить 2 –м учащимся решить одним из прилагаемых способов, а второй группке-другим способом). Если не успевают на уроке –задать на дом, с последующим объяснением на уроках.
Математическая эстафета «Кто быстрее?»
Каждая группа получает карточки с уравнениями, они- находятся в файлах ,на столах. Решив уравнение, один из учащихся группы выходит, изначально записывает ответ на доске , а потом проверяет решение со слайда.
Карточка с уравнениями.( на столах- карточки без ответов)
Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»
Разделы: Математика
Образовательные:
– актуализировать знания учащихся по теме “Решение тригонометрических уравнений” и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
– рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
– закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.
Развивающие:
– содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
– формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
– отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.
Воспитательные:
– вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
– способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.
1. Вводно-мотивационная часть.
1.1. Организационный момент.
Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.
Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме “Общие методы решения тригонометрических уравнений”. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.
Эпиграфом нашего урока будут такие слова:
Результат учения равен
произведению способности
на старательность.
Если старательность равна нулю,
То и все произведение равно нулю.
А способности есть у каждого.
2. Проверка готовности учащихся к уроку.
Учитель: Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!
3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.
Учитель: Сегодня на уроке мы с вами должны решить тригонометрические уравнения (задание на столах. Приложение 1). Как вы думаете, что мы должны знать, чтобы приступить к их решению?
– Табличные значения тригонометрических функций.
– Формулы тригонометрии.
– Способы решения тригонометрических уравнений.
– Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.
1.2. Устная работа.
Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.
Учитель: давайте вспомним формулы тригонометрии (на экране появляется начало формулы, учащиеся говорят продолжение формулы, затем правильный ответ появляется на экране).
2. Основная часть урока.
2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).
Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений.
Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу.
1 ) Найдите значения тригонометрических выражений:
На экране проецируется задание.
2.2. Рефлексивно-оценочная часть урока. Обсуждение результатов индивидуальной работы.
Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.
После выполнения задания на экране появляются ответы, учащиеся сами себя проверяют.
Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:
Урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
МБОУ «Куйбышевская СОШ»
Методическая разработка урока
по алгебре и началам анализа
Решение тригонометрических уравнений
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Дроздова Лариса Александровна
— актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
— рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
— закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
— познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
— содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
— формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
— отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.
— вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.
1. Вводно-мотивационная часть.
1.1. Организационный момент.
1.2. Устная работа.
2. Основная часть урока.
2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).
2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.
3.2. Информация о домашнем задании.
3.3. Подведение итогов урока.
1. Вводно-мотивационная часть
Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.
Учитель: Учитель: Первый шаг к успеху при решении тригонометрических уравнений – это умение решать простейшие тригонометрические уравнения.
При решении более сложных уравнений, на какой вопрос вы должны в первую очередь дать ответ?
Ученик: Какой способ применить? Какую формулу?
Учитель: Этот вопрос встаёт при решении любых уравнений, но при решении тригонометрических уравнений ответить на него особенно сложно. Почему?
Ученик: Много формул, сложно выбрать ту формулу, которая необходима в данном случае.
Учитель: Итак, проблему мы обозначили, попробуем её решить. Вспомните, какие уравнения мы решали, какие способы применяли, какие формулы. Постарайтесь разбить их на группы и изобразить это в виде модели.
Озвучивание целей урока и плана его проведения.
Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.
Цель урока сегодня — рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.
1.2. Устная работа.
Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.
Содержание этапа: Определение значений тригонометрических функций некоторых углов
Пример 1. .
Разделим обе части уравнения на 4.
,
.
Пример 2. .
Разделим обе части уравнения на.
,
,
уравнение не имеет корней, так как .
Ошибка заключена в делении на 4.
Ошибка заключена в делении на выраже-ние, содержащее переменную.
2. Основная часть урока.
Давайте, проверим домашнюю работу. (На экране отсканированная копия работы ученика), ученик объясняет способы решения уравнения.
Ребята, а теперь вспомним основные методы решения тригонометрических уравнений.
На доске собирается схема. Анализ методов решения.
1. Введение новой переменной.
2sin 2 x – 5sinx + 2 = 0.
Пусть sinx = t, |t|≤1,
Имеем: 2t 2 – 5t + 2 = 0.
Получаем и решаем tg = z,
2. Разложение на множители
2sinx cos5x – cos5x = 0;
cos5x (2sinx – 1) = 0.
3. Однородные тригонометрические уравнения.
a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).
Разделим на cosx ≠ 0.
Получаем и решаем: a tgx + b = 0; …
a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.
1) если а ≠ 0, разделим на cos 2 x ≠0
имеем : a tg 2 x + b tgx + c = 0.
имеем: b sinx cosx + c cos 2 x =0; разделим на cos 2 x ≠0
получаем и решаем
4. Неоднородные тригонометрические уравнения.
asinx + bcosx = c
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
Введение вспомогательного угла
Опорные конспекты раздать учащимся
Учитель: Вспомнив теорию, давайте решим несколько тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.
3. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой результатов работы Каждому учащемуся дается уравнение для решения, определить метод и решить его.
3 sin x+ 5 cos x = 0 — arctg 5/3+ πk, k Z.
5 sin2 х — 3 sin х cos х — 2 cos2 х =0 π/4 + πk; — arctg 0,4 + πn, k, n Z
3 cos2 х + 2 sin х cos х =0 π /2 + π k; — arctg 1,5 + π n, k, n Z
2 sin 2 x — sin x — 1 = 0
2 cos x+ 3 sin x = 0 — arctg 2/3+ π k, k Z.
6 sin 2 х — 5 sin х cos х + cos 2 х =0 arctg 1/3+ π k; arctg 0,5 + π n, k, n Z
Физминутка. Найти под сидениями стульев ответ для своего уравнения.
2.2 Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим. Познакомимся с еще одним методом решения тригонометрических уравнений.
Метод оценки левой и правой частей.
Предлагаю решить вам следующее уравнение .
Использование тригонометрических формул не упростит уравнение.
Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравенствах , .
Так как наибольшее значение, которое могут принять функции и равно 1, то уравнение равносильно системе уравнений
Решим каждое уравнение.
, ,
. .
Все корни первого уравнения являются корнями второго ().
,
,
,
.
Следовательно, решением исходного уравнения является множество .
Ответ: .
Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их левой и правой частей.
Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3
Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1
– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2
– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.
Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:
sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или
cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1, получим х = 2 π+ 8πn, n Z.
Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn — 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.
Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.
Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.
Просмотр слайда, где исп. Триг. Ур.
Решение задания ЕГЭ
а) Решите уравнение sin 2 x = sin ( π /2+x)
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Сибирь. Вариант 302.
3.1 Тест по определению метода
Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений:
а) ; – однородное уравнение ().
б) ; – ур-е, решаемое путем разложения на множ.
в) ; – ур-е, сводящееся к квадратным (замена пер.).
г) ; – ур-е, решаемое с пом. триг. преобразований
д) . – однородное уравнение ().
3.2 Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений я предлагаю вам выполнить домашнее задание дифференцированного содержания:
*Дифференцированное домашнее задание
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
3.3 Учитель: Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения, и с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.
— Сегодня я узнал…
Учитель: Спасибо вам за насыщенную работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!
http://urok.1sept.ru/articles/648187
http://infourok.ru/urok-po-teme-reshenie-trigonometricheskih-uravneniy-3834245.html