Урок на тему уравнение прямой в пространстве

Методическая разработка урока по теме: «Уравнение прямой и плоскости в пространстве»

Методическая разработка урока используется в Разделе 4 : «Векторы. Уравнения прямой и плоскости в пространстве»
для группы 1 курса специальности 09.02.02 «Компьютерные сети».

Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка урока по теме: «Уравнение прямой и плоскости в пространстве»»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«ДЗЕРЖИНСКИЙ ХИМИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ ИМЕНИ КРАСНОЙ АРМИИ»

Преподаватель по математике
Метелёва В.Е.

Уравнение прямой и плоскости в пространстве.

Конспект, частично в виде таблицы

(цветом выделено то, что необходимо заполнить)

уравнение прямой в пространстве

уравнение плоскости в пространстве

проходящей через заданную точку(точки)

Выписать и обвести в рамку отдельно формулы: углы между плоскостями, углы между прямыми, угол между плоскостью и прямой, расстояние между двумя точками пространства, расстояние от точки до плоскости.

Примеры с решениями оформить как задачи: дано, найти, решение.

Оценка будет зависеть от количества разобранных (записанных решений) примеров и качества заполнения таблицы.

Список использованной литературы:

В.П.Григорьев.Элементы высшей математики.-М.:Издательский центр «Академия», 2015.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I.,М.:Высшее образование,2008 (не переиздавался)

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.II.,М.:Высшее образование,2008 (не переиздавался)

Прямая в пространстве Каноническое уравнение прямой Параметрическое уравнение прямой Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Угол между. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемМария Желвакова

Презентация на тему: » Прямая в пространстве Каноническое уравнение прямой Параметрическое уравнение прямой Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Угол между.» — Транскрипт:

1 Прямая в пространстве Каноническое уравнение прямой Параметрическое уравнение прямой Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Угол между двумя прямыми Угол между прямой и плоскостью Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Точка пересечения прямой и плоскости

2 Каноническое уравнение прямой Пусть прямая L проходит через данную точку М 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) параллельно вектору: Каноническое уравнение прямой М0М0 L М Тогда точка М (x; y; z) лежит на прямой только в том случае, если векторы и коллинеарны По условию коллинеарности двух векторов: — направляющий вектор прямой

3 Каноническое уравнение прямой Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от друга точки: М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1 ) и М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2 ). М1М1 М2М2 Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом уравнении можно взять вектор: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки L

4 Параметрическое уравнение прямой При решении многих практических задач используют параметрическое уравнение прямой, которое получается из канонического уравнения: Параметрическое уравнение прямой

5 Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей Пусть две непараллельные плоскости заданы общими уравнениями: Эти плоскости определяют единственную прямую в пространстве: L Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей

6 Пример Написать каноническое уравнение прямой: Найдем точку, принадлежащую прямой, то есть удовлетворяющую системе уравнений. Пологая z равному любому числу, например, z = 0, получим: Точка M 0 (11; -8; 0) – принадлежит прямой Найдем координаты направляющего вектора прямой:

7 Угол между прямыми Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями: Углом между этими прямыми называется угол между направляющими векторами к этим прямым. L1L1 L2L2

8 Угол между прямой и плоскостью Пусть прямая L задана каноническим уравнением: Плоскость p задана общим уравнением: Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость. L р

9 Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными, и скрещиваться. совпадать, В первых трех случаях прямые лежат в одной плоскости.

10 Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями: Для принадлежности двух прямых одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора: М1М1 М2М2 L1L1 L2L2 были компланарны. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

11 Точка пересечения прямой и плоскости При вычислении координат точки пересечения прямой и плоскости следует совместно решить систему уравнений: К При этом необходимо: Записать уравнение прямой в параметрическом виде:

12 Точка пересечения прямой и плоскости Подставить t 0 в параметрическое уравнение прямой: Подставить в уравнение плоскости вместо x; y; z: Решить полученное уравнение относительно t:

13 Пример Найти точку пересечения прямой и плоскости. Напишем параметрическое уравнение прямой: Подставим в уравнение плоскости: Подставим в уравнение прямой:

Конспект урока по геометрии на тему «Уравнение прямой»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: Уравнение прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

1.Актуализация опорных знаний учащихся

1.Формула расстояния между двумя точками

2.Формула скалярного произведения векторов

3.Формула для вычисления координат вектора

4.Как найти сумму векторов (в координатах)

5.Как с помощью скалярного произведения определить вид угла между векторами?

1.Как найти длину вектора

2.Координаты середины отрезка

3.Формула для нахождения угла между векторами

4.Как найти произведение вектора на число

5. Условие перпендикулярности двух векторов

2. Изучение нового материала

Определение 8.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором .

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

—

— уравнения прямой, проходящей через две данные точки .

Пример. Составим канонические уравнения прямой .

Будем искать точку на прямой с координатой z ₀ =0. Для координат х ₀ и у ₀ получим систему уравнений , откуда х ₀ =2, у ₀ =1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и косинус угла между ними можно найти по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

— условие параллельности прямых ,

— условие перпендикулярности прямых .

3. Формирование практических умений и навыков:

1.Дан треугольник АВС, А(-2;0;1), В(4;4;1), С(2;-2;1). Найдите длину медианы АМ.

2.Даны точки А, В и С. А(0;5;-8), В(2;-2;0), ), С(3;0;-5). Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС

3.Дан треугольник АВС, А(-1;2;1), В(2;-1;1), С(0;-2;1). Найдите косинус угла ВАС.

4.Перпендикулярны ли векторы: <2;-1;-2>, <0;4;-1>?

5. Даны точки А, В, С и D . D(2;4;1), А(0;5;-8), В(2;-2;0), ), С(3;0;-5). Найдите скалярное произведение векторов АD и АС

6.Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – середина MN. Найти: расстояние от начала координат до точки C.

Решение: Сначала найдем координаты точки C. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат. .

Нужно найти расстояние от начала координат до точки C. Это значит, что мы должны найти длину отрезка OC или модуль вектора . Так как — радиус-вектор, то координаты этого вектора равны координатам точки . Воспользуемся формулой нахождения длины вектора по его координатам:.