Урок на тему уравнения и графики

Урок на тему: «Уравнения и графики»

Существуют ли еще какие-нибудь кривые, кроме тех,которые изучаются в школьном курсе математики? Какими уравнениями они описываются?

Тут возникает вопрос , который выходит за рамки школьного учебника. Этим занимается другой раздел математики: с одной стороны это геометрия, а с другой-алгебра. Этот раздел называется аналитической геометрией.

Просмотр содержимого документа
«Урок на тему: «Уравнения и графики»»

Тема урока: «Уравнения и графики».

Учебник: авторы Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

«За страницами учебника алгебры». Автор Пичурин Л.Ф. «Просвещение» 1990 год.

Тип урока: урок – «открытие».

— обобщить знания учащихся об элементарных функциях;

— осуществляется коррекция знаний, контроль знаний, обобщение материала темы, а также некоторое углубление;

— провести лабораторно-практическую работу по теме;

— вывести уравнение эллипса.

-совершенствование интеллектуальных способностей и мыслительных умений учащихся, коммуникативных свойств речи;

— развитие познавательных процессов, памяти, воображения;

— формирование активного, самостоятельного творческого мышления;

— наблюдательности, сообразительности, инициативы;

— умения анализировать, сравнивать и обобщать;

— учить проводить рассуждения, используя математическую речь;

— учить умению сосредотачиваться на учебной деятельности, предупреждать ошибки

и развивать самоконтроль, то есть развивать умение контролировать внимание на всех

— развитие интереса к предмету.

— воспитание интереса и уважения к изучаемому предмету;

— воспитание чувства коллективизма и сопереживания успехам и неудачам своих товарищей, формирование стремления к достижению конечного результата на основе совместной деятельности;

— формирование нравственных качеств личности: аккуратности, дисциплинированности, трудолюбия, ответственности, креативности, требовательности к себе, любознательности.

Методы обучения: — наглядный,

ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ УРОКА: — индивидуальная ,

Компьютер и мультимедийная установка.

Сообщения и презентации учащихся.

Компьютерная презентация урока.

На столе у каждого:

1.Мотивационная беседа с последующей постановкой целей урока. (2 мин.)

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Приобретать знания – храбрость, приумножать их — мудрость, а умело применять их великое искусство».

Урок, который пройдёт сегодня, будет для вас, учеников 8 класса настоящим открытием. Сегодня наше занятие будет посвящено уравнениям и их графикам.

Изучая уравнения в школьном курсе математики, мы продвигались от простого к сложному, двигаясь по двум направлениям-увеличение степени уравнения и увеличения числа переменных. Остановимся на последнем.

2. Актуализация знаний.

Вспомним задачу о фазанах и кроликах, которую мы решали. Обозначив буквой х количество кроликов, а буквой y-число фазанов и зная, что тех и других было 15, мы записали х+у=15. Затем составив второе уравнение и, решив систему, нашли ответ задачи. Остановимся на первом уравнении, перенесем х в правую часть: у=-х+15.

Вы знаете, что в виде у=кх+b записывается линейная функция. Графиком этой функции служит прямая, областью определения является множество всех действительных чисел, а множество значений-тоже множество всех действительных чисел. Что же из этого следует? Уравнения с двумя неизвестными имеют своими графиками линии на плоскости.

Давайте вспомним примеры таких линий:

Слайд 1. Какие из представленных уравнений задают линейную функцию?

Слайд 2. Какие из представленных уравнений задают прямую пропорциональность?

Слайд 3. Какие из представленных уравнений задают обратную пропорциональность?

Слайд 4. Какие из представленных уравнений задают квадратичную функцию?

Слайд 5. Выберите описание каждой математической модели.

В уравнениях , задающих эти линии, присутствуют переменные первой степени- графиком является прямая. Если в уравнение входят переменные второй степени- получается гипербола, парабола или окружность. Например, уравнение х 2 +у 2 =4, задает на плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 2.

Существуют ли еще какие-нибудь кривые, кроме этих? Какими уравнениями они описываются?

Тут возникает вопрос , который выходит за рамки нашего школьного учебника. Этим занимается другой раздел математики: с одной стороны это геометрия, а с другой-алгебра. Этот раздел называется аналитической геометрией.

Что будет являться графиком уравнения х 2 у=4(2-у). (проект, презентация)

Давайте посмотрим еще один слайд (Математический этюд)

Возьмем листок бумаги, на расстоянии 8 см закрепим нить, длина которой 10 см. А теперь, натягивая нить карандашом, проведем кривую так, как было показано в этюде. Получился эллипс. Сформулируем нашу задачу.

Составить уравнение эллипса.

Расположим оси координат, так как это сделано на рисунке

Дадим определение эллипса: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная. Эти точки F₁ и F ₂ называются фокусами. F₁K+F₂K=const

Рассмотрим два прямоугольных треугольника F₁KD и F₂KD. Воспользуемся теоремой Пифагора:

F₂K 2 =(4-x) 2 +y 2 , выразив данные катеты и записав их сумму получим уравнение эллипса:

Эллипс красивая фигура, поэтому уравнение надо сделать красивым. Кстати, вы не задумывались над тем, что в основе красоты в искусстве лежит нелегкий труд. Это относится к музыке, живописи, архитектуре и т.д.

Итак, потрудимся вместе.( работает у доски ученик)

Согласитесь, что ради такого изящного результата стоило потрудиться.

Уравнение эллипса можно записать в таком виде:

А что такое а и b и в чем состоит геометрический смысл этих величин? Ответ на этот вопрос вам предстоит найти дома. Это будет вашим домашним заданием.

И не такая уж отвлеченная от жизни вещь — математика.

— Вы, наверное, не раз нарезали колбасу. Особенно аккуратные ломтики получаются, если нож расположить под некоторым углом к ней. Какую форму имеют разрезы? Эллипсы!

— А вот еще пример . Фонарь с абажуром неподвижен. Он освещает часть земли, которая имеет форму круга. Подул ветер, фонарь раскачивается. Круг изменяет форму- появляются эллипсы более или менее удлинённой формы.

Если вам кажутся приведенные примеры забавными и не так уж важными, то задумайтесь над оптическим свойством эллипса.

— Пусть в точке А расположена Лампочка. В какой бы точке эллипса ни было помещено зеркало, касающиеся эллипса, луч света, попавший в эту точку, обязательно отразиться в точку В. Вот почему эти точки называются фокусами( от лат.focus-очаг, огонь).

— И, наконец , самый важный из возможных примеров-астрономический. Спутники Земли движутся по эллиптическим орбитам, сама Земля, как и остальные планеты, движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которого находиться Солнце. Этот факт впервые установил в начале 17 века немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571-1630)

Теперь ясно, что эллипс очень важная кривая. Вот к каким размышлениям привели нас мысли об уравнениях с двумя переменными.

В заключение урока предлагаю решить кроссворд.

Урок по теме «Графический способ решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Графический способ решения уравнений»

Базовый учебник: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2019.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Применяемые технологии: дифференцированного обучения; компьютерные (новые информационные) технологии обучения.; проблемного обучения; технология деятельностного метода.

· повторить ранее изученные графики функций, свойства, алгоритмы их построения;

· формирование умения решать уравнения графическим способом;

· усиление роли графических представлений при формировании основных понятий темы,

увеличение удельного веса заданий, предполагающих работу с графиками функций.;

· развитие математической речи, познавательного интереса, умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить;

· воспитывать активность, внимательность, аккуратность выполнения работы.

· обучающие: формирование умений решать уравнения графическим способом, сопоставлять графики с формулами, задающими функции;

· развивающие: формирование навыков самостоятельной работы, работы с информационными источниками; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи, выводы; развитие устной речи (через беседы с учителем); развитие мышления (через обоснование своих ответов);

· воспитательные: формирование познавательного интереса к математике, ответственности, умений работать в коллективе, воспитание культуры общения; формирование общеучебных умений (учебно-организационных – умение организовать выполнение проверочной работы, учебно-коммуникативных – умение общаться с учителем и друг с другом).

· создание проблемной ситуации,

· побуждение к поиску решения;

· предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка

· создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.

компьютер, медиапроектор, слайдовая презентация, плакаты с графиками элементарных функций, тест по теме на бумажных носителях, карточки.

Организационный этап — 1 мин.

I. Мотивационная беседа — 1 мин.

II . Актуализация опорных знаний учащихся. Устный опрос- 4 мин.

III . Проверка знаний. Дифференцированная работа в парах- 5 мин.

I V . Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний – 4мин.

V . Интересные факты. Применение в образовательной области и в жизни- 2 мин.

V I. Физкультминутка- 1 мин.

V II. Этап закрепления знаний — 10 мин.

V III. Самостоятельная работа- 8 мин.

IX . Домашнее задание- 1мин.

X . Рефлексивно-оценочный этап. Итог урок – 3 мин.

I. Мотивационная беседа.

Учитель: Слово “Математика” в переводе с греческого ( mathein ) означает – «познающий» .Если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому, мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои математические познания.

Поэтому сегодня вспомним основные свойства функции и их графики.

Задание для отвечающих: разгадать кроссворд по одному пункту

(вместо дополнительного вопроса по теме). Задание , маркер на мольберте.

В конце урока проверяется по заготовке ответов.

1. Независимая переменная.

2. Зависимость переменной у от х, при которой каждому значению х соответствует

единственное значение у.

3. График линейной функции.

4. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

5. Равенство, содержащее одну или несколько переменных.

6. График функции y = .

7. График квадратичной функции.

II . Актуализация опорных знаний учащихся.

Устный опрос.

1. Что такое функция?

(зависимость двух переменных, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называют функцией)

2. Что называется графиком функции?

(графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции)

Проверим знания на практике.

3. Определите по рисункам, что является функцией, а что нет:

· Функцией является – В,Е.

· Функцией не является – А, Б, Г, Д.

4. Что является графиком данных функции ?

а) у= k х+ b ; б) у= k х; в) у =в; г) у= ; д) у=х 3 ; е) у=х 2 ; ж) у=√х

(На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию)

III . Проверка знаний.

1. Математическое лото (для слабых учеников) –работа в парах.

I вариант. Задание: соотнесите график с аналитической записью функции.

II вариант. Задание: соотнесите график с его названием .

у

3.

у

х

4.

5. у

х

6. у

х

7. у

х

8. у

х

С . y= (k>0)

А . y=

И . y= (k

У. прямая, проходящая

через начало координат

С. кубическая парабола

М . ветвь параболы

параллельная оси х

Оценивание «5»- всё правильно

«4»- допущено одна-две ошибки

«3»- допущено три-четыре ошибки

«2»- допущено более четырёх ошибок

Заполнение оценочного листа

Задание : Соотнесите формулы функций и графики на чертеже.

Тест Б -1 ( I вариант)

Тест Б -2 ( II вариант)

Тест В (для сильных учеников)

а

Ученик у доски заполняет кроссворд (одну позицию)

I V . Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний.

1. На доске запись трех уравнений: = x 2 , = x 3 , =-2.

Что записано на доске? (Уравнения)

— Эти уравнения необходимо решить на уроке.

Предложите способ решения. (Графический способ решения уравнений)

— Сформулируйте тему урока. ( Решение уравнений графическим способом )

— Сформулируйте цели урока?

(Научиться решать уравнения данным способом.)

-В чем состоит идея графического метода?

(Нужно построить графики введенных функций и найти точки их пересечения.

Корнями уравнения служат абсциссы этих точек)

— Какие есть недостатки у этого метода?

(Корни могут быть неточными)

Обратить внимание: значения корней получаются приближенными.

Точность корней нужно подтвердить проверкой.

2. Прочитайте алгоритм решения уравнения графическим способом

(на слайде появляются пункты алгоритма).

графического решения уравнений.

1. Рассмотреть две функции y = f ( x ) и y = q ( x ).

2. Построить график функции y = f ( x ).

3. Построить график функции y = q ( x ).

Графики этих функций строятся в одной системе координат.

4. Найти точки пересечения построенных графиков;

абсциссы этих точек – корни уравнения f ( x ) = q ( x ).

5. Записать ответ.

2.По готовому рисунку составить уравнение и решить его.

х 2 = х+2 = х 2 =

х = -1; х = 2 х = 1 х = 0 ; х = 1

V . Применение в образовательной области и в жизни .

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.

· Когда в Госдуме проводили анализ использования и восстановления ресурсов и нанесли эти графики одновременно на одной координатной плоскости, то тем самым выяснили, в каких годах в России и мире наступит стабилизация вплоть до 2100г.

· Есть такая наука, которая называется сейсмология. Ученые наносят с помощью приборов колебания различных слоев земной коры и с большой вероятностью могут вычислить по точкам пересечения графиков, когда и где могут произойти землетрясения, наводнения, извержения вулканов, возникновение других стихийных бедствий.

· Социологи, выстраивая графики рождаемости и смертности, выясняют, когда наступает равновесие, и какие причины влияют на это. Биологи работают над селекцией видов, рассматривая совместное решение графиков развития различных типичных признаков.

V I. Физкультминутка.

Изобразить руками следующие графики:

парабола с ветвями вверх,

парабола с ветвями вниз,

прямая с коэффициентами разных знаков и т.п.

V II. Этап закрепления знаний.

Уравнения решают в тетради ,графики чертят на масштабной бумаге.

№ 1. Решите уравнение графически: = x 2

1) y = 2) y = x 2

Обратная пропорциональность Квадратичная функция.

Графики уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы подробно рассмотрим построение графиков уравнений. Вначале вспомним, что такое рациональное уравнение и множество его решений, образующее график уравнения. Подробно рассмотрим график линейного уравнения и свойства линейной функции, научимся читать графики. Далее рассмотрим график квадратного уравнения и свойства квадратичной функции. Рассмотрим гиперболическую функцию и ее график и график уравнения окружности. Далее перейдем к построению и изучению совокупности графиков.