Урок одного уравнения 10 класс

Урок математики по теме «Урок одного уравнения». 10-й класс

Класс: 10

Презентация к уроку

Цели:

• рассмотреть различные методы решения тригонометрического уравнения;
• развивать умение логически мыслить,
• развивать умение находить ,рациональные способы решения

Оборудование. интерактивная доска. презентация, чертежные инструменты, тригонометрические формулы.

Ход урока

2. Повторить формулы двойного угла, униерсальной подстановки.

формулы решения тригонометрических уравнений.

3..Рассмотреть решение уравнения:

I способ (Слайды 7-9

Метод разложения на множители, используя формулы двойного угла sinx – cosx = 1

Применим формулы двойного угла:

Тогда данное уравнение примет вид:

2*sin x/2*cos x/2 – 2*cos 2 x/2 + 1 = 1

2*sin x/2*cos x/2 – 2*cos 2 x/2 = 0

Разложим на множители

Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены.

II способ (Слайды 10-11)

Переход к однородному уравнению, применяя основные тригонометрические формулы sinx – cosx = 1

Решим уравнение, применим формулу двойного угла:

cos a = cos 2 a/2 – sin 2 a/2

1 = cos 2 a/2 + sin 2 a/2

2*sin a/2* cos a/2 — cos 2 a/2 + sin 2 a/2 = cos 2 a/2 + sin 2 a/2

2*sin a/2* cos a/2 — 2*cos 2 a/2 = 0

В процессе преобразований не получили однородное уравнение. Решим его иначе.

Разложим на множители

Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены.

cos x/2 = 0 илиsin x/2 – cos x/2 = 0

III способ (Слайды 12,13)

При применении универсальной тригонометрической подстановки мы можем любое тригонометрическое уравнение свести к алгебраическому, но при этом необходимо помнить, что может произойти потеря корней. Поэтому необходимо выполнить проверку.

sinx – cosx = 1

Применим универсальную подстановку

cos a = (1- tg? x/2)/(1+tg 2 x/2)

(2*tg a/2)/(1+tg 2 x/2) — (1- tg 2 x/2)/(1+tg 2 x/2) = 1 (доп. множитель1+tg 2 x/2)

2*tg x/2 – 1 + tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2

IV способ (Слайды 14,15)

Переход к простейшему тригонометрическому уравнению путем применения формул сложения.

sinx – cosx = 1

V способ (Слайды 16-18)

Метод введения вспомогательного угла намного ускоряет процесс решения уравнения.

Уравнение вида asinx + bsinx = с

1 Найдем

2 Разделимпочленно на обе части уравнения.

(a/)sin x + (b/)cos x= c/

cos = a/sin = b/

cossin x + sincos x= c/

sin(a + b) = sin acos b + cosasin b

sin(x + ) = c/

6 Получили простейшее тригонометрическое уравнение.

Решить каждое уравнение несколькими способами.

1)sinx – cosx =

2) sinx/6 + +1= 0

Проверь себя. (Слайды20)

Домашнее задание: (Слайды21)

Решить два уравнение (по выбору) всеми способами.

3) cosx + =

5) 2sin x =

6) sinx = 2 —

Используемая литература.

1. А.Н. Колмогоров Алгебра и начала анализа. 10-11 классы.
2. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Алгебра начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы. ИЛЕКСА 2012 г
3. А.Мерзляк Тригонометрия. “АСТ-ПРЕСС ” 1998 г

МОУ Ненинская имени Героя Российской Федерации Лайса Александра Викторовича СОШ алгебра и начала анализа 10 класс УРОК ОДНОГО УРАВНЕНИЯ SIN X + COS X = — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемЛидия Писемская

Похожие презентации

Презентация 10 класса по предмету «Математика» на тему: «МОУ Ненинская имени Героя Российской Федерации Лайса Александра Викторовича СОШ алгебра и начала анализа 10 класс УРОК ОДНОГО УРАВНЕНИЯ SIN X + COS X =». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 МОУ Ненинская имени Героя Российской Федерации Лайса Александра Викторовича СОШ алгебра и начала анализа 10 класс УРОК ОДНОГО УРАВНЕНИЯ SIN X + COS X = 1

2 Цели урока: образовательные: повторить и систематизировать тему «Решение тригонометрических уравнений» на примере решения одного уравнения разными способами, создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений; развивающие: способствовать формированию умений применять приемы переноса знаний в новую ситуацию, развивать логическое мышление, умение обобщать и делать выводы; воспитательные: воспитание интереса к предмету, уважительное отношение к одноклассникам, воспитание активности, прилежания, внимания, прививать аккуратность.

3 Девиз урока «Часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и наиболее эффективнее». У.Сойер

4 «Разминка» 1.(1 балл) Верно ли, что cos²х — sin²х = 1? А. ДаБ. Нет 2.(2 балла) Период функции у=sin x равен … А. π/2 Б. πВ.2πГ. 4π 3. (3 балла) Сколько корней уравнения sin х=0 принадлежит отрезку А. 3Б. 0В. 2Г.1 4. (2 балла) Решите уравнение 2cos х = 0. А. +πn, n Z; Б.2πn, n Z; В. πn, n Z; Г.± +2πn, n Z. 5. (1 балл) Найдите область значений функции y = 1 — sin x А. Б. В. Г. Проверь ответ

5 Работа в группах. Группа 1. 1) Упростите выражение а) б) 2)Доказать тождество а) б) Группа 2. 1) Упростите выражение а) б) 2)Доказать тождество а) б)

6 Леонард Эйлер.(1707 – 1783)

7 «Деятельность Эйлера многогранна и разностороння. Он занимался почти всем, что интересовало в то время математиков». С.И. Вавилов. (Кратко об Эйлере) (Кратко об Эйлере)

8 Задача. Решите уравнение различными способами: sin x +cos x = 1. Карточки-подсказки:

9 Домашнее задание Решите уравнения разными способами: а)cos 2 x +3sin x=3; б)2sin 2 3x – 5sin3xcos3x + 3 cos 2 3x=0; в) sin x+cos3x = 0.

10 Карточка 1. С помощью универсальной подстановки tg =t 1) Вспомните и сделайте подстановку. 2) Проверьте обязательно отдельно корень, чтобы не потерять корни исходного уравнения. Вернуться

11 Карточка 2. Способом разложения на множители. 1)Представьте данное уравнение в виде уравнения с половинным аргументом, используя формулы и. 2) разложите на множители. Вернуться Вернуться

12 Карточка 3. Введение вспомогательного угла. Вспомните, что, введите вспомогательный угол. Используя формулу, или представьте данное уравнение с одной функцией Вернуться Вернуться

13 Карточка 4. Метод вспомогательных неизвестных. 1) Пусть sin x=a,cos x=b. Помни! Две переменных, введенных в одно уравнение, связаны друг с другом системой уравнений. Вернуться

14 Карточка 5. Метод оценки обеих частей уравнения. Помни! Если в уравнении правая часть положительна, то и левая часть уравнения должна быть положительной. Возведи обе части уравнения в квадрат. Вернуться Вернуться

15 Карточка 6 Графический способ Разбейте данное уравнение, так, чтобы тригонометрические функции находились в разных частях уравнения. Постройте графики функций, записанные в левой и правой частях на одной координатной плоскости, учитывая период. Найдите точки пересечения двух графиков, учитывая период. Вернуться Вернуться

16 Леонард Эйлер.(1707 – 1783) В восемнадцатом столетии среди великих математиков, жил и работал в России и внес неоценимый вклад в развитие математической культуры и науки Леонард Эйлер, швейцарец по происхождению, которого, по праву, можно назвать самым знаменитым членом Академии наук России за время ее существования. В 13 лет Эйлер поступил на факультет искусств Базельского университета. Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли. В 1724 г. по указу Петра I в Петербурге была организована Академия наук, куда был приглашен Эйлер на вакантную должность. Открытия Эйлера делают его имя широко известным. Улучшается его положение в Академии наук: в 1727 г. он начал работу в звании адъютанта, то есть младшего по рангу академика; в 1731 г. становится профессором физики, то есть действительным членом Академии наук, а в 1733 г. получает кафедру высшей математики. За первые четырнадцать лет пребывания в Петербурге Эйлер написал 80 крупных работ. В конце 1740 г. власть в России перешла в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В это время король Фридрих II решает возродить Общество наук и приглашает Эйлера в Берлин. Эйлер напряженно проработал в Берлине 25 лет. 28 июня 1766 г. он возвращается в Петербургскую Академию наук, где был встречен с величайшим почетом и устроен так хорошо, как только было можно. Эйлер умер в 1783 г. и был похоронен в Петербурге. Посмертные почести, оказанные Эйлеру, не остались не замеченными в странах Европы и подняли авторитет России. Математик Кондорсе в речи, произнесенной во Французской Академии наук, сказал: «Народ, который мы вначале этого века принимали за варваров, в настоящем случае подает пример цивилизованной Европе – как чествовать великих людей при жизни и уважать память после смерти…» Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной литературе по математике столь же часто, как имя Эйлера. В Энциклопедии можно найти сведения о шестнадцати формулах, уравнениях, теоремах и т. д., носящих имя Эйлера. В учебниках по высшей математике их еще больше. Даже в средней школе тригонометрию и логарифмы изучают до сих пор «по Эйлеру». Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще. (Вернуться)(Вернуться)

Урок алгебры в 10 классе «Урок одного уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ История тригонометрии.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

История тригонометрии Выполнила: Абросимова Ольга 

История создания тригонометрии. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические выражения. Формулы приведения. Решение прямоугольных треугольников. Обратные тригонометрические функции. Используемая литература. Содержание. 

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon — треугольник, а metrew- измеряю). В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников. Возникновение тригонометрии связано с землемерием, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Возникновение тригонометрии. 

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями. 

Гиппарх Клавдий Птолемей 

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину. 

Мухамед-бен Мухамед Бхаскара Насиреддин Туси 

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. 

Евклид Архимед Апполоний Пергский 

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна) Ариабхат 

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° — a)). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. 

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности). Региомонтан 

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным. 

Николай Коперник Тихо Браг Иоган Кеплер 

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами. 

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики. Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще, 

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia — угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется. 

Основные тригонометрические тождества. 

Формулы приведения Эти формулы позволяют: 1) найти численные значения тригонометрических функций углов, больших 90°; 2) выполнить преобразования, приводящие к более простым выражениям; 3) избавиться от отрицательных углов и углов, больших 360°. 

Решение прямоугольных треугольников По двум сторонам. По стороне и острому углу. По двум сторонам. Если заданы две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона вычисляется по теореме Пифагора ( см. соответствующий параграф в разделе «Треугольник» главы «Геометрия» ). Острые углы могут быть определены по одной из трёх первых формул для тригонометрических функций в зависимости от того, какие стороны известны. Например, если заданы катеты a и b , то угол A определяется по формуле: tan A = a / b . 

По стороне и острому углу. Если задан один острый угол A, то другой острый угол B находится из равенства: B = 90Стороны находятся по формулам тригонометрических функций, переписанных в виде: a = c sin A , b = c cos A , a = b tan A , b = c sin B , a = c cos B , b = a tan B . Остаётся выбрать те формулы, которые содержат заданную или уже найденную сторону. 

Определения. Многозначность и главные значения обратных тригонометрических функций. Соотношение x = sin y позволяет найти как x по заданному y, так и y по заданному x ( при | x | 1 ). Таким образом, можно рассматривать не только синус как функцию угла, но и угол – как функцию синуса. Этот факт может быть записан как: y = arcsin x ( “arcsin” читается “арксинус” ). Например, вместо 1/2 = sin 30 можно записать: 30arcsin 1/2. При второй форме записи угол обычно представляется в радианах: 6 = arcsin 1/2. Обратные тригонометрические функции 

Определения. arcsin x – это угол, синус которого равен x. Аналогично определяются функции arccos x, arctan x, arccot x, arcsec x, arccosec x. Эти функции являются обратными по отношению к функциям sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x, поэтому они называются обратными тригонометрическими функциями. Все обратные тригонометрические функции являются многозначными функциями, то есть каждому значению аргумента соответствует бесчисленное множество значений функции. Так, например, углы 30, 150, 390 510750имеют один и тот же синус. Главное значение arcsin x – это его значение, которое находится между  2 и + 2 (  90 и + 90 ), включая границы: 

Учебник геометрия 10 -11 класс. Л.С. Атанасян. http://www.tat15534059.narod.ru/p1aa1.html http://www.bymath.net/studyguide/tri/tri_topics.html http://www.bestreferat.ru/referat-5497.html Используемая литература 

Выбранный для просмотра документ Тригонометрические функции в физике и технике (1).pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тригонометрические функции в физике и технике

Содержание: 1.Тригонометрические функции в описании периодического процесса. 2.Тригонометрические функции при описании волнового движения. 3.Механические колебания 4. Гармонические колебания и их характеристики 5.Биения. 6.Модуляции.

Тригонометрические функции при описании периодического процесса В методе векторных диаграмм проекция конца радиус-вектора на координатную ось совершает линейное перемещение x по оси Оx, пропорциональное тригонометрической функции cos (ω0 t + φ0 ), в соответствии с уравнением: x = A cos(ω0 t + φ0 ) , ( 1 ) где A – длина радиус-вектора; ω0 – угловая скорость вращения радиус-вектора; t – время; ω0 t – число полных углов поворота радиус-вектора; φ0 – начальный угол поворота радиус-вектора. Уравнение (1) называется в физике уравнением гармонических колебаний и является решением уравнения колебаний

Тригонометрические функции при описании волнового движения При описании продольной плоской волны методом векторных диаграмм линейно перемещается не только проекция конца радиус-вектора на координатную ось Ох, но и начало координат, то есть точка О. Суммарное смещение проекции конца радиус-вектора обозначается обычно символом ξ и определяется в соответствии с уравнением: ξ = A cos(ω0 t – kx + α) , ( 2 ) где x – текущее значение координаты фронта плоской волны; k = ω0 / v – волновое число (модуль волнового вектора); v = dx/dt – модуль фазовой скорости фронта плоской волны; α – начальная фаза колебаний.

Механические колебания Механические колебательные системы. Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением x = xm cos (ωt + φ0).

Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Гармонические колебания и их характеристики Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в окружающем мире и могут иметь самую различную природу. Это могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний. Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса.

Сложение двух гармонических колебаний с неодинаковыми частотами.(Биения и модуляции) Если частоты колебаний и , неодинаковы, векторы А1 и А2 будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с не постоянной скоростью. Результирующим движение уже будет не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

Биения Биения возникают при сложении колебаний, отличающихся по частоте на небольшую величину, и проявляются в появлении более низкочастотных изменений амплитуды суммарного сигнала, по сравнению с исходными частотами. Амплитуда колебаний при этом меняется от минимального значения равного разности исходных амплитуд до максимального значения, равного сумме амплитуд исходных колебаний, и вновь до минимального значения. Периодом биений является время повторения этого процесса. За счет того, что вращение векторов А1 и А2 происходит с близкими, но отличающимися скоростями, разность фаз этих двух колебаний будет не постоянна, а медленно, то увеличиваться, то уменьшаться. Колебания будут находиться, то в фазе, то в противофазе, в результате амплитуда суммарного сигнала тоже будет меняться. Время за которое разность фаз измениться на 2π и будет периодом биений Тб (Тб = 2π/Δω). Δω -разность круговых частот исходных колебаний.

Биения применяют при обнаружении металлических предметов мин, оружия и т.д. Для этого используют два одинаковых высокочастотных колебательных контура, имеющих одинаковую частоту. Если вблизи одного из них появится металлический предмет, частота этого контура немного изменится.

Модуляции При сложении существенно отличающихся по частоте гармонических колебаний говорят о модуляции. В радиосвязи модуляция используется для передачи звукового сигнала. Для этого в передатчике на высокочастотный сигнал накладывается низкочастотный звуковой сигнал. Принимаемая в приемнике высокочастотная составляющая фильтруется, а низкочастотный сигнал подается на динамик для воспроизведения звука.

Выбранный для просмотра документ Урок алгебры в 10 конспект урока.docx

Урок алгебры в 10-м классе «Решение тригонометрических уравнений»

Главная цель: Развитие интеллекта и мышление ребенка

Применение различных способов решения уравнения sinx +cosx=1;

Знакомство с новым способом решения уравнения, через введение вспомогательного угла;

Формирование умений применять полученные знания по математике на уроках физики, музыки, геометрии, т.е. формирование целостного мировосприятия:

Отработка у учащихся приемов учебно-познавательной деятельности;

Активизирование личностного смысла учащихся к изучении темы.

Развитие творческих способностей и познавательного интереса;

Развитие самостоятельности учащихся в выборе способа решения уравнения sinx +cosx=1;

Развитие общекультурного уровня устной речи учащихся;

Развитие навыков самостоятельности и работы в группах.

Воспитание воли и настойчивости в достижении конечного результата;

Стимулирование любознательности, творческой деятельности;

Сознательное отношение к учебе и коммуникативных умений

Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний решения тригонометрических уравнений через решения уравнения вида sinx +cosx=1;

Развивать интерес учащихся к занятию, придав ему проблемно-исследовательский характер, что отвечает личностным интересам и потребностям учащихся;

Развивать потребность в исследовательской деятельности.

Основные этапы урока

Организационный момент (2 мин.)

Актуализация опорных знаний и умений (5 мин.)

Решение уравнения sinx + cosx=1; (6 способов) (15 мин.)

Знакомство с новым способом: введение вспомогательного угла (15 мин.)

Подведение итога урока и постановка домашнего задания (3 мин.)

Лучше всего продвигается естественное исследование,
когда физическое завершается в математическом
Ф.Бэкон (1561-1626)
английский философ

1. Организационный момент.

Задача этапа: Создать у учащихся рабочий настрой и обеспечить деловую обстановку в классе.

Метод обучения: словесный.

Форма обучения: коллективная.

Деятельность учителя: Приветствие учащихся. Цитирует эпиграф. Сообщает тему урока: “У нас сегодня урок одного уравнения. Вам было дано задание на дом найти, как можно способов решения уравнения sinx + cosx=1. Работа велась в группах. Мы проверим, чья группа нашла больших способов решения этого уравнения уравнений и познакомимся со способом решения уравнения через введение вспомогательного угла, понятие которого используется в гармонических колебаниях, т.е. тем самым установим связь с физикой и музыкой.

Приветствуют учителя. Слушают. Записывают тему урока.

2. Актуализация опорных ЗУН.

2.1.На этапе актуализации знаний происходит воспроизведение и коррекция необходимых знаний и умений .

Ребята, предложившие свой способ, проходят к доске и решают. В это время проводится программированный контроль ЗУН по решению простейших уравнений:

ПОКАЗАТЬ ИЗ ЦОРов ОБЪЯСНЕНИЕ ХОТЯ БЫ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ — это № 44

Устная работа № 44 — проверка знаний

2.2.Презентация учащегося по теме «История тригонометрии»

2.3.Презентация учащегося, увлекающегося физикой:

Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике, технике. Такие процессы как колебание пружины, колебание маятника, напряжение в цепи переменного тока описываются функцией, которая задается формулой у = Аsin (ωx +φ)

1. Конец упругой пружины (точка Р) описывает колебательные движения зависимость координаты Р от времени t будет иметь вид х = Аsin (ωt +П/2) ω- коэффициент упругости пружины.

2. Электрический колебательный контур

Если взять электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С и катушки индуктивности L и замкнуть, то по цепи пойдет ток, напряжение которого будет меняться со временем и эта зависимость будет иметь вид U = U ₀ sin (ωt +α)

Мы видим, что и эта зависимость выражается формулой вида у = Аsin (ωx +φ).

2.4.Презентация учащегося, увлекающегося музыкой (гитара).

3. Чистый звуковой тон представляет собой колебание с некоторой постоянной частотой. Чистый тон можно представить в виде любой ноты. Наложение тонов — это любой аккорд. Высота звука зависит от октавы. Чем больше октава, тем выше звук. Чем ниже октава, тем ниже звук. Высота звука определяется частотой колебания Музыка, которую мы слышим, представляет собой наложение различных чистых тонов. Преобладание той или иной частоты (скажем, низких или высоких) связано с амплитудой соответствующих колебаний. На языке математики это означает, что любую периодическую функцию можно представить с наперед заданной точностью как сумму синусов. Этот замечательный факт обнаружил еще в XVIII веке Бернулли при решении задачи о колебании струны.

Учащиеся осмысливают практическую значимость, полезность приобретенных знаний и умений, происходит выявление личностного отношения через межпредметную связь).

Поддерживать учащихся, проявлять и развивать свои способности, обеспечивать успешное протекание процессов самопознания и самореализации (осознанное восприятие материала)

3. Решение уравнения sinx +cosx=1.

Задача этапа: продолжить формирование мотивации учения учащихся, закрепляя уверенность в себе: “Я умею — я знаю — я могу”. Формирование целостного мировосприятия

Методы обучения: словесный, частично-поисковый.

Форма обучения: групповая, коллективная и индивидуальная.

Аукцион идей (каждая группа как можно больше предлагает способов решения).

Осуществляется самоконтроль и взаимоконтроль. Обращение к имеющимся знаниям детей, понятийность через интерес самих детей. Выслушивание различных точек зрения. Учащиеся учатся слышать друг друга, уступать или отстаивать свою точку зрения. Данная форма работы побуждает и развивает у ребят исследовательский инстинкт, развивает способность анализировать, обобщать, выделять главное.

Предложив способ решения – учащийся выходит к доске и решает самостоятельно.

1 способ (разложением на множители)

sinx +cosx=1 (используя формулы двойного угла)

2 способ (приведение к однородному уравнению второй степени)

3 способ (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение)

4 способ (выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка)

5 способ (возведение в квадрат обеих частей уравнения)

6 способ (введение вспомогательного угла)

Подведение итога урока и домашнее задание

Сегодня на уроке я узнал, что…

Дома: Решить задачу.

Определить углы прямоугольного треугольника, если длины его сторон являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Решить уравнения через введение вспомогательного угла.

Выбранный для просмотра документ основная презентация.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок алгебры «Урок одного уравнения» Цели урока: Главная цель: Развитие интеллекта и мышление ребенка Обучающие: Применение различных способов решения уравнения sinx +cosx=1; Знакомство с новым способом решения уравнения, через введение вспомогательного угла; Формирование умений применять полученные знания по математике на уроках физики, музыки, геометрии, т.е. формирование целостного мировосприятия: Отработка у учащихся приемов учебно-познавательной деятельности; Активизирование личностного смысла учащихся к изучении темы. Развивающие: Развитие творческих способностей и познавательного интереса; Развитие самостоятельности учащихся в выборе способа решения уравнения sinx +cosx=1; Развитие общекультурного уровня устной речи учащихся; Развитие навыков самостоятельности и работы в группах. Воспитательные: Воспитание воли и настойчивости в достижении конечного результата; Стимулирование любознательности, творческой деятельности; Критичности мышления; Сознательное отношение к учебе и коммуникативных умений Задачи урока: Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний решения тригонометрических уравнений через решения уравнения вида sinx +cosx=1; Развивать интерес учащихся к занятию, придав ему проблемно-исследовательский характер, что отвечает личностным интересам и потребностям учащихся; Развивать потребность в исследовательской деятельности. Основные этапы урока Организационный момент (2 мин.) Актуализация опорных знаний и умений (5 мин.) Решение уравнения sinx + cosx=1; (6 способов) (15 мин.) Знакомство с новым способом: введение вспомогательного угла (15 мин.) Подведение итога урока и постановка домашнего задания (3 мин.)

Цели урока: Главная цель: Развитие интеллекта и мышление ребенка Обучающие: Применение различных способов решения уравнения sinx +cosx=1; Знакомство с новым способом решения уравнения, через введение вспомогательного угла; Формирование умений применять полученные знания по математике на уроках физики, музыки, геометрии, т.е. формирование целостного мировосприятия: Отработка у учащихся приемов учебно-познавательной деятельности; Активизирование личностного смысла учащихся к изучении темы. Развивающие: Развитие творческих способностей и познавательного интереса; Развитие самостоятельности учащихся в выборе способа решения уравнения sinx +cosx=1; Развитие общекультурного уровня устной речи учащихся; Развитие навыков самостоятельности и работы в группах. Воспитательные: Воспитание воли и настойчивости в достижении конечного результата; Стимулирование любознательности, творческой деятельности; Критичности мышления; Сознательное отношение к учебе и коммуникативных умений Задачи урока: Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний решения тригонометрических уравнений через решения уравнения вида sinx +cosx=1; Развивать интерес учащихся к занятию, придав ему проблемно-исследовательский характер, что отвечает личностным интересам и потребностям учащихся; Развивать потребность в исследовательской деятельности. Основные этапы урока Организационный момент (2 мин.) Актуализация опорных знаний и умений (5 мин.) Решение уравнения sinx + cosx=1; (6 способов) (15 мин.) Знакомство с новым способом: введение вспомогательного угла (15 мин.) Подведение итога урока и постановка домашнего задания (3 мин.)

Развивающие: Развитие творческих способностей и познавательного интереса; Развитие самостоятельности учащихся в выборе способа решения уравнения sinx +cosx=1; Развитие общекультурного уровня устной речи учащихся; Развитие навыков самостоятельности и работы в группах. Воспитательные: Воспитание воли и настойчивости в достижении конечного результата; Стимулирование любознательности, творческой деятельности; Критичности мышления; Сознательное отношение к учебе и коммуникативных умений Задачи урока: Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний решения тригонометрических уравнений через решения уравнения вида sinx +cosx=1; Развивать интерес учащихся к занятию, придав ему проблемно-исследовательский характер, что отвечает личностным интересам и потребностям учащихся; Развивать потребность в исследовательской деятельности. Основные этапы урока Организационный момент (2 мин.) Актуализация опорных знаний и умений (5 мин.) Решение уравнения sinx + cosx=1; (6 способов) (15 мин.) Знакомство с новым способом: введение вспомогательного угла (15 мин.) Подведение итога урока и постановка домашнего задания (3 мин.)

Задачи урока: Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний решения тригонометрических уравнений через решения уравнения вида sinx +cosx=1; Развивать интерес учащихся к занятию, придав ему проблемно-исследовательский характер, что отвечает личностным интересам и потребностям учащихся; Развивать потребность в исследовательской деятельности. Основные этапы урока Организационный момент (2 мин.) Актуализация опорных знаний и умений (5 мин.) Применение тригонометрии в физике, музыке. История Тригонометрии (15 мин.) Решение уравнения sinx + cosx=1; (6 способов) (15 мин.) Подведение итога урока и постановка домашнего задания (3 мин.)

Выбранный для просмотра документ тригонометрия в музыке.pptx