Урок по дифференциальным уравнениям второго порядка

Лекция. Дифференциальные уравнения второго порядка
учебно-методический материал

Лекция «Дифференциальные уравнения второго порядка» по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 2 курса специальности «Компьютерные системы и комплексы».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Лекция. Дифференциальные уравнения второго порядка.

1) Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: y’’= f(x) . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение.

Найти общее решение дифференциального уравнения y’’ = x 2 – 2x
Решение :

Данное дифференциальное уравнение имеет вид y’’= f(x) . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение.

Понижаем степень уравнения до первого порядка:

, где С 1 – константа

Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:

Ответ: общее решение:

Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае необходимо лишь найти вторую производную:

Получено исходное дифференциальное уравнение y’’ = x 2 – 2x , значит, общее решение найдено правильно.

2) В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция у

Простейшее уравнение данного типа в общем виде выглядит так: F(x, y’, y»)=0 .

В этом уравнении всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде , но он обязательно всплывёт в ходе решения. Кроме того, во всех этих уравнениях обязательно присутствует независимая переменная «икс».

Решаются такие уравнения с помощью замены.

Решить неполное дифференциальное уравнение второго порядка: y’’= 5x — 1

Пусть у’ = u , тогда y’’ = u’ , получим u’ = 5x – 1 или

Подставляя обратно в уравнение у’ = u получим:

На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.

Ответ: Общее решение:

3) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида: у’’+рy’+qy = f(x)

где коэффициенты p , q – постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами

В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное равнение и неоднородное уравнение .

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

у’’+рy’+qy = 0 , где p и q – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

у’’+рy’+qy = f(x) , где p и q – константы, а f(x) – функция, зависящая только от «икс» . В простейшем случае функция f(x) может быть числом, отличным от нуля .

Чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение :

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:

вместо второй производной записываем ;

вместо первой производной записываем просто «лямбду»;

вместо функции у ничего не записываем.

– это обычное квадратное уравнение , которое предстоит решить.

В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде:

1) Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: .

2) Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня (дискриминант D=0 ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: , где – константы.

Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.

Если оба корня равны нулю , то общее решение имеет вид: .

Решить дифференциальное уравнение

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Вычисляя дискриминант, получаем два кратных действительных корня

Ответ: общее решение:

3) Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни ( Данный случай приведен только для ознакомления. Тему «Комплексные числа мы будем проходить позже» )

Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни , (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:

Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом:

Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее решение упрощается:

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

Урок по математике на тему «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка»

Три пути ведут к знанию:

путь размышления-это путь

путь подражания-это путь

и путь опыта-это путь

Тема урока: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Систематизировать , расширять знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения дифференциальных уравнений второго порядка;

Развивать: а) умение анализировать математические ситуации ;

б) умение выделять главное;

в) умение сравнивать, обобщать, классифицировать ;

Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, самоанализу своей деятельности;

Тип урока: комбинированный

Оборудование урока: интерактивная доска, лист успешности учащегося, деформированные задания, тест

Вся работа на уроке сопровождается индивидуальным листом успешности

Лист успешности учащегося

I . Постановка целей урока

II . Актуализация опорных знаний

1) Закончить формулировку определения:

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются….(дифференциальными)

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют …..(обыкновенным)

Функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество называется….(решением уравнения)

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение называется…(порядком уравнения)

Уравнение вида F (х,у,)=0 называется …..(диф. уравнением 1-го порядка)

Уравнение вида f ( x , y ) dx = ( x , y ) dy называется…..(однородным)

Уравнение вида = f ₁( x ) f ₂₍ y ) называется…..(диф. уравнением с разделяющимися переменными)

Уравнение вида +Р(х)у= Q ( x ) называется…..(линейным диф. уравнением 1-го порядка)

Уравнение вида F (х,у, , )=0 называется…(диф. уравнением второго порядка)

Процесс отыскания решения диф. уравнения называется….(итегрированием)

2) Классификация дифференциальных уравнений по их видам:

ДУ с разделяющимися переменными

. = sin 2 x

2. (6у+3) dx =2 dy

Линейное ДУ первого порядка

3. (x 2 -y 2 )dx+2xydy=0

ДУ третьего порядка

.

5. +2+6y=0

Однородное ДУ первого порядка

6. =3 x 2 –4 x +2 cos 3 x

Линейное однородное ДУ второго порядка

ДУ второго порядка

3) Классификация дифференциальных уравнений по методам их решения

1. Метод четырехкратного интегрирования

(1+x 2 ) –xy=2x

2. Метод разделения переменных

3. Метод двукратного интегрирования

=6x 4 -12x 2 +

4. Метод сведения ДУ к уравнению с разделяющимися переменными

y =2 cos 2 x

5. Метод подстановки у= uv

+4+8y=0

6. Метод замены ДУ характеристическим уравнением

4) Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка

Если k ₁ k _2, то

у= c ₁ e kx + c ₂ e k х

Если k ₁ и k ₂ – комплексные числа, то у=е ах (с₁ cosbx + c ₂ sinbx )

Заменить у 11 , у 1 , у на k 2 , k ,1

Составить характеристическое уравнение вида: k 2 + px + q =0

III . Формирование практических умений и навыков:

1) Найти ошибку в решении дифференциального уравнения третьего порядка:

= 9 х 2 +4-2 cos4x

= 3x 3 +4x- sin4x+c ₁

=

y =

2) Найти пары: «Уравнение-его решение»

у=е(с₁+с₂х)

у=с₁е+с₂е -6х

у=е(с₁+с₂х

+8+16у=0

—+у=0

-9=0

+5-6у=0

3) Решить дифференциальные уравнения с комплексными корнями:

а) +4+8у=0 б) -2+2у=0

k 2 +4k+8=0 k2 -2k+2=0

Д 1 =Д/4= -4 k _1/2= — Д 1 =Д/4= -1

k _1/2= -2 k _1/2= 1

IV . Выполнение теста

Уравнение -4у-3=0- это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное диф. уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

Найти общее решение диф. уравнения:

А) у=е х ( c ₁ cos 2 x + c ₂ sin 2 x ) Б) у=е 4х (с₁ cosx + c ₂ sinx ) В) у=е 2х ( c ₁ cos 3 x + c ₂ sin 3х) Г)у=е 4х (с₁ cos 2 x + c ₂ sin 2 x )

А) у=е х ( c ₁ cos 2 x + c ₂ sin 2 x ) Б) у=е 4х (с₁ cosx + c ₂ sinx ) В) у=е 2х ( c ₁ cos 3 x + c ₂ sin 3 x ) Г) у=е -3х (с₁ cosx + c ₂ sinx )

1. Уравнение — — это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

Уравнение — это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

Найти общее решение диф. уравнения:

А) у=е х ( c ₁ cos 2 x + c ₂ sin 2 x ) Б) у=е -4х (с₁ cos 2 x + c ₂ sin 2 x ) В) у=е 2х ( c ₁ cos 3 x + c ₂ sin 3х) Г)у=е 4х (с₁ cos 2 x + c ₂ sin 2 x )

А) у=е х ( c ₁ cos 2 x + c ₂ sin 2 x ) Б) у=е 4х (с₁ cosx + c ₂ sinx ) В) у=е -х ( c ₁ cosx + c ₂ sinx )

Составить три диф. уравнения третьего порядка и три диф. уравнения четвертого порядка;

Решить эти уравнения;

Рефлексия, итоги урока

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 570 248 материалов в базе

Другие материалы

• 26.09.2016
• 537
• 0

• 26.09.2016
• 369
• 0

• 26.09.2016
• 606
• 0

• 26.09.2016
• 605
• 1

• 26.09.2016
• 455
• 0

• 26.09.2016
• 338
• 0

• 26.09.2016
• 904
• 14

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.09.2016 912
• DOCX 171 кбайт
• 8 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ефимова Лариса Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 28661
• Всего материалов: 21

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемОльга Басалаева

Похожие презентации

Презентация на тему: » Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5.» — Транскрипт:

1 Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5

2 Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

3 Задача Коши для уравнения 2- го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.

4 Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.

5 Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой,.

6 Пример Проинтегрируем Имеем И

7 Пример Уравнение не содержит явно х, поэтому решаем его подстановкой При х=0 Ответ

8 Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение. Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

9 Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения, то и Су(х), где С-константа, также является решением этого уравнения.

10 Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и — решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и — решения уравнения, то функция -также решение этого уравнения.

11 Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и,не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

12 Линейно зависимые и линейно независимые функции Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

13 Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка Если и -линейно независимые частные решения ЛОУ 2- го порядка, то их линейная комбинация, где и — произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

14 Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.