Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Линейные уравнения
Линейные уравнения
Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Примеры линейных уравнений:
- 3 x = 2
- 2 7 x = − 5
Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.
Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .
Примеры решения линейных уравнений:
- 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b :
Для начала раскроем скобки:
2 x + 1 = 4 x − 6 + 8
В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:
Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
x 2 + 3 x − 8 = x − 1
Это уравнение не является линейным уравнением.
Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)
- 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 2 x = − 4 + 4
И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 4 = 2 x − 16
2 x − 2 x = − 16 + 4
В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Алгоритм решения квадратного уравнения:
- Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
- Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
- Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
- Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
- Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
- Если D 0, решений нет: x ∈ ∅
Примеры решения квадратного уравнения:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0
a = − 1, b = 6, c = 7
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64
D > 0 – будет два различных корня:
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7
Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7
a = − 1, b = 4, c = − 4
D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0
D = 0 – будет один корень:
x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2
a = 2, b = − 7, c = 10
D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31
D 0 – решений нет.
Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:
a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )
где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,
x – переменная (то есть буква),
x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.
Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:
a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2
Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )
- − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2
− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2
Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:
- c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )
- b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.
Дробно рациональные уравнения
Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .
Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
ОДЗ – область допустимых значений переменной.
В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0
ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).
Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
- Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
- Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
- Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Пример решения дробного рационального уравнения:
Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.
Решение:
Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
- Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0
x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0
x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0
x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0
x 2 + x − 6 2 − x = 0
Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2
- Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:
x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.
a = 1, b = 1, c = − 6
D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25
D > 0 – будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Корни, полученные на предыдущем шаге:
Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.
Системы уравнений
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы уравнений
Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.
Существует два метода решений систем линейных уравнений:
- Метод подстановки.
- Метод сложения.
Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:
- Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
- Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
- Решить уравнение с одной неизвестной.
- Найти оставшуюся неизвестную.
Решить систему уравнений методом подстановки
Решение:
- Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
- Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
- Решить уравнение с одной неизвестной.
3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4
y = − 28 − 7 = 28 7 = 4
- Найти оставшуюся неизвестную.
x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0
Ответ можно записать одним из трех способов:
Решение системы уравнений методом сложения.
Метод сложения основывается на следующем свойстве:
Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.
Решить систему уравнений методом сложения
Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .
Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.
( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )
− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4
y = − 28 − 7 = 28 7 = 4
Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.
Ответ можно записать одним из трех способов:
Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Системы уравнений. Методы решения систем уравнений
Решение задачи
Решение задачи
Необходимо запомнить
Итак, на уроке мы вспомнили два основных метода решения систем уравнений: метод подстановки и метод сложения. Эти методы применимы к различным видам систем уравнений.
Кроме этих методов были рассмотрены частные случаи. В случае, когда одно из уравнений является частью другого или когда два уравнения совместно могут составить формулу сокращенного умножения. Так же мы выяснили, что и при решении систем уравнений применима замена переменных, позволяющая упростить решение.
Системы уравнений. Методы решения систем уравнений
Пусть заданы функции $f(x)$ и $g(x)$. Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.
Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ имеет вид $f (x,y ) = g (x,y)$, где $f$ и $g$ — выражения с переменными $x$ и $y$ .
Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:
$\begin
Конспект урока по теме: «Система уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 4 г. Соль-Илецка»
Конспект урока по алгебре
«Системы линейных уравнений
с двумя переменными»
Урок алгебры в 7-м классе.
Тема: «Системы линейных уравнений»
Цель урока : сформировать представление о математической модели система уравнений , изучить графический метод решения систем уравнений.
Сформировать представление о математической модели система уравнений
Изучить графический метод решения систем линейных уравнений
Развить: ясность и точность мысли, интуицию, элементы алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей
воспитание эстетического восприятия математики посредством решения исторических задач.
Листы контрольных вопросов по теме «Линейные уравнения с двумя переменными».
Тип урока . Урок погружения в тему.
I этап. Мотивационный этап.
Учитель. Сегодняшний урок мне хотелось бы начать словами великого ученого и политика Альберта Эйнштейна: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.
А девизом урока будут слова “Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий” .
II этап. Актуализация опорных понятий.
1. Из предложенных уравнений выберите линейное с двумя переменными
а) ах 2 + bx + c = 0; б) ax + by + c = 0; в) ax + b = 0
2. Дайте название математической модели 6(х – 2) + 5 = 19
а) уравнение б) равенство в) система уравнений
3 . Выберите решение уравнения 5х + 3у – 19 = 0
а) (2; 3); б) (5; 6); в) (1; 2)
4. Дайте название математической модели
а) уравнение б) равенство в) система уравнений
5. Выберите график линейного уравнения
6. Каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков линейных функций:
III этап. Сообщение темы урока.
Исаак Ньютон сказал:
“ Чтобы решить вопрос, относящийся к числам
или к отвлеченным отношениям величин,
нужно лишь перевести задачу с родного языка
на язык алгебраический”.
Предлагаю вам задачу из “Всеобщей арифметики” Ньютона: Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. “Чего же ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, то твоя поклажа стала бы одинакова с моей”. Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько мул?
Нарисуем таблицу (на доске таблица, правый столбик заполнен, левый заполняется совместно с учащимися).
Составим уравнения, которые должны выполняться одновременно.
Зная, что ноша моя станет тяжелее твоей, составим первое уравнение
твоя поклажа стала бы одинакова с моей, составим второе уравнение
Как вы думаете, какова же тема нашего урока?
(выслушиваются варианты детей, если они совпадают с темой урока то их ответы поощряются )
Чем мы будем сегодня заниматься на уроке?
Итак сегодня на уроке мы продолжим работать с системами уравнений.
Поэтому тема нашего сегодняшнего урока : «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений»
Нас интересует такая пара чисел, которая одновременно удовлетворяет и одному и другому уравнению. В таких случаях говорят, что математическая модель представляет собой систему уравнений.
Что значит решить систему?
Решить систему- значит найти все её решения или установить, что их нет.
Какими же методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: графический метод, метод подстановки, метод сложения
С каким методом решения системы уравнений с двумя переменными мы познакомились? В чем же он заключается? Как вы думаете?
Алгоритм решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными графическим методом:
Построить в декартовой системе координат первое уравнение системы
Построить в той же декартовой системе координат второе уравнение системы
Если прямые пересекаются то координаты точки пересечения двух прямых и будут решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, если прямые параллельны, то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не имеет решений, если прямые совпадают то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений.
Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений? (слайды 15-19)
Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений?
Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений?
I V этап. Закрепление нового материла.
Давайте все таки решим задачу про мула и лошадь с помощью графического способа. Пользуемся алгоритмом.
Один ученик на доске под контролем учителя, применяя алгоритм решает задачу
V этап. Проверка домашнего задания.
Есть вопросы по решению домашнего задания ?
Убедитесь, что пара чисел (12;15) является решением системы уравнений: (слайды)
Является ли решением системы уравнений
пара чисел: а) (1;2); б) (4;3) в) (0;1)?
VI этап. Историческая справка.
Учитель. Мы повторили основные понятия систем линейных уравнений. Где же возникли первые задачи, решаемые системой двух линейных уравнений с двумя переменными?
Ученица 1. ЕГИПЕТ. Первые задачи на составление и решение систем уравнений с несколькими переменными встречаются в египетских и вавилонских текстах второго тысячелетия до нашей эры, а также в трудах древнегреческих и индийских ученых. Решались они различными искусственными способами, единого алгоритма не было.
Ученик 2. КИТАЙ. Алгоритм решения систем линейных уравнений был напечатан в Китае в труде “Математика в девяти книгах” (206 г. до н.э.), где рассматривались системы и давились правила их решения. При этом все изложение словесно. Коэффициенты системы располагались на счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях было замечено, что следует поступать по одному и тому же правилу систематически. Первым появился способ сложения, а затем и способ подстановки. В книге “Всеобщая арифметика” (1707 г.) Ньютон излагает уже все способы решения систем, изучаемые ныне в школе.
VII этап. Тренировочные упражнения
Фронтальная работа: составить математическую модель и решить систему.
Я хочу прочитать задачу из «Курса алгебры» известного русского математика А.Н. Страннолюбского (1868 год), который был домашним учителем Софьи Ковалевской: «Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найдите лета обоих сыновей».
Для решения задачи мы составили систему уравнений
Масштаб возьмите в координатной плоскости за 2 единичных отрезка одну клетку.
Решая эту систему, мы получили ответ: х = 4, у = 12, т.е. сыновьям 4 года и 12 лет.
VIII этап. Итог урока.
Мы познакомились с системой двух линейных уравнений с 2 неизвестными , графическим методом решения систем уравнений.
В каком случае система имеет единственное решение?
В каком случае система не имеет решений ?
В каком случае говорят, что система имеет бесконечно много решений?
План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.
Графиками уравнений являются прямые. В одной и той же координатной плоскости построить графики уравнений
Найти координаты точки пересечения графиков
План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.
Подставить полученное выражение в другое уравнение
Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.
Перенести слагаемые из одной части уравнения в другую и решить полученное линейное уравнение.
Подставить значение переменной в выражение (3) и вычислить значение другой переменной.
План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.
Перенести слагаемые из одной части уравнения в другую
Умножить одно или оба уравнения, на какое – либо число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположны.
у = 2х – 3, -1 -у = -2х + 3,
у = х + 2; у = х + 2;
Сложить почленно полученные уравнения
Решить линейное уравнение
Подставить значение переменной в одно из уравнений. Например в уравнение (4)
http://resh.edu.ru/subject/lesson/4134/main/
http://infourok.ru/konspekt-uroka-po-teme-sistema-uravneniy-1489885.html