Урок по однородным тригонометрическим уравнениям

Алгебра и начала анализа. Урок по теме «Однородные тригонометрические уравнения» (10-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 10

• ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени ;
• сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
• научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
• развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
• стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией . Приложение 1.

II. Актуализация опорных знаний..

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

III. Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

IV. Усвоение новых знаний

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: sinx + cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

• Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx 0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример: sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение

Возвращаемся к замене

Ответ:

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin 2 x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки .

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x.
2. Если член asin 2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos 2 x и последующим введение новой переменной.
3. Если член asin 2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin 2 m x + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 решаются таким же способом

Алгоритм решени однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.

V. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр. 53

1-я и 2-я группа решают № 361 в)

3-я и 4-я группа решают № 363 в)

Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.

Решение примеров из задачника

№ 361в)
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx 0, получаем

№ 363в)
sin 2 x + sinxcosx – 2cos 2 x = 0
разделим обе части уравнения на cos 2 x, получим
tg 2 x + tgx – 2 = 0
решаем путем введения новой переменной
пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
а 2 + а – 2 = 0
Д = 9
а₁ = 1 а₂ = –2
возвращаемся к замене

VI. Самостоятельная работа

1. 2 cosx – 2 = 0
2. tg2x +1 = 0
3. 2cos 2 x – 3cosx +1 = 0
4. 3 sin 2 x + sinx cosx – 2 cos 2 x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.

Потом сдают независимому эксперту.

Решение самостоятельной работы

VII. Подведение итогов урока

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?
2. Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

VIII. Задание на дом

§ 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

1. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
2. Единица измерения углов? (Радиан)
3. Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
4. Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
5. Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
6. Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
7. Как называется верное равенство? (Тождество)
8. Равенство с переменной? (Уравнение)
9. Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
10. Множество корней уравнения? (Решение)

Рейтинговая система оценки знаний

• Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)
• Презентация – 1балл
• Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)
• Решение уравнений 1 балл
• Самостоятельная работа – 4 балла

“5” – 22 балла и более
“4” – 18 – 21 балл
“3” – 12 – 17 баллов

За высокую активность ставится дополнительная оценка.

Разработка урока на тему: «Однородные тригонометрические уравнения» 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Тема урока: «Однородные тригонометрические уравнения»

Цели и задачи урока:

1. Сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения других видов тригонометрических уравнений;

2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: проектор, карточки, тетради, стенды по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы тригонометрии.

Содержание урока

I. Организационный момент.

Взаимное приветствие: проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, кто отсутствует).

II. Проверка домашнего задания.

1. Проверка домашнего задания у доски. Учащиеся решают у доски уравнения:

sin (2x — 2x — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif» /> = — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» /> + 2πn, n2x = — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» /> + 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif» /> + 2πn, n2x = — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif» /> + 2πn, nx = — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif» /> + πn, na) наименьший положительный корень: если n=1, x = [- 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» />; 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.gif» />] n=0, х = — n=1, х = в) наименьший отрицательный корень n=0, х = — (-π;1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image014.gif» />) х = — cos 2 2x – 1 – cos x = cos 2 2x – 1 – cos x — – cos x — cos x = — x= ±arccos (1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image018.gif» /> 2πn, nx= ±1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image020.gif» /> 2πn, nЕсли |a|≤1,то арксинусом a называется такое число из отрезка [- 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image022.gif» />; Арктангенс a – это такое число из интервала (- 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image022.gif» />;Если |a|≤1, то уравнение sin x=a, имеет решения x= (-1)ⁿ arcsin a +πn, где nЕсли |a|≤1, то уравнение cos x=a, имеет решения x = ± arccos a +2πк, где кУравнение tgx=a имеет решения x=arctg a + πк, где к1) arcsin 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image028.gif» /> = 2) arcos 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image028.gif» /> = 3) arccos 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image016.gif» /> = 4) arcsin 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image034.gif» /> =

Открытый урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Данный план — конспект открытого урока рассчитан на обобщающий урок по теме «Решение тригонометрических уравнений» — 10 класс, по учебнику Колмогорова А.Н.

Разрабоктка урока по теме: «Решение тригонометрических уравнения»

Урок разаботан для 1 курса НПО-СПО по теме «Решение тригонометрических уравнения»конспект урока + презентация.

Урок по теме Решение тригонометрических уравнений в 10 классе

Конспект урока по теме Решение тригонометрических уравнений в 10 классе.

Открытый урок по теме: «Решение тригонометрических уравнений».

Разработка открытого урока по теме: «Решение тригонометрических уравнений».

Обобщающий урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Урок-презентация .Цели урока: повторить формулы для решение простейших тригонометрических уравнений; закрепитьнавык решения тригонометрических уравнений различными методами; развивать умен.

Методическая разработка урока по теме «Простейшие тригонометрические уравнения»

Урок-соревнование проводится с помощью компьютерной поддержки. Применяются групповая, фронтальная и индивидуальная формы работы. Соревнование между 3 командами проходит в 4 этапа. Каждый обучающийся в.

План урока по теме «Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем уравнений».

Подбор разноуровневых тематических заданий для организации самостоятельной работы учащихся 10 классов.

Конспект урока по теме «Решение однородных тригонометрических уравнений» в 10 классе.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Заварыкина Наталья Николаевна,

Конспект урока по теме

«Решение однородных тригонометрических уравнений» в 10 классе.

Тип урока: комбинированный

обобщение знаний о тригонометрических уравнениях

формирование умений и навыков в решении однородных тригонометрических уравнений

умение решать все виды тригонометрических уравнений

развитие познавательного интереса, логического мышления, взаимосвязи математики с жизнью

развитие логического мышления, памяти, внимания

умение делать выводы и обобщения.

формировать интерес к данному предмету, содействовать воспитанию интереса к математике, особенно в условиях информатизации общества, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды

воспитание аккуратности, дисциплины, настойчивости, ответственного отношения к учебе

формирование умения осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль

I . Организационный момент.

— Добрый день, ребята!

Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях . С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами.

— Какие виды уравнений вы знаете?

— Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделал неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по- другому?

И сегодня вы узнаете еще больше о решении тригонометрических уравнений

-Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую разминку.

1.Нужно решить простейшие тригонометрические уравнения:

а) sin x =-1 б) cos x = в) tg x =-1 г) sin x =-

д ) cos x=- е ) tg x=4 ж ) sin x=-2 з ) cos x=

2. Перед вами уравнения, в течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу (в таблицу занести номер под которым стоит уравнение):

Разложение на множители

1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0;

3) 3tg 2 x + 2tg x — 1=0;

4) 2 cos 2 x + 9cos x +14=0;

6) 2sinx – 3cosx = 0

10) 3sin 2 x – 4sinx cosx + cos 2 x = 0;

12) 3cos 2 x – sinx – 1 =0;

13) 2 cos ( + 3 x ) – = 0.

III . Усвоение новых знаний

— Ребята, а какие уравнения остались без таблицы? (6,10)

— Как называются эти уравнения мы узнаем, разгадав кроссворд (на слайде появляется кроссворд)

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)

Единица измерения углов? (Радиан)

Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)

Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)

Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)

Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)

Как называется верное равенство? (Тождество)

Равенство с переменной? (Уравнение)

Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)

Множество корней уравнения ? (Решение)

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

— Это однородные тригонометрические уравнения.

— Запишите тему урока: « Решение однородных тригонометрических уравнений ».

На слайде появляется запись определения однородных тригонометрических уравнений, что это уравнения вида:

а sin x + b cos x = 0, a, b ≠ 0 и

a sin 2 x + b sin x cos x + k cos 2 x = 0, a, b, k ≠ 0

Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставим cos x = 0 , то получим, что sin x = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю).

Итак, рассмотрим решение уравнения:

2 sin x – 3 cos x = 0,

x = arctg1,5 + πn, n € Z

Ответ : x = arctg1,5 + πn, n € Z

— А теперь решим уравнение 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0;

Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.

— Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

— Какой мы можем сделать вывод?

— Это уравнение однородное.

— Как мы решаем такое уравнение?

— Мы делим обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0, так как косинус и синус не могут одновременно равняться нулю.

3sin 2 x – 4sinx cos x + cos 2 x = 0;

3tg 2 x – 4tgx + 1 = 0

Обозначим tg x = y

3 y 2 – 4 y + 1 = 0

x ₁ = arctg + πk , k € Z x ₂ = + πn , n € Z

Ответ: x ₁ = arctg + πk , k € Z , x ₂ = + πn , n € Z

На доске записаны уравнения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1. sin x = 2 cos x – однородное

2. sin 3 x – cos 3 x = 0 – однородное

3. sin 2 x – 2 sin x – 3 = 0 – квадратное

4. 2cos 2 x + 3sin 2 x + 2cos x = 0 – квадратное

5. 6sin 2 x – cos 2 x – 5sin x cos x = 0 – однородное

Решить у доски уравнения: sin 3 x – cos 3 x = 0

3x = arctg + πn, n € Z

Ответ : x = + , n € Z

2) 6sin 2 x – cos 2 x – 5sin x cos x = 0

6 tg 2 x – 1 – 5 tgx = 0

Обозначим tg x = y

6 y 2 – 5 y — 1 = 0

x ₁ = — arctg + πk , k € Z x ₂ = + πn , n € Z

Ответ: x ₁ = — arctg + πk , k € Z , x ₂ = + πn , n € Z

IV . Проверка усвоения нового материала.

а ) 3sin x – cos x = 0;

б ) cos2x + sin2x = 0;

в) 2 sin 2 x – 3 sinxcosx + cos 2 x = 0.

а ) sin x + 3cos x = 0,

sin5x + cos5x = 0

в ) 2sin 2 x + sinx cosx — 3cos 2 x = 0

По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их.

V . Подведение итогов.

— С каким видом уравнений познакомились?

— Как решаются эти уравнения?

-Что имеем после деления?

— Имеются ли у вас вопросы по решению однородных уравнений?

Домашнее задание №18.11,18.12

— К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

— Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении тригонометрических уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

Краткое описание документа:

Урок по теме «Решение однородных тригонометрических уравнений» направлен на формирование умений и навыков в решении однородных тригонометрических уравнений.

В ходе урока обучающиеся решают тригонометрические уравнения разных видов и знакомятся с решением однородных тригонометрических уравнений.

Подобранные упражнения развивают познавательную активность обучающихся, позволяют им правильно делать выводы и обобщения, осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 924 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

§ 18. Тригонометрические уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 06.06.2019
• 231
• 2

• 29.05.2019
• 302
• 1

• 12.05.2019
• 324
• 2

• 27.03.2019
• 316
• 2

• 11.03.2019
• 1121
• 22

• 10.02.2019
• 337
• 0

• 10.02.2019
• 201
• 0

• 10.02.2019
• 223
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 06.06.2019 961
• DOCX 41.9 кбайт
• 126 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Заварыкина Наталья Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 2119
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.