Урок по решению тригонометрических уравнений и неравенств

Конспект урока «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Повторить теоретический материал по теме

«Тригонометрические функции», часто употребляемые формулы,

решение неравенств, уравнений, помочь учащимся проверить

свои знания по данной теме.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

МБОУ «Видновская СОШ №2», учитель: Волхонкина Е.А.

Цель урока: повторить теоретический материал по теме

«Тригонометрические функции», часто употребляемые формулы,

решение неравенств, уравнений, помочь учащимся проверить

свои знания по данной теме.

• В центре нашего внимания на уроке будет «Рабочая карта урока». Она есть у каждого из вас. Сюда вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. Одну из оценок поставит вам сосед по парте, одну учитель. А в конце урока подведете итог своей работе и выставите себе средний балл за урок, т.е. за усвоение темы «Тригонометрические функции».

Рабочая карта урока

(с/о- самооценка, о/т- оценка товарища, о/у- оценка учителя)

1. Проверка домашней работы.

• На доске вы видите элементы решения неравенств из домашней работы. Запишите получившиеся неравенства.

(Учащиеся объясняют решение неравенств с помощью единичной окружности, дают определения, проговаривают необходимые формулы)

• Вот мы и повторили решение неравенств. Те, кто выполнил домашнюю работу самостоятельно, во всем разобрался, поставьте себе «5», те, у кого появились трудности при выполнении работы или приходилось обращаться за помощью к другу – «4», если есть ошибки – «3», если работа не выполнена

• Следующий этап нашего урока – математический диктант. Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете писать одно из слов: «да» или «нет».

1. Является ли убывающей функция y=cos x?
2. Является ли четной функция y=sin x?
3. Верно ли, что cos 2 x- sin 2 x=1?
4. Верно ли, что arksin(-1/2)=-π/6?
5. Абсцисса точки, лежащей на единичной окружности. Называется синусом?
6. Верно ли, что косинус 6, 1 больше 0?
7. Верно ли, что область значения функции тангенс есть отрезок

1. Отношение синуса к косинусу – это тангенс?

(Ребята проверяют диктант вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя оценку себе в рабочую карту урока.)

1. Решение тригонометрических уравнений – тестовые задания.

• Герберт Спенсер, английский философ, говорил: «Дороги не те

знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».

Следующее задание – решить уравнения, применяя полученные знания, разгадать кодовое слово.

Решив тестовые задания, оцените себя, поменяйтесь работами, оцените товарища. Время ограничено – 10 минут.

Тест «Тригонометрические уравнения»

cos 2 x + 3sin x = 3

1. – π /2 + π n, n Z
2. π /2 + 2π n, n Z
3. π + π n, n Z
4. π + 2π n, n Z

sin x + cos x + 1+ sin x cos x = 0

7. π + 2 π n, n Z; – π /2 + 2π k, k Z

8. 2πn, n Z; π /2 + 2π k, k Z

9. π + π n, n Z; π /2 + π k, k Z

10. – π + π n, n Z; – π /2+ π k, k Z

sin x – cos x = 0

13. π /3 + 2π n, n Z

14. π /3 + π n, n Z

15. π /2 + 2π n, n Z

1. π /4 + π n, n Z
2. π /8 + π n/2, n Z
3. π /2 + 2π n, n Z
4. π /8 + 2π n, n Z

Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»

Разделы: Математика

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р_t1, другую точку – Р_t2.
4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
6. Определяем направление движения по дуге (от точки Р_t1 к точке Р_t2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
7. Находим координаты точек Р_t1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Р_t2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t₁и t_2.
8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

Этапы урока

Содержание

Организация класса на работу.

Проверка домашнего задания.

(Сбор тетрадей с домашней работой)

Формулировка цели урока.

– Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.

Устная работа.

(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)

Решить тригонометрические уравнения:

sinx = —, 2sinx =, sin2x = , sin(x – ) = 0, cosx = ,

cosx = —, cos2x = 1, tgx = -1.

Повторение.

– Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).

1) sinx —;

t₁ = arccos(-) = p – arccos =

= p – = ;

t_{2 = —};

— + 2p n t₂;

t₁ = arcsin = ;

t_{2 =} -p — = —;

+ 2p n 2 2x – 2cos2x 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) 0.

Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.

cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ: + p n 2 x – 5sinx + 1 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t, 1. 6t 2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),

Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z.

№3. sinx + cos2x> 1.

(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin 2 x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,

2p n 2 + () 2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.

Домашнее задание.

(Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).

1. cosx > sin 2 x;
2. 4sin2xcos2x 2 sin 2 – 0,5;
3. sinx + cosx > 1.

Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.

Подведение итогов, рефлексия.

– Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

– Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

– Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

(Оцениваю работу учащихся на уроке).

Самостоятельная работа
по результатам освоения материала

Вариант 1

Решите неравенства 1 – 3:

1. sin3x – 2 x + 3cosx > 0;
2. coscos2x – sinsin2x —.
3. Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx а имеет хотя бы одно решение.

Вариант 2

Решите неравенства 1 – 3:

1. 2cos> 1;
2. sin 2 x – 4sinx

Урок «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Модель урока на тему:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

в рамках реализации регионального компонента по математике

для учащихся 10 класса.

МОУ СОШ поселка Восход

1. Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», повторить основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

2. Развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность. Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

3. Воспитывать аккуратность записей, культуру речи, самостоятельность.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, приобретенных при изучении данной темы.

Методы обучения: системное обобщение, тестовая проверка уровня знаний, решение обобщающих задач.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер , мультимедийный проектор, бланки ответов, карточки с заданием, таблица формул корней тригонометрических уравнений.

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель, обращает внимание учащихся на раздаточный материал.

II . Контроль знаний учащихся

1) Устная работа (Задание проектируется на экран)

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;
е) .

2) Фронтальный опрос учащихся.

Какие уравнения называются тригонометрическими?

Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?

Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

Какие уравнения называются однородными?

Какие уравнения называются квадратными?

Какие уравнения называются неоднородными?

Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.

Введение новой переменной:

№ 1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0. №2. tg + 3ctg = 4.

Пусть sinx = t, |t|≤1, Пусть tg = z,

Имеем: 2 t ² – 5 t + 2 = 0. Имеем: z + = 4.

2 sinx cos 5 x – cos 5 x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

3. Однородные тригонометрические уравнения:

I степени II степени

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Разделим на cosx ≠ 0. 1) если а ≠ 0, разделим на cos ² x ≠ 0

Имеем : a tgx + b = 0; … имеем : a tg²x + b tgx + c = 0.

имеем: b sinx cosx + c cos ² x =0;…

4. Неоднородные тригонометрические уравнения:

Уравнения вида: asinx + bcosx = c

4 sinx + 3 cosx = 5.

(Показать два способа)

1)применение универсальной подстановки:

sinx = (2 tg x /2) / (1 + tg 2 x /2);

cosx = (1– tg 2 x /2) / (1 + tg 2 x /2);

2)введение вспомогательного аргумента:

4 sinx + 3 cosx = 5

Разделим обе части на 5:

4/5 sinx + 3/5 cosx = 1

Т. к. (4/5) 2 +(3/5) 2 = 1, то пусть 4/5 = sinφ ; 3/5= cosφ , где 0 φ π /2, тогда

sinφsinx + cosφcosx = 1

x – φ = 2 πn , n € Z

x = 2 πn + φ , n € Z

φ = arccos 3/5, значит, x = arcos 3/5 +2 πn , n € Z

Ответ: arccos 3/5 + 2 πn , n € Z

3)Решение уравнений с применением формул понижения степени.

4)Применение формул двойного и тройного аргументов.

a) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x +cos2x = cos6x

III . Выполнение тестового задания

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений.

Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.

Задание проектируется на экран.

Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:

1) приведение к квадратному;

2) приведение к однородному;

3) разложение на множители;

4) понижение степени;

5) преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

3 sin²x + cos²x = 1 — sinx cosx

4 со s²x — cosx – 1 = 0

2 sin² x / ₂ + cosx = 1

2 sinx cos5x – cos5x = 0

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x — cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11sin²x = 3

Вариант I Вариант II

IV . Повторение формул для решения уравнений

Формулы корней тригонометрических уравнений.

x = (-1) n arcsin a + πk,

x = ±arccos a + 2πk,

x = + 2πk , k є Z

x = arctg a + πk, k є Z

x = – + 2πk , k є Z

x = arcctg a + πk,k є Z

x = + πk , k є Z

x = π + 2πk , k є Z

Устная работа по решению простейших тригонометрических уравнений

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»

Карточки с заданиями раздаются на каждую парту, одна – на учительском столе для учеников, выходящих к доске.

№ 1. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения , удовлетворяющие условию ;

,

,

,

Найдем среднее арифметическое всех корней заданного уравнения из промежутка .

.

Ответ: а) .

№ 2 . Решите неравенство .

,

,

,

,

,

.

Ответ:

№ 3. Решите уравнение .

(Совместно определить метод решения задачи )

,

,

,

.

Оценим правую и левую части последнего равенства.

, следовательно, равенство выполняется тогда и только тогда, когда выполняется система

VI . Самостоятельная работа

Учитель выдает задания для самостоятельной работы. Карточки подготовлены по уровням сложности.

Более подготовленным учащимся можно дать карточки с задачами повышенного уровня сложности.

Учащимся 2-й группы учитель выдал карточки с заданиями базового уровня сложности.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены карточки с заданиями базового уровня сложности, но это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, они могут выполнять задания под контролем учителя.

Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение .

1. Решите уравнение .

2. Решить уравнение .

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

Задачи для домашней работы.

Укажите наименьший положительный корень уравнения .

Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций , .

Найдите область определения функции .

Решите уравнение .

Краткое описание документа:

Урок на тему: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» проводится в рамках реализации регионального компонента по математике для учащихся 10 класса.Урок нацелен на обобщение теоретических знаний по данной теме, на повторение основных методов решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 754 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 27.03.2014
• 806
• 0

• 27.03.2014
• 619
• 0

• 27.03.2014
• 783
• 0

• 27.03.2014
• 614
• 2

• 27.03.2014
• 1432
• 0

• 27.03.2014
• 2691
• 8

• 27.03.2014
• 842
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 28.03.2014 2830
• DOCX 206.8 кбайт
• 20 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Помыкалова Елена Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 7799
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.