Урок по теме логарифмические уравнения

Урок по теме: «Логарифмические уравнения»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Материал содержит разработку урока и презентацию

Скачать:

Вложение	Размер
konpekt_uroka.doc	175.5 КБ
prezentatsiya_k_uroku.ppt	966.5 КБ

Предварительный просмотр:

Конкурсный урок алгебры и начала математического анализа

Тема: Логарифмические уравнения

Класс: 11 МОУ «Гимназия №1»

Учитель: Умарова Г.К. МОУ «Кабаньевская СОШ»

-организовать деятельность учащихся по изучению новой темы;

— обеспечить закрепление новых понятий логарифмическое уравнение, методы решения логарифмических уравнений;

— научить учащихся решать логарифмические уравнения методом, основанным на определению логарифма, методом потенцирования;

— развивать умение анализировать, сопоставлять, делать выводы,синтезировать полученные знания и умения;

— воспитывать умение работать в парах; навык самооценки и взаимооценки.

Оборудование: мультимедийный проектор

Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный и очень нужный предмет. Наш урок я назвала уроком Красоты и гармонии. В вашем понимании, что такое красота? Что такое гармония?

Душой математики является красота и гармония. Я хочу, чтобы вы чувствовали эту красоту, и это чувство помогало вам в изучении такого замечательного предмета, как математика. О гармонии в математики, о ее красоте говорили очень многие. Об этом говорил и известный академик-геометр 20 века Александр Данилович Александров. Его слова является эпиграфом нашего урока:

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.

Эти слова я бы полностью отнесла к теме, которую мы с вами рассматриваем сегодня.

Что использовали для выполнения данного задания? (определение логарифма)

а) log 3 x = 4 (х=81)

б) ) log 3 (7х-9)=log 3 x (х= 1,5)

Как иначе сформулировать 3 задание? (решите уравнение)

А как вы думаете, какие это уравнения? (логарифмические)

Запишем тему урока: «Логарифмические уравнения»

Давайте сформулируем цели урока.

Можете сформулировать определение логарифмического уравнения?

Объяснение нового материала

Записать на доске, поясняя

log а f(x) = log a g(x), где а-положит. число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Посмотрим, как вы нашли корень 1 уравнения

Чем пользовались? (определением)

Итак, выделим первый метод решения логарифмических уравнений, основанный на определении логарифма.

Общий вид такого уравнения . Это уравнение может быть заменено равносильным ему уравнением .

Давайте оформим решение уравнения 2.

log 3 (7x – 9) = log 3 x

Применение формул потенцирования расширяет область определения уравнения. Поэтому необходима проверка корней. Проверим найденные корни по условиям 7х-9>0

Для решения данного уравнения мы использовали метод потенцирования . Этот метод применяется для уравнений вида и сводится к решению уравнения f(x)=g(x), х должен удовлетворять решению системы.

Мы рассмотрели с вами 2 метода решения логарифмических уравнений. Какие? (по определению, метод потенцирования)

Каким методом будем находить корень уравнения? (по определению)

А) 8 б) 1/7 в) 0,09 г) 4

№17 (а,б) с комментированием. Каким методом будем решать?

А) log 0,1 (x 2 +4x-20)=0 б) log 1/7 (x 2 +x-5)=- 1

x 2 +4x-20=0,1 0 x 2 +x-5=1/7 — 1

x 2 +4x-20=1 x 2 +x-5=7

x 2 +4x-21=0 x 2 +x-12=0

x 1 +x 2 = -4 x 1 +x 2 = -1

x 1 *x 2 =-21 x 1 *x 2 =-12

x 1 =-7, x 2 = 3 x 1 =-4, x 2 = 3

Каким методом будем решать? (потенцирования)

А) 3х-6=2х-3 б)14+4х=2х+2

х=3 2х= — 12, х= — 6. корней нет

Вам предложены уравнения. Ваша задача решить эти уравнения и соотнести ответы с соответствующей буквой. В результате должно получиться слово. Обращаю ваше внимание, что уравнения взяты из демоверсий ЕГЭ, задание В3.

Конспект урока по теме «Методы решения логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Методы решения логарифмических уравнений»

§ образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;

§ развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;

§ воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.

Тип урока : урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование : мультимедиа проектор, презентация к уроку.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».
Французский математик и астроном П.С. Лаплас

I. Постановка цели урока

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.

II. Актуализация опорных знаний

Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.

(Демонстрируется слайды с заданиями для устной работы).

1) При каких значениях х имеет смысл функция:

а)

б)

в)

д)

(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)

2) Совпадают ли графики функций?

а) y = x и

б) и

3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:

5) Вычислите :

III. Ознакомление с новым материалом

Демонстрируется на экране высказывание:

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. ( Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма ).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: logax = b (где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. ( Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х ). Из определения логарифма сразу следует, что аb является таким решением.

Запишите заголовок: Методы

1. По определению логарифма .

Так решаются простейшие уравнения вида .

Рассмотрим № 514(а ): Решить уравнение

Как вы предлагаете его решать? ( По определению логарифма )

Решение . , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать . Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим пример 2 (стр. 242) :

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны) . Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение 1 . ОДЗ:

Потенцируем исходное уравнение , получим уравнение 2x + 3 = х + 1. Решаем его: х = -2. Это решение не подходит ОДЗ, значит, данное уравнение корней не имеет.

Можно решить это уравнение иначе – переходом к равносильной системе :

Уравнение

(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Решение 2. Уравнение равносильно системе:

Эта система решений не имеет.

Есть еще один вариант решения – переход к следствию из данного уравнения. При неравносильных преобразованиях найденное решение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение .

Решение 3 . . Сделаем проверку: неверно, так как не имеет смысла.

Ответ: корней нет .

Вопрос классу : Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной .

Рассмотрим № 520(г) . .

Что вы заметили? ( Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение . ОДЗ: х > 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид:. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:.

Вернемся к замене: или .

Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:

; .

Ответ : 27;

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Решить уравнение:.

Решение : ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

. Применим свойство логарифма степени:

(lgx + 3) lgx =

Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4

, (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.

Вернемся к замене, получим: lgx = -4,; lgx = 1, .

Ответ : 0,0001; 10.

5. Приведение к одному основанию.

№ 523(в). Решите уравнение:

Решение: ОДЗ: х>0. Перейдем к основанию 3.

или ;.

6. Функционально-графический метод.

№ 509(г). Решить графически уравнение: = 3 – x.

Как вы предлагаете решать? (Строить по точкам графики двух функций у = log2x и y = 3 – x и искать абсциссу точек пересечения графиков) .

Посмотрите ваше решение на слайде .

Есть способ, позволяющий не строить графики . Он заключается в следующем : если одна из функций у = f(x)возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х .

Если корень имеется, то его можно угадать.

В нашем случае функция возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как .

IV. Первичное закрепление

«Правильному применению методов можно научиться,
только применяя их на различных примерах».
Датский историк математики Г. Г. Цейтен

Предложите метод решения уравнений:

1) № 520 (в).

2) № 514 (в) .

3) № 522 (а).

4) № 519 (в) .

5) № 509(в).

6) № 523(а).

V. Домашнее задание

П. 39 рассмотреть пример 3, решить № 514, № 520 (в).

VI. Подведение итогов урока

Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?

На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.

Демонстрируется последний слайд:

«Что есть больше всего на свете?
Пространство.
Что мудрее всего?
Время.
Что приятнее всего?
Достичь желаемого».
Фалес

Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание.

Урок-лекция по теме «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения»

Презентация к уроку

В моём календарно-тематическом планировании на тему “Логарифмические уравнения” отводится 3 часа. Я их разбиваю следующим образом:

1 возможный вариант:

1 урок — лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”. В конце лекции задаю блок уравнений обязательного уровня.

2 урок – решение уравнений различного типа и сложности (это зависит от уровня математической подготовки класса, использую индивидуальный подход).

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

2 возможный вариант:

1 урок — лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, но только два метода – на основании определения и потенцирования. Решение уравнений на применение этих методов.

2 урок – лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, два других метода – подстановки и логарифмирования. Решение уравнений на применение этих методов.

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

Вариант подачи темы зависит от подготовленности класса.

Лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”.

Эпиграфом своей сегодняшней лекции я привожу слова Ричарда Олдингтона (1892 – 1962гг., английский поэт, прозаик, критик): “Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, — всё, что может сделать учитель, это указать дорожки”.

А так же – русскую народную пословицу: “Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает”.

В самом начале моей лекции я хотела бы обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Здесь возможны два подхода:

Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.

Нахождение области допустимых значений уравнения (ОДЗ). Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.

В своей лекции я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится. Следует отметить, что при решении логарифмических неравенств возможен только один из них: ОДЗ!

Основные методы решения логарифмических уравнений.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Т. е.

Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:

при этом

Пример 1:

Число 16 удовлетворяет ОДЗ, значит 16 – корень исходного уравнения.

Пример 2:

Проверка: — верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.

Пример 3:

По определению логарифма значит

Ответ:

А сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид при этом Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Пример 4:

ОДЗ:.

С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.

Как мы видим, наличие выражения с переменной в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать, не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.

, где

Пример 5:

— верно.

— не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Если же в основании – выражение с переменной, то рассуждения не меняем! В этом случае уравнение будет иметь вид

, где

И пример такого уравнения можно разобрать на предыдущем примере 5.

Пример 6:

— верно.

— не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

ОДЗ для данного уравнения выглядит следующим образом:

Мы видим, что в этом уравнении рациональнее выполнить проверку, а не искать ОДЗ. Но ещё раз повторюсь, что при решении неравенств ОДЗ находить придётся ОБЯЗАТЕЛЬНО.

Рассмотрим пример, который, на первый взгляд, не может относиться к данному типу уравнений.

Пример7:

Сделаем замену , получим воспользовавшись свойством логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений: ), получим уравнение которое в свою очередь замечательно решается методом потенцирования, т.е. А это линейное уравнение, решив которое, получим

Проверка: — верно.

Замечу, что часто перед применением какого-либо метода решений, необходимо преобразовать уравнение, применив различные свойства логарифмов. Предыдущий пример, тому подтверждение.

Данный метод мы достаточно часто встречаем в математике, вспомните тригонометрические или показательные уравнения. Поэтому применение его при решении логарифмических уравнений я вам покажу на примере.

Пример 8: .

В этом уравнении рациональней найти ОДЗ:

Пусть , тогда уравнение примет вид

Значит или . А это уравнения, которые мы решим, используя определение: 1)

Мы видим, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Если в основании логарифма лежит выражение с переменной, то уравнение в общем виде будет выглядеть следующим образом:

, где

И опять, вы сами выбираете: ОДЗ или проверка.

Пример 9: .

ОДЗ:

Приведём логарифмы к одному основанию – 7, пользуясь свойством перехода к новому основанию , получим:

, выполним подстановку , получим уравнение

	или	.

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

Данный метод является “обратным” методу потенцирования, т. е. мы от уравнения без логарифмов переходим к уравнению, их содержащему.

, при этом

Этот метод обычно используется, если в уравнении есть показательные функции, логарифмы – в показателе. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 10:

ОДЗ:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

а теперь воспользуемся свойством логарифмов , получим

Выполним подстановку , получим уравнение

	или	.

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Этот пример показывает, что при решении логарифмических уравнений, возможна комбинация нескольких методов. А значит необходимо уметь пользоваться каждым из них. Научиться этому – теперь ваша задача.

Итак, сегодня мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений:

На основании определения логарифма.
Метод потенцирования.
Метод постановки.
Метод логарифмирования.

Главным, по моему мнению, является метод, основанный на определении логарифма. Практически в каждом их других методов происходит “выход” на него. Кроме того, на примерах мы увидели, что все методы взаимосвязаны, в “чистом” виде при решении уравнений не используется ни один из них. Поэтому вам необходимо уметь пользоваться КАЖДЫМ!

Для отработки навыков решения логарифмических уравнений, я вам предлагаю следующее домашнее задание. Уравнения являются базовыми, т. е. решать их должен уметь решать каждый. Отмечу, что подборка сделана из открытого банка заданий для экзамена по математике ЕГЭ http://mathege.ru .

№ п/п	Уравнения	Комментарии (даётся для слабых учащихся)
1		Пользуясь определением
2		Пользуясь определением
3		Потенциирование
4		Потенциирование
5		Потенциирование
6		Потенциирование
7		Применить свойства логарифмов и затем потенциировать
8		Применить свойства логарифмов и затем потенциировать
9		Пользуясь определением
10		Пользуясь определением, выход на показательное уравнение
11		Показательное уравнение, выход на логарифмическое