Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.
Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!
Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:
Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:
Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:
так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).
Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xn существует тождество :
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,
А значит имеет место равенство:
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. и преобразовываем в и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Два очевидных следствия определения логарифма
log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.
Свойства логарифмов
Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:
( формула перехода к новому основанию логарифмов ), | |||||||||||||||
Степень можно выносить за знак логарифмаИ вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример: log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x ) Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени. Логарифм произведения и логарифм частногоlog a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ. log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля. Преобразуя данное выражение в сумму log a f ( x ) + log a g ( x ) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6). Формула перехода к новому основаниюТот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной. Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8): log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) Сумма логарифмов. Разница логарифмовЛогарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно! Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя! Логарифмический ноль и логарифмическая единицаЭто следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор. Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице: loga a = 1 – это логарифмическая единица. Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1: loga 1 = 0 – логарифмический ноль. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерамиРешить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить. При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку! Давайте посмотрим, как это работает на примере: Воспользуемся определением логарифма и получим: Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда: Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения. Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ. Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений. Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так: Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере. Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2. Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: То есть в нашем случае: То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:
Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение: Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений. Разберем другой пример: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Вспоминаем свойства степеней: Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения. Еще один пример решения логарифмического уравнения: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант: Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения. Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень. Сравнение логарифмов
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
Вложение | Размер |
---|---|
konspekt_uroka.doc | 53.5 КБ |
slady_po_teme_logorifmy.ppt | 323.5 КБ |
Предварительный просмотр:
«Решение логарифмических уравнений». 11-й класс
Леухина Татьяна Николаевна учитель высшей категории
- систематизировать, обобщить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения логарифмических уравнений;
- обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приемами решения этих уравнений;
- развивать математическое мышление, способствовать развитию познавательного интереса средствами личностно ориентированной технологией обучения;
- воспитывать внимание, самостоятельность, трудолюбие, активность.
Оборудование: компьютерная презентация , карточки с заданиями для работы в группах по два человека, карточки с заданием составить слово.
I. Организация начала урока. Ознакомление учащихся с целью урока.
Сегодня на уроке мы продолжим рассматривать тему “Решение логарифмических уравнений”. (Слайд 1).
Цель нашего урока повторить приемы и методы решения логарифмических уравнений, закрепить изученный материал. Помните, что каждый урок – это подготовка к ЕГЭ по математике.
II. Устная работа.
1. Прочитайте выражение и найдите его значение. (Слайд 2).
2. Найдите х. (Слайд 3).
III. Работа с карточкой “Составить слово”. (Слайд 4).
Н) log5 ; П) log5log232;
Н) log7cos0; Ж) 41+log42;
Р) log35x = 0; Е) 3x = 6;
О) log4(1 – 3x) = 2; Е) log53log325.
Проверяем полученный результат. (Слайд 5).
IV. Историческая справка ( сообщение ученика) (Слайд №6, 7)
V. Повторение теоретического материала.
- Что называют логарифмическим уравнением? (Слайд 8)
- Сформулируйте теорему, которую применяют при решении логарифмических уравнений? (Слайд 9).
- Назовите методы решения логарифмических уравнений.
VI. Проверка домашнего задания по ответам.
Проверка уравнений по ответам.
Отвечаю на вопросы по домашней работе.
VII. Закрепление изученного материала.
1. Определите, каким методом можно решить каждое из перечисленных уравнений?
Функционально – графический метод, метод потенцирования, введение новой переменной, метод логарифмирования.
2. Эти уравнения два ученика решают у доски, а все ребята в тетрадях. Обсуждаем методы решения данных уравнений. Обращаем внимание на то, что некоторые уравнения можно решить несколькими способами.
3. Параллельно три группы по 2 человека работают по карточкам.
4. Через 5–7 минут из каждой группы один ученик выходит решать одно из трех предложенных уравнений. ( Слайд 11).
VΙ. Итог урока. Выставление оценок.
VΙΙ. Домашнее задание.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Прочитайте выражение и найдите его значение log 3 27 log 2 0,5 log π 1 log 7 cos 4 π log 1,2 tg45 ° 3 2 log 3 4 log 2 log 2 16
Найдите х: log 2 x = — 1; lg x = 2 ; log 1/3 x = -3 ; log x 36 = 2 ; log x 5 = 0 ; 2 х = 3.
Составьте слово Н ) log 5 ; П ) log 5 log 2 32; Н ) log 7 cos 0 ; Ж) 4 1+log 4 2 ; Р) log 3 5x = 0; Е ) 3 x = 6; О ) log 4 (1 – 3x) = 2; Е ) log 5 3 log 3 25 . Д ) 3 2log 3 5 ; 25 │ 8 │ -5 │1 /2 │ 0 │ log 3 6 │ 1 │ 2 │ 0,2│ ————————————————————- │ │ │ │ │ │ │ │ │
25 │ 8 │ -5 │1 /2 │ 0 │ log 3 6 │ 1 │ 2 │ 0,2│ ———————————————————— д │ ж │ о │ н │ н │ е │ п │ е │ р │
Джон Непер Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году, были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняя жизнь вычислителям». Джон Непер
Применение логарифмов Логарифмы широко используются в различных областях науки: Физика — интенсивность звука (децибелы), оценивается так же уровнем интенсивности по шкале децибел; Число децибел ,где 1 – интенсивность данного звука Астрономия – если известна видимая звездная величина и расстояние до объекта, можно вычислить абсолютную величину по формуле: Химия – водородный показатель, «pH», это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр: В музыке : в основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается логарифмами соответствующих частот: В сейсмологии : при вычислении магнитуды. Магнитуда землетрясения – величина, характеризующая энергию, выделившуюся при землетрясении в виде сейсмических волн.
Логарифмическое уравнение Определение. Логарифмическим уравнением называют уравнение вида log a f(x) = log a g(x), где а > 0, а ≠ 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Логарифмическое уравнение Теорема. Если f(x) > 0 и g(x) > 0 ,то логарифмическое уравнение log a f(x) = log a g(x) ( где а > 0, а ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).
Классификация логарифмических уравнений по методам решения lg(x 2 -4) = lg( 2 x-1); 3log 2 5 x — 5log 5 x+2=0; log 3 (6 – x) = log 3 (x -7 ) log 1/2 x = 2x – 5; X 1 –log 5 x = 0,04. Функционально – графический метод. Метод потенцирования. Метод введения новой переменной. Метод логарифмирования
Решите уравнения log 2 6 x + log 6 x + 14 = ( ) 2 + x 2 ; lg(x 2 +2x-4)+4 x +8 = 6 ·2 x +lg(x 2 +2x-4); │ log 2 x — 1│ = (2x +5)(log 2 x -1).
http://100urokov.ru/predmety/urok-9-uravneniya-logarifmicheskie
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/01/13/reshenie-logarifmicheskikh-uravneniy