Урок по теме решение однородных тригонометрических уравнений

Урок по теме «Однородные тригонометрические уравнения»

Разделы: Математика

2. Таблицы по тригонометрии:
а) основные формулы тригонометрии;
б) решение тригонометрических уравнений (частные случаи);
в) значения тригонометрических функций.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания, повторение изученного материала.
3. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
4. Усвоение новых знаний
5. Проверка понимания учащимися нового материала.
6. Закрепление нового материала.
7. Проверка усвоения нового материала.
8 Подведение итогов урока.
9. Домашнее задание.

1. Организационный момент.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке (рабочее место, организация внимания, настрой на работу).

2. Проверка домашнего задания.

Задача: установить правильность выполнения домашнего задания всеми учащимися;
установить пробелы в знаниях.

Проверка домашнего задания через проектор.

Повторение изученного материала. Установите соответствие:

Выписав буквы, соответствующие ответам, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Ребята прочитают слово “однородные”.

3. Подготовка учащихся к сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений

Учитель обращает внимание учащихся на проектор, где записаны тригонометрические уравнения, и предлагает учащимся назвать те уравнения, способы решения которых им известны.

cos 2 x – 2cosx = – 1

3sin 2 x – 5sinx – 2 = 0

2sinx – 3cosx = 0

(tgx – √3)(2sinx+1) = 0

sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Учащиеся внимательно смотрят. Затем поднимают руку, выбирают уравнение и объясняют, как они его будут решать. После этого, если к решению нет дополнений, то уравнение стирается. В результате проделанной работы остались уравнения, которые учащиеся затрудняются решить:

2sinx – 3cosx = 0

sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

4. Усвоение новых знаний.

Задача: дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, познакомить со способом их решения, уметь определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решений.

Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске: “Это однородные тригонометрические уравнения”, и предлагает учащимся записать тему урока: “Решение однородных тригонометрических уравнений”.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: а) 2sinx – 3cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим:

Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z .

Обратите внимание, делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0.Итк, рассуждаем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус не могут одновременно равняться нулю. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

• Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx ≠ 0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решают также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример: sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Учитель: Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

Ответ: Да, каждый.

Учитель: Какой мы можем сделать вывод?

Ответ: Это уравнение однородное.

Учитель: Как мы решаем такое уравнение?

Ответ: Мы делим обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0, т.к. sinx и cosx одновременно нулю равняться не могут.

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен 0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной.

Замена tgx = t . Тогда получаем уравнение

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin 2 x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени:

• Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x.
• Если член asin 2 x в уравнении содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos 2 x и последующим введение новой переменной.
• Если член asin 2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin 2 m x + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 решаются таким же способом.

5. Проверка понимания учащимися нового материала.

Задача: выяснить, как усвоен учащимися способ решения уравнений нового вида.

Через проектор даны уравнения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1. sinx = 2cosx – однородное.
2. √3sin3x – cos3x = 0 – однородное.
3. sin 2 x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное.
4. 2cos 2 x + 3sin 2 x + 2cosx = 0 – квадратное.
5. 6sin 2 x – cos 2 x – 5sinxcosx = 0 – однородное.
6. 2sinxcosx = 2 – по формуле синуса двойного угла.
7. 2 sin(3х-п/4)= 1 – простейшее.

6. Закрепление нового материала.

Задача: закрепить знания и умения, которые учащиеся получили на уроке.

Двое учащихся работают у доски.

7. Проверка усвоения нового материала.

Задача: проверить знания учащихся при решении уравнений, развить самоконтроль, взаимоконтроль.

Самостоятельная работа. Решить уравнения.

1. 2 cosx – √2 = 0
2. tg2x +1 = 0
3. 2cos 2 x – 3cosx +1 = 0
4. 3 sin 2 x + sinx cosx – 2 cos 2 x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются через проектор.

Решение самостоятельной работы.

Решено верно: 4 задания – “5”; 3 задания – “4”; 2задания – “3”1 задание – “2”.

8. Подведение итогов урока.

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?
2. Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

9.Домашнее задание. п.23, № 23.1 – 23.5(б), 23.8(а), 23.12 – 23.14(а).

1. А.Г. Мордкович, П. С. (2010). Алгебра и начала анализа 10 (Задачник). Москва: Мнемозина.
2. А.Г. Мордкович, П. С. (2010). Алгебра и начала анализа 10 (Учебник). Москва: Мнемозина.

Конспект урока по теме «Решение однородных тригонометрических уравнений» в 10 классе.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Заварыкина Наталья Николаевна,

Конспект урока по теме

«Решение однородных тригонометрических уравнений» в 10 классе.

Тип урока: комбинированный

обобщение знаний о тригонометрических уравнениях

формирование умений и навыков в решении однородных тригонометрических уравнений

умение решать все виды тригонометрических уравнений

развитие познавательного интереса, логического мышления, взаимосвязи математики с жизнью

развитие логического мышления, памяти, внимания

умение делать выводы и обобщения.

формировать интерес к данному предмету, содействовать воспитанию интереса к математике, особенно в условиях информатизации общества, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды

воспитание аккуратности, дисциплины, настойчивости, ответственного отношения к учебе

формирование умения осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль

I . Организационный момент.

— Добрый день, ребята!

Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях . С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами.

— Какие виды уравнений вы знаете?

— Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделал неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по- другому?

И сегодня вы узнаете еще больше о решении тригонометрических уравнений

-Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую разминку.

1.Нужно решить простейшие тригонометрические уравнения:

а) sin x =-1 б) cos x = в) tg x =-1 г) sin x =-

д ) cos x=- е ) tg x=4 ж ) sin x=-2 з ) cos x=

2. Перед вами уравнения, в течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу (в таблицу занести номер под которым стоит уравнение):

Разложение на множители

1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0;

3) 3tg 2 x + 2tg x — 1=0;

4) 2 cos 2 x + 9cos x +14=0;

6) 2sinx – 3cosx = 0

10) 3sin 2 x – 4sinx cosx + cos 2 x = 0;

12) 3cos 2 x – sinx – 1 =0;

13) 2 cos ( + 3 x ) – = 0.

III . Усвоение новых знаний

— Ребята, а какие уравнения остались без таблицы? (6,10)

— Как называются эти уравнения мы узнаем, разгадав кроссворд (на слайде появляется кроссворд)

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)

Единица измерения углов? (Радиан)

Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)

Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)

Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)

Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)

Как называется верное равенство? (Тождество)

Равенство с переменной? (Уравнение)

Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)

Множество корней уравнения ? (Решение)

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

— Это однородные тригонометрические уравнения.

— Запишите тему урока: « Решение однородных тригонометрических уравнений ».

На слайде появляется запись определения однородных тригонометрических уравнений, что это уравнения вида:

а sin x + b cos x = 0, a, b ≠ 0 и

a sin 2 x + b sin x cos x + k cos 2 x = 0, a, b, k ≠ 0

Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставим cos x = 0 , то получим, что sin x = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю).

Итак, рассмотрим решение уравнения:

2 sin x – 3 cos x = 0,

x = arctg1,5 + πn, n € Z

Ответ : x = arctg1,5 + πn, n € Z

— А теперь решим уравнение 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0;

Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.

— Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

— Какой мы можем сделать вывод?

— Это уравнение однородное.

— Как мы решаем такое уравнение?

— Мы делим обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0, так как косинус и синус не могут одновременно равняться нулю.

3sin 2 x – 4sinx cos x + cos 2 x = 0;

3tg 2 x – 4tgx + 1 = 0

Обозначим tg x = y

3 y 2 – 4 y + 1 = 0

x ₁ = arctg + πk , k € Z x ₂ = + πn , n € Z

Ответ: x ₁ = arctg + πk , k € Z , x ₂ = + πn , n € Z

На доске записаны уравнения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1. sin x = 2 cos x – однородное

2. sin 3 x – cos 3 x = 0 – однородное

3. sin 2 x – 2 sin x – 3 = 0 – квадратное

4. 2cos 2 x + 3sin 2 x + 2cos x = 0 – квадратное

5. 6sin 2 x – cos 2 x – 5sin x cos x = 0 – однородное

Решить у доски уравнения: sin 3 x – cos 3 x = 0

3x = arctg + πn, n € Z

Ответ : x = + , n € Z

2) 6sin 2 x – cos 2 x – 5sin x cos x = 0

6 tg 2 x – 1 – 5 tgx = 0

Обозначим tg x = y

6 y 2 – 5 y — 1 = 0

x ₁ = — arctg + πk , k € Z x ₂ = + πn , n € Z

Ответ: x ₁ = — arctg + πk , k € Z , x ₂ = + πn , n € Z

IV . Проверка усвоения нового материала.

а ) 3sin x – cos x = 0;

б ) cos2x + sin2x = 0;

в) 2 sin 2 x – 3 sinxcosx + cos 2 x = 0.

а ) sin x + 3cos x = 0,

sin5x + cos5x = 0

в ) 2sin 2 x + sinx cosx — 3cos 2 x = 0

По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их.

V . Подведение итогов.

— С каким видом уравнений познакомились?

— Как решаются эти уравнения?

-Что имеем после деления?

— Имеются ли у вас вопросы по решению однородных уравнений?

Домашнее задание №18.11,18.12

— К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

— Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении тригонометрических уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

Краткое описание документа:

Урок по теме «Решение однородных тригонометрических уравнений» направлен на формирование умений и навыков в решении однородных тригонометрических уравнений.

В ходе урока обучающиеся решают тригонометрические уравнения разных видов и знакомятся с решением однородных тригонометрических уравнений.

Подобранные упражнения развивают познавательную активность обучающихся, позволяют им правильно делать выводы и обобщения, осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 717 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М.

§ 18. Тригонометрические уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 06.06.2019
• 231
• 2

• 29.05.2019
• 302
• 1

• 12.05.2019
• 324
• 2

• 27.03.2019
• 316
• 2

• 11.03.2019
• 1121
• 22

• 10.02.2019
• 337
• 0

• 10.02.2019
• 201
• 0

• 10.02.2019
• 223
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 06.06.2019 962
• DOCX 41.9 кбайт
• 126 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Заварыкина Наталья Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 2120
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение однородных тригонометрических уравнений
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

конспект урока по алгебре для 10 класса

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений»

Цель урока: сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений, умение применять имеющиеся знания в измененной ситуации, делать вывод и обобщение.

I. Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

П.Этап проверки домашнего задания.

Задачи: установить правильность осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях; совершенствовать знания, умения и навыки учащихся в области решения тригонометрических уравнений.

1. Проверка домашнего задания у доски. Письменно решить:

1. Всему классу предлагается устный диктант.

-Что называется arcsin а?

-Чему равен arcsin (-а)?

-Чему равен arccos (-а)?

-Назовите формулу нахождения корней уравнения вида sin х = а.

-Назовите формулу нахождения корней уравнения вида cos х = а.

Проверка работы, выполненной на доске. (Тремя учащимися).

Выясняется, что учащиеся не поняли или не усвоили.

1. 2sin х cos х = 1;
2. cos 2 x – 5 cos x + 1 = 0

1. cos 2 x – sin 2 х = 1;
2. 2 sin 2 x – 3sin x – 2 = 2

* Предложить учащимся вариант 3 по выбору.

III. Этап подготовки учащихся к усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений.

Учитель: Назвать уравнения, которые вы знаете, каким способом можно решить.

В результате проделанной работы на доске остались уравнения, которые учащиеся затрудняются решить.

IY. Этап усвоения новых знаний.

Задачи: дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решения.

Учитель называет вид уравнений, оставшихся на доске, и предлагает учащимся записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».

Вывешивается плакат, на котором написано определение однородных тригонометрических уравнений вида

asin х + bcos х = 0, где а = 0, b = 0.

asin 2 х + bsin х cos х + с cos 2 x = 0, где а = 0, b = 0, с = 0.

Учитель решает уравнение 2sin х — 3cos х = 0 на доске, подробно объясняя ход действий.

Учитель записывает на доске следующее уравнение:

3sin 2 х — 4 sin х cos х + cos 2 x = 0

и с помощью вопросов подключает учащихся к активной работе.

Y. Этап проверки понимания учащимися нового материала.

Задача: установить, усвоили ли учащиеся способ решения нового вида уравнений. Определите вид уравнения и укажите способ его решения:

sin х = 2 cos х; 2 sin х + cos х = 2;

sin х + cosх = 0; 1 + 7 cos 2 x + 3 sin 2 x = 0

4 cos 3 x + 5sin 3x = 0; sin 3x – cos 3x = 0.

Учащиеся называют вид уравнения и объясняют, как его можно решить.

YI. Этап закрепления нового материала.

Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке для выполнения письменной работы.

Учитель предлагает решить на доске уравнения.

1 ученик решает уравнение с полным объяснением.

sin 3x – cos 3x = 0.

2 ученик решает уравнение без объяснения.

2sin х + cos х = 2.

YII. Этап проверки знаний.

Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении всех видов тригонометрических уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю. Учащимся предлагается выполнить письменную работу.

Самостоятельная работа (на 6 минут).

cos 2х + sin 2х = 0

sin 5х + cos 5х = 0

1+7 cos 2 х = 3 sin 2 х.

По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами для проверки работ друг у друга. Учащиеся берут простой карандаш, проверяют письменные работы и записывают фамилию проверяющего. На проверку отводится 3 минуты.

Работы сдаются учителю.

YIII. Этап информации учащихся о домашнем задании.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание. Дать краткий инструктаж по его выполнению.

Упражнение №№ 247(2, 4), 259 (2,4) выполнить всем.

Упражнение №№ 257, 287 выполняют сильные учащиеся.

Итог урока: (с помощью устных вопросов).

• С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
• Как решаются эти уравнения?

Затем учитель отмечает хорошую работу одних и недостаточную работу (активность) других учащихся, выставляет оценки за работу у доски; за устные ответы.