Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- что такое система тригонометрических уравнений;
- как решать системы тригонометрических уравнений;
- какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.
Глоссарий по теме
Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Записывается с помощью знака <
– система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.
Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.
Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основными методами решения систем уравнений являются:
— метод замены переменной.
Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.
Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.
При решении этой системы можно действовать по-разному:
1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)
2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:
.
Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:
, то есть и должны быть одного знака.
.
Теперь введем новые переменные:
, (*) и решим вспомогательную систему:
.
Решим ее методом подстановки.
.
.
. Вернемся к исходным переменным.
,
.
С учетом условия получим две системы:
или
Ответ:
Или
Рассмотрим еще один пример.
С учетом области определения уравнений преобразуем каждое уравнение:
.
Теперь сложим эти уравнение, оставив в системе, например, первое уравнение:
,
,
.
Теперь выразим из второго уравнения y:
,
,
,
,
,
,
.
Ответ: .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Решите систему уравнений:
Введем новые переменные: .
Тогда вспомогательная система будет иметь вид:
.
,
или
.
Получаем четыре пары решений для вспомогательной системы:
; ; ; .
Так как , то решение имеет только первая система: .
.
Решите систему уравнений: .
Пусть .
Система примет вид: , то есть мы получили простую линейную систему.
Ее можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения:
,
,
,
,
.
Ответ:.
урок по теме «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
otkrytyy_urok.docx | 66.29 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема урока : Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений (2ч)
- Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля усвоения знаний и умений.
- Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
- Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.
1. Организационный момент
2. Систематизация теоретического материала
1 ) Вопросы проецируются на экран, учащиеся письменно отвечают на вопросы. После окончания работы, ответы собираются. Затем демонстрируются правильные ответы, учащиеся отмечают на листочках неправильные шаги, которые обсуждаются с учителем
- Каково будет решение уравнения при ( при )?
- При каком значении а уравнение () имеет решение?
- Какой формулой выражается это решение?
- На какой оси откладывается значение а при решении уравнения ( )?
- В каком промежутке находится ()?
- В каком промежутке находится значение а?
- Чему равняется ()?
- В каком промежутке находится ()?
- Какой формулой выражается решение уравнения ()?
Учащиеся решают парами с последующим обсуждением
4. Классификация тригонометрических уравнений
Составление таблицы по методам решения тригонометрических уравнений. Учащимся предлагается решить уравнения (по вариантам) предварительно определив, что это за уравнение и каким методом оно решается. У доски данную работу выполняет один ученик – решение уравнения одного варианта. Учащиеся в тетрадях выполняют работу другого варианта
План урока по математике на тему Решение систем тригонометрических уравнении (10 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Раздел: 10.2 A Тригонометрические уравнения
НИШ ХБН г. Атырау
ФИО учителя: Адилгалиева Ж.С
Методы решения тригонометрических уравнении и их систем
Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)
10.2.3.16. уметь решать системы тригонометрических уравнений
сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения систем тригонометрических уравнений;
сформировать умения классифицировать по методам решений, применять эти методы в новой ситуации .
Учащиеся достиг цели, если
умеет решать тригонометрические уравнения методом разложения на множители.
объяснять решение тригонометрических уравнений;
Лексика и терминология:
арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа;
обратно тригонометрические функции;
частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений;
однородное тригонометрическое уравнение.
Серия полезных фраз для диалога/письма:
однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на …;
простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида … ;
Умение учиться, добывать самостоятельно информацию, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, работать в команде, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время
Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.
У учащихся закладываются базовые знания решения тригонометрических уравнений.
Навыки использования ИКТ
Использование интерактивной доски в качестве демонстрационного средства и средства записи.
Знают, как решать простейшие тригонометрические уравнения
Урок применения знаний в комплексе.
Запланированные этапы урока
Запланированная деятельность на уроке
Проверочная работа с целью восприятия нового материала
Работа в группах
Повторение пройденного материала.
Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).
Учитель: «Сегодня у нас очередной урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.
Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».
Вопросы к классу:
1). Какое уравнение называется тригонометрическим?
2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?
3). Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?
Учитель обращается к учащимся:
«Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений»
Введение новой переменной.
Разложение на множители.
Деление обеих частей уравнения на cos ( mx ) для однородных уравнений первой степени.
Деление обеих частей уравнения на cos 2 ( mx ) для однородных уравнений второй степени.
Метод предварительного преобразования с помощью формул
Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает каким рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению .
Время на решение 15-20 минут.
1 группа готовит решение уравнения а),
2 группа-уравнение б)
3 группа –уравнение в)
4 группа –уравнение г)
«А по пятому уравнению д) попрошу обратить внимание группе учащихся» (можно разделить 2 –м учащимся решить одним из прилагаемых способов, а второй группке-другим способом). Если не успевают на уроке –задать на дом, с последующим объяснением на уроках
Математическая эстафета «Кто быстрее?»
Каждая группа получает карточки с уравнениями, они- находятся в файлах, на столах. Решив уравнение, один из учащихся группы выходит, изначально записывает ответ на доске, а потом проверяет решение со слайда.
Карточка с уравнениями (на столах- карточки без ответов)
а ) sin 2 x + 4cos x = 2,75;
б ) tg x + 3ctg x = 4;
в) 2 sin х · cos х — cos 2 x = 0;
г) 5 sin 2 x + sin х · cos х – 2 cos 2 x = 2.
(Решение показать на доске, желательно несколькими способами
ФО критерии оценивания: умеет решать простейшие тригонометрические уравнения
Объяснение новой темы
Повторение сведений о методах решения систем алгебраических уравнений
1. Решите систему уравнений (методом добавления).
Ответ: (5; 3).
2. Решите систему уравнений.
Восприятия и осознания материала о решение систем тригонометрических уравнений
Основные методы решения систем тригонометрических уравнений почти такие, как и методы решения алгебраических систем.
Пример 1. Решить систему уравнений:
Прибавив и вычтя (1) и (2) уравнение, получаем
Ответ: х = (-1) + π n , n Z; у = ± + 2 nk , k Z .
Пример 2. Решите систему уравнений:
.
Из первого уравнения находим у = n — х.
Тогда cos х – cos ( n — х) = 1, cos х + cos х = 1,
2 cos х = 1, cos х = , х = ± +2 π n , n Z.
Затем находим: y= π — = ± + (1 — 2n) π , п Z.
Ответ: х = ± + 2 π п, у = ± + (1 — 2п) π , где n Z .
Пример 3. Решите систему уравнений:
Ответ: х = ( k + n ), y = ( k — n ), где n , k Z.
а) б)
Ответ: а) х= — π n , у = π n , n Z ;
б) х= (-1) k + nk , в = (-1) k +1 + n (1 — k ), k Z.
Формирование умений решать системы тригонометрических уравнений
Работа в группе
Решить систему уравнений:
а)
б)
в)
г)
Ответы: а) x 1 = + 2π k , y 1 = — 2π k , х2 = + 2π k , y 2 = — — 2π k , k Z .
б) х = ± + 2π k , y = π n где n Z , k Z .
в) х = + 2π k , у = + π n , где n Z , k Z.
г) х = — + π( n + k), n , k Z, у = — + n ( k — n ), n , k Z.
ФО критерии оценивания:
умеет решать системы тригонометрических уравнении
Было ли тебе интересно на уроке?
Сумел ли ты приобрести новые знания и умения на уроке?
Сумел ли ты применить свои знания?
Какой отметкой ты бы оценил свою работу на уроке?
Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?
Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?
Здоровье и соблюдение техники безопасности
Рефлексия по уроку
Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?
Все ли учащиеся достигли ЦО?
Если нет, то почему?
Правильно ли проведена дифференциация на уроке?
Выдержаны ли были временные этапы урока?
Какие отступления были от плана урока и почему?
Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.
Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?
Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?
Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/03/04/urok-po-teme-primery-resheniya-trigonometricheskikh-uravneniy-i
http://infourok.ru/plan-uroka-po-matematike-na-temu-reshenie-sistem-trigonometricheskih-uravnenii-klass-2213368.html