Урок по теме уравнение прямой на плоскости

Геометрия. 9 класс

Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х₁; у₁) ∈ L → y₁ = f (x₁)
N (х₂; у₂) ∉ L → y₂ ≠ f (x₂)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x₀ и y₀, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC₂ = r₂.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x — x₀) 2 + (y — y₀) 2 = r 2 имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС₂ = АB₂, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

План занятия «Уравнение прямой на плоскости»

Просмотр содержимого документа
«План занятия «Уравнение прямой на плоскости»»

Министерство образования Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский региональный многопрофильный колледж»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ ПО ТЕМЕ

«УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ»

ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ

09.02.03 Программирование в компьютерных сетях

Иванова Владлена Сергеевна

Методическая разработка занятия

Специальность: 09.02.03 Программирование в компьютерных сетях

Преподаватель: Иванова Владлена Сергеевна

Дисциплина: ЕН.01 Элементы высшей математики

Наименование раздела: Элементы аналитической геометрии

Тема занятия: Уравнения прямой на плоскости

Вид: Практическое занятие

Тип занятия: Повторение и закрепление

Цель занятие: составить различные виды уравнений прямой на плоскости.

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Требования к умениям (практическому опыту): студент должен уметь составлять уравнения прямой на плоскости следующих видов: общее уравнение прямой; уравнение прямой в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение в канонической форме; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; параметрические уравнения; нормальное уравнение. Разработать алгоритм составления уравнения прямой на плоскости.

Цели самостоятельной работы: формирование умения продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности.

Фронтальная работа (работа в группах и индивидуально)

Обсуждение деталей схематического изображения

Методы и приемы обучения: словесные, наглядные, информационные, компьютерные, объяснительно-иллюстративные, метод алгоритмических предписаний, мозговой штурм, прием «Ромашка Блума», рефлексия, прием из кинезиологического комплекса «Зеркальное рисование».

карточки для самостоятельной работы;

задания для выполнения на уроке;

задания для самопроверки;

Организационный момент (5 мин.)

Взаимные приветствия преподавателя и студентов; фиксация отсутствующих в учебном журнале; проверка внешнего состояния кабинета.

Проверка подготовленности студентов к занятию, их настроя на работу. Инструктирование по работе с оценочным листом (в котором в ходе работы оценивается работа каждой пары (за каждый правильный ответ студент получает наклейку «лайк». Оценка ставится паре, набравшей необходимое количество «лайков». 3 наклейки – удовлетворительно, 4 наклейки – хорошо, 6 наклеек – отлично)

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

1.Актуализация опорных знаний (35 мин.)

ЗАДАНИЕ №1. (Время выполнения – 5 мин.)

Закрепление знаний предыдущей темы «Основы алгебры векторов» с использованием приема – поиск соответствий.

Правильно соотнести определение и формулу: орт; модуль (длина) вектора; скалярное произведение векторов.

ЗАДАНИЕ №2. (Время выполнения – 15 мин.)

Повторение основных понятий лекции «Уравнения прямой на плоскости» с использованием приема «Ромашка Блума» (Студенты работают в парах. За каждый правильный ответ пара получает по «лайку»)

1 лепесток: Что мы изучили на прошлой лекции? Что называют уравнением прямой на плоскости?

2 лепесток: Какие именно виды уравнений прямой на плоскости мы изучили?

3 лепесток: Почему нормальное уравнение прямой так называется?

4 лепесток: Всегда ли общее уравнение прямой на плоскости проходит через начало координат?

5 лепесток: Что будет, если общее уравнение прямой на плоскости разделить на –С?

6лепесток: Как вы найдете расстояние от точки до прямой?

ЗАДАНИЕ №3. (Время выполнения – 3 мин.)

Проведение упражнения из кинезиологического комплекса «Зеркальное рисование».

Необходимо положить на стол чистый лист бумаги. Студенты рисуют одновременно обеими руками зеркально-симметричные рисунки (квадраты, треугольники, горизонтальные линии), буквы. При выполнении этого упражнения они почувствуют, как расслабляются глаза и руки. Когда деятельность обоих полушарий синхронизируется, заметно увеличится эффективность работы всего мозга.

Прослушать подготовленное студентами мини-сообщение на тему:

взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые.

Решить задачу: сторона АС треугольника АВС параллельно плоскости а, а его стороны пересекают плоскость в точках M и N. Доказать, что треугольник АВС и MBN подобны.

2.Решение практических задач (Время выполнения – 42 мин.)

Игра «Моя геометрия». Алгоритм игры:

На экране появляется таблица (9 ячеек) с разной «стоимостью» задания (1 «лайк», 2 «лайка», 3 «лайка»)

Студенты выбирают «стоимость» и получают задание, которое нужно решить.

Если задание было решение у доски в полной мере, студент получает определенное количество лайков.

1 лайк (Составить общее уравнение прямой на плоскости)

3 лайка (Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки

3 лайка (Составить уравнение в параметрической форме)

2 лайка (Составить уравнение прямой в отрезках)

1 лайк (Составить неполное уравнение общей прямой)

2 лайка (Составить уравнение с угловым коэффициентом)

3 лайка (Составить уравнение прямой в каноничной форме)

3 лайка (Составить нормальное уравнение в прямой)

1 лайк (Найти расстояние между прямой и точкой)

Разработка урока по теме «Уравнение прямой на плоскости»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Здравствуйте ребята. Тема нашего урока «Уравнение прямой». (слайд 1)

На прошлом уроке мы с вами доказали, что уравнение прямой в аналитической геометрии имеет следующий вид: ах + b у + с = 0 , где а, b , с – некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю.

И сегодня мы с вами рассмотрим различные способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости.

Начнем мы наш урок с устной работы на повторение.

Задание 1: (слайд 2)

На координатной плоскости изображены графики следующих функций. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

Задание 2: «Определите знаки коэффициентов k и b в уравнении прямой у = кх + b ». (слайд 3)

Рис. 1: k > 0, прямая возрастает; b b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

А как связаны между собой знак коэффициента k и угол наклона между прямой и положительным направлением оси абсцисс?

В зависимости от значений а, b , с возможны следующие случаи:

Определите положение прямой на координатной плоскости, если:

а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. (проходит через начало координат)

а = 0, b ≠ 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси абсцисс)

а ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси ординат)

а ≠ 0, b = с = 0. (прямая совпадает с осью ординат)

а = с = 0, b ≠ 0. (прямая совпадает с осью абсцисс)

Задание 4: (слайд 5) На координатной плоскости изображена прямая, заданная уравнением 2х + у – 3 = 0, и векторы.

Выберите среди векторов направляющие векторы и нормальные векторы.:

По данному уравнению прямой определите координаты нормального вектора этой прямой: .

Мы посмотрели с вами, как они выглядят. Сколько можно провести нормальных векторов к этой прямой?

Хорошо, мы продолжаем наш урок.

3. Изучение нового материала.

На последнем уроке вам было дано задание найти все возможные формулы, задающие прямую на плоскости. И мне очень интересно узнать, к чему привели ваши поиски.

Итак, я предлагаю пополнить наш список уравнений, задающих прямую на плоскости: (первые два уравнения учитель записывает на доске, далее продолжают ученики)

ах + b у + с = 0 , где а, b , с – некоторые числа, причем а ≠ 0 или b ≠ 0.

А теперь вам предоставляю возможность продолжить список.

Если прямая проходит через точки А (х ₁ ; у ₁ ) и В (х ₂ ; у ₂ ) , то уравнение выглядит так: .

Я предлагаю такой способ задания прямой: «Если прямая проходит через точку А (х ₀ ; у ₀ ) и — направляющий вектор, то уравнение прямой имеет вид: ».

А я могу составить уравнение прямой можно составить через вектор нормали: «Если прямая проходит через точку А (х ₀ ; у ₀ ) и — нормальный вектор, то уравнение имеет вид: n ₁ (х – х ₀ ) + n ₂ (у – у ₀ ) = 0».

У кого-нибудь есть другие варианты?

Спасибо, вы нашли много уравнений, которые задают прямую на плоскости. Это, конечно же, не все уравнения. С остальными вы сможете познакомиться в ВУЗах.

А теперь я предлагаю вам решить следующие задачи, выбрав наиболее рациональную формулу:

Задача 1: Даны вершины треугольника A (- 3; 1), B (1; 5), C (3; 1).

а) Составить уравнение прямой, содержащей медиану АМ.

б) Составить уравнение прямой, содержащей среднюю линию, параллельно АС.

в) Составить уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно к медиане АМ.

а) Точка М – середина стороны ВС. Найдем ее координаты:

; М (2; 3).

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Воспользуемся формулой (3): .

;

;

;

;

Ответ: 2х – 5у + 11 = 0.

б) Искомая прямая, параллельная прямой АС, будет проходить через точку М, так как т. М – середина ВС. Для составления уравнения этой прямой, содержащей среднюю линию, воспользуемся формулой (4): , где — направляющий вектор.

Составим уравнение прямой АС: у = 1 – прямая, параллельная оси Ох.

Определим координаты направляющего вектора: .

р ₂ = 0. Что же делать? Ведь на ноль делить нельзя.

В этом случае формулу (4) можно записать в ином виде: р ₂ (х – х ₀ ) = р ₁ (у – у ₀ ).

Подставим координаты вектора и точки М в это уравнение и получим:

0 ∙ (х – 2) = — 1∙ (у — 3);

у = 3 – уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника.

в) А теперь составим уравнение прямой, проходящей через точку В (1; 5) перпендикулярно медиане АМ.

2х – 5у + 11 = 0 – уравнение прямой, содержащей медиану АМ.

Определим координаты направляющего вектора прямой АМ: .

Направляющий вектор прямой АМ является нормальным вектором для искомой прямой, т. е. .

Воспользуемся формулой (5): n ₁ (х – х ₀ ) + n ₂ (у – у ₀ ) = 0.

5(х — 1) + 2(у — 2) = 0;

5х – 5 + 2у – 4 = 0;

5х + 2у – 9 = 0 – уравнение искомой прямой.

Ответ: 5х + 2у – 9 = 0.

Задача 2: Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой. Запишите уравнение этой прямой, если А (-2; 3 ), В (2; 1).

а – ось симметрии, так как точки А и В симметричны относительно прямой а .

Найдем координаты точки С:

; С (0; 2).

Вектор – нормальный вектор прямой а .

Найдем его координаты: .

Воспользуемся формулой (5): n ₁ (х – х ₀ ) + n ₂ (у – у ₀ ) = 0.

4 (х — 0) — 2(у — 2) = 0;

2х – у + 2 = 0 – уравнение прямой а .

Ответ: 2х – у + 2 = 0.

Хорошо, с задачами вы справились.

Сегодня на уроке мы с вами познакомились с новыми формулами, которые вы можете в дальнейшем использовать при решении задач.

Дома я предлагаю решить задачи, чтобы потренироваться в применении этих формул.

Вершина треугольника АВС имеют координаты: А (- 7; 5), В (3; — 1), С (5; 3).

а) Составьте уравнения прямых АВ, ВС и АС.

б) Составьте уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

в) Составьте уравнения прямых, содержащих средние линии треугольника.