Урок по теме уравнение с двумя переменными

Тема урока: «Уравнение с двумя переменными и его график»

Разделы: Математика

ЦЕЛЬ:1) Познакомить учащихся с понятием «уравнение с двумя переменными»;

2) Научить определять степень уравнения с двумя переменными;

3) Научить определять по заданной функции, какая фигура является графиком

4) Рассмотреть преобразования графиков с двумя переменными;

5) Учить учащихся «читать» графики и выполнять построение графиков по

заданному уравнению с двумя переменными, используя программу Agrapher ;

6) Развивать логическое мышление учащихся.

I.Новый материал — объяснительная лекция с элементами беседы.

(лекция проводится с использованием авторских слайдов; построение графиков выполнено в программе Agrapher)

У: При изучении линий возникают две задачи:

По геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение;

Обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства.

Первую задачу мы рассматривали в курсе геометрии применительно к окружности и прямой.

Сегодня мы будем рассматривать обратную задачу.

Рассмотрим уравнения вида:

– это примеры уравнений с двумя переменными.

Уравнения с двумя переменными х и у имеет вид f(x,y)= (x,y), где f и – выражения с переменными х и у.

Если в уравнении х(х-у)=4 подставить вместо переменной х её значение -1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: 1*(-1-3)=4,

Пара (-1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения х(х-у)=4.

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными имеет, как правило, бесконечно много решений. Исключения составляют, например, такие уравнения, как х 2 +( у 2 — 4 ) 2 = 0 или

Первое из них имеет два решения (0; -2) и (0; 2), второе – одно решение (0;0).

Уравнение х 4 + у 4 +3 = 0 вообще не имеет решений. Представляет интерес, когда значениями переменных в уравнении служат целые числа. Решая такие уравнения с двумя переменными, находят пары целых чисел. В таких случаях говорят, что уравнения решено в целых числах.

Два уравнения, имеющие одно и тоже множество решений, называют равносильными уравнениями. Например, уравнение х(х + у 2 ) = х + 1 есть уравнение третьей степени, так как его можно преобразовать в уравнение ху 2 + х 2 — х-1 = 0, правая часть которого – многочлен стандартного вида третьей степени.

Степенью уравнения с двумя переменными, представленного в виде F(х, у) = 0, где F(х,у)-многочлен стандартного вида, называют степень многочлена F(х, у).

Если все решения уравнения с двумя переменными изобразить точками в координатной плоскости, то получится график уравнения с двумя переменными.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения.

Так, график уравнения ax + by + c = 0 представляет собой прямую, если хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю(рис.1). Если a = b = c = 0, то графиком этого уравнения является координатная плоскость(рис.2), если же a = b = 0, а c0, то графиком является пустое множество(рис.3).

График уравнения y = a х 2 + by + c представляет собой параболу(рис.4), график уравнения xy=k (k0 ) – гиперболу(рис.5). Графиком уравнения х 2 + у 2 = r, где x и y – переменные, r – положительное число, является окружность с центром в начале координат и радиусом равным r(рис.6). Графиком уравнения является эллипс, где a и b – большая и малая полуоси эллипса (рис.7).

Построение графиков некоторых уравнений облегчается использованием их преобразований. Рассмотрим преобразования графиков уравнений с двумя переменными и сформулируем правила, по которым выполняются простейшие преобразования графиков уравнений

1) График уравнения F (-x, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси у.

2) График уравнения F (x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси х.

3) График уравнения F (-x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью центральной симметрии относительно начала координат.

4) График уравнения F (x-а, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения параллельно оси х на |a| единиц (вправо, если a > 0, и влево, если а 0, и вниз, если b 1, и с помощью растяжения от оси у в раз, если 0 1, и с помощью растяжения от оси x в раз, если 0 0 и 45 0 .

8) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F (-y, x) = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F (y, -x) = 0.

9) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 45 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F = 0.

Из рассмотренных нами правил преобразования графиков уравнений с двумя переменными легко получаются правила преобразования графиков функций.

Пример 1. Покажем, что графиком уравнения х 2 + у 2 + 2х – 8у + 8 = 0 является окружность (рис.17).

Преобразуем уравнение следующим образом:

1) сгруппируем слагаемые, содержащие переменную х и содержащие переменную у, и представим каждую группу слагаемых в виде полного квадрата трехчлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2*4*у + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) запишем в виде квадрата суммы (разности) двух выражений полученные трехчлены: (х + 1) 2 + (у – 4) 2 — 9 = 0;

3) проанализируем, согласно правилам преобразования графиков уравнений с двумя переменными, уравнение (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2 : графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (-1; 4) и радиусом 3 единицы.

Пример 2. Построим график уравнения х 2 + 4у 2 = 9.

Представим 4у 2 в виде (2у) 2 , получим уравнение х 2 + (2у) 2 = 9, график которого можно получить из окружности х 2 + у 2 = 9 сжатием к оси х в 2 раза.

Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единицы.

Уменьшим в 2 раза расстояние каждой её точки от оси Х, получим график уравнения

Мы получили фигуру с помощью сжатия окружности к одному из её диаметров(к диаметру, который лежит на на оси Х). Такую фигуру называют эллипсом (рис.18).

Пример 3. Выясним, что представляет собой график уравнения х 2 — у 2 = 8.

Воспользуемся формулой F= 0.

Подставим в данное уравнение вместо Х и вместо У, получим:

У: Что представляет собой график уравнения у = ?

Д: Графиком уравнения у = является гипербола.

У: Мы преобразовали уравнение вида х 2 — у 2 = 8 в уравнение у = .

Какая линия будет являться графиком данного уравнения?

Д: Значит, и графиком уравнения х 2 — у 2 = 8 является гипербола.

У: Какие прямые являются асимптотами гиперболы у = .

Д: Асимптотами гиперболы у = являются прямые у = 0 и х = 0.

У: При выполненном повороте эти прямые перейдут в прямые = 0 и =0, т.е в прямые у = х и у = — х. (рис.19).

Пример 4 : Выясним, какой вид примет уравнение у = х 2 параболы при повороте около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке.

Используя формулу F (-у; х) = 0, заменим в уравнении у = х 2 переменную х на – у, а переменную у на х. Получим уравнение х = (-у) 2 , т. е. х = у 2 (рис.20).

Мы рассмотрели примеры графиков уравнений второй степени с двумя переменными и выяснили, что графиками таких уравнений могут быть парабола, гипербола, эллипс (в частности окружность). Кроме того, графиком уравнения второй степени может являться пара прямых (пересекающихся или параллельных).Это так называемый вырожденный случай. Так графиком уравнения х 2 — у 2 = 0 является пара пересекающихся прямых (рис.21а), а графиком уравнения х 2 — 5х + 6 + 0у = 0- параллельных прямых.

(учащимся выдаются «Карточки-инструкции» по выполнению построений графиков уравнений с двумя переменными в программе Agrapher (Приложение 2) и карточки «Практическое задание» (Приложение 3) с формулировкой заданий 1-8 Графики уравнений к заданиям 4-5 учитель демонстрирует на слайдах).

Задание1. Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4) и (-1; —) являются решениями уравнения:

а) х 2 — у 2 = 0, б) х 3 — 1 = х 2 у + 6у ?

Подставив в заданное уравнение, поочерёдно координаты данных точек убеждаемся, что ни одна данная пара не является решением уравнения х 2 — у 2 = 0, а решениями уравнения х 3 — 1 = х 2 у + 6у являются пары (5;4), (1;0) и (-1; —).

Ответ:

125 — 1 = 100 + 24 (И)

-125 – 1 =-100 – 24 (Л)

-1 – 1 = — — (И)

Ответ: а); б) (5;4), (1; 0), (-1; —).

Задание 2. Найдите такие решения уравнения ху 2 — х 2 у = 12, в которых значение х равно 3.

Решение: 1)Подставим вместо Х в заданное уравнение значение 3.

2)Получим квадратное уравнение относительно переменной У, имеющее вид:

4) Решим это уравнение:

3у 2 — 9у – 12 = 0

Д = 81 + 144 = 225

Ответ: пары (3;4) и (3;-1) являются решениями уравнения ху 2 — х 2 у = 12

Задание3. Определите степень уравнения:

а) 2у 2 — 3х 3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х)(4х — у 2 ) = х;

б) 5у 2 — 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у — х 2 ) 2 = х(х 2 + 4ху + 1).

Ответ: а) 3; б) 5; в) 4; г) 4.

Задание4. Какая фигура является графиком уравнения:

а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 — 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = х 2 — у;

г) (х — 1,5)(х – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.

Ответ: а) прямая (рис.23а); б) парабола, ветви которой направлены вверх (рис.23б); в) парабола, ветви которой направлены вверх (рис.23в), г) две параллельные прямые х = 1,5 и х = 4 (рис.23г); д) гипербола (рис.23д); е) окружность, с центром в начале координат, радиусом равным 3 (рис.23е).

Задание5. Напишите уравнение, график которого симметричен графику уравнения х 2 — ху + 3 = 0 (рис.24) относительно: а) оси х; б) оси у; в)прямой у = х; г) прямой у = -х.

Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.

Ответ: а) х 3 + ху + 3 = 0 (рис.24а); б) — х 3 + ху + 3 = 0 (рис.24б); в) у 3 — ух + 3 = 0 (рис.24в); г) (-у 3 ) + ух +3 = 0 (рис.24г).

Задание6. Составьте уравнение, график которого получается растяжением графика уравнения у= х 2 -3 (рис.25):

а) от оси х в 2 раза; б) от оси у в 3 раза.

Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.

Ответ: а)у — х 2 + 3 = 0 (рис.25а); б) у-(x) 2 + 3 = 0 (рис.25б).

Задание7. На рисунке (рис.29) изображен график уравнения с двумя переменными. Найдите по графику (приближенно) два решения:

а) с одинаковыми значениями х: х = 1; -2;

б) с противоположными значениями у: у = 1, 2

Ответ: а) если х = 1, то у = -2,5 или у = 2,5, если х = -2, то у = -3,5 или у = -3,5;

б если у = 2,то х = 2,если у =-2, то х =-2; если у = 1, то х = 3,5, если у = -1, то х=-3,5

Задание8. Сравните взаимное расположение данных прямых и определите, каким преобразованием плоскости график первой прямой переводится в график второй прямой.

а) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7у = 5

б) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7(у+3) =5

в) 3х-7у = 5 и 3х + 7у = 5

г) 3х-7у = 5 и -3х-7у = 5

д) 3х-7у = 5 и 3х-7у = -5

е) 3х-7у = 5 и 7х-3у = 5

Ответ: а) прямые параллельны, перемещение параллельно оси х на 1 единицу вправо (рис.26а);

б) прямые параллельны, перемещение параллельно оси х на 1 единицу вправо и параллельно оси у на 3 единицы вниз (рис.26б);

в) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси х (рис.26в);

г) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси у (рис.26г);

д) прямые параллельны, симметричное отображение относительно начала координат (рис.26д);

е) прямые пересекаются, поворот около начала координат на 90по часовой стрелке и симметричное отображение относительно оси х (рис.26е).

III. Самостоятельная работа обучающего характера.

(учащимся выдаются карточки «Самостоятельная работа» и «Отчётная таблица результатов самостоятельной работы», в которую учащиеся записывают свои ответы и после самопроверки, по предложенной схеме оценивают работу) Приложение 4..

1.Определите степень уравнения:

а) 5х 3 -3х 2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 -(х-у) 2 = 2(х+у).

2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:

а) х 3 + у 3 -5х 2 = 0; б) х 4 +4х 3 у +6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.

3. Найдите множество решений уравнения:

х 4 + у 4 -8х 2 + 16 = 0.

4. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:

а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;

(проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания)

5. Постройте, используя программуAgrapher, график уравнения:

х 2 — 2х + у 2 — 4у = 20.

Укажите координаты центра окружности и её радиус.

6. Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 — у 2 = 16 ?

Проверьте свой ответ, выполнив графическое построение, используя программу Agrapher.

7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 — 1

1.Определите степень уравнения:

а)3ху = (у-х 3 )(х 2 +у); б) 2у 3 +5х 2 у 2 — 7 = 0.

2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:

а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 +у 3 =-1.

3. Найдите множество решений уравнения:

х 2 + у 2 -2х – 8у + 17 = 0.

4. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:

а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 =9

(проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания)

5. Постройте, используя программуAgrapher, график уравнения:

х 2 + у 2 — 6х + 10у = 2.

6.Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 — у 2 = 28 ?

7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 + 9.

открытый урок по математике на тему «Линейные уравнения с двумя переменными»
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Данный урок разработан по учебнику Г.В.Дорофеева Алгебра 8 класс. К уроку приложена электронная презентация, которая наглядно представляет учебный материал.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Получать новые знания, это тоже самое, что покорять горные вершины.

a 2 — в 2 =(a- в )(a+ в ) ( a- в) 2 =a 2 -2a в + в 2 ( a +в) 2 =a 2 + 2a в + в 2 ( a +в) 3 =a 3 +3 a 2 в + 3 a в 2 +в 3 Журнал маршрута

10 + х = 15 , 2x=6, x 2 +4x=16, 3x-15=0, 5x+y=7, x 2 =9, 2x 4 +5x 2 -6=0, 0.5x 3 -4x 2 +2x-5=0 .

Тема урока: Линейные уравнения с двумя переменными

Цель: узнать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, найти способы его решения.

Переведите условие задачи на математический язык: 1) Разность утроенного первого числа и удвоенного второго числа равна 12. Найдите эти числа. 2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон? 3) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины его сторон? 4) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны его катеты?

1) 3х – 2у=12 2) ху=36 3) 2х+у=16 4) + =25

Определение: уравнением с двумя переменными называется равенство, содержащее две неизвестные величины.

Определение: решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон?

1) 3х – 2у=12 2) ху=36 3) 2х+у=16 4) + =25

Определение: линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by =c , где a,b,c произвольные числа.

2х – 10у = 3 +3у = 1 х + 0,5у = 4 5х – 2у 2 =7 3х – у = 0 + = -1

x=4-2y Уравнение решено относительно x 2y=4-x Уравнение решено относительно y

-5y=-3x-15 5y=3x+15 y=0,6x+3 если x=0, то y=3 (0; 3) если x=1, то y=3,6 (1; 3,6) если x=2, то y=4,6 (2; 4,6)

Предварительный просмотр:

Организационный момент: здравствуйте, ребята.

Получать новые знания то же самое, что покорять горные вершины. Сегодня мы будем покорять вершину математических знаний [слайд 1].

В путешествии нам потребуется журнал маршрута [слайд 2].

Актуализация прежних знаний

Откроем его [слайд 3]. Что мы видим?

10+x=15, 2x=6, x 2 +4x=16, 3x-15=0, 5x+y=7, x 2 =9, 2x 4 +5x 2 -6=0, 0.5x 3 -4x 2 +2x-5=0.

— А что такое уравнение?

— Уравнение – это равенство, содержащее переменную.

Какие уравнения вам известны? Назовите.

Называют. Какое это уравнение?

Линейные, квадратные, кубические, биквадратные, и т. д.

Какое уравнение осталось? 5x+y=7, чем оно отличается?

Оно содержит две переменных.

На этом уроке мы рассмотрим уравнения с двумя переменными.

Запишите в тетрадях число и тему урока: «Линейные уравнения с двумя переменными» [слайд 4]

А теперь сформулируем цель урока.

Цель: узнать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, найти способы его решения [слайд 5]

Перед нами первая ступень горной вершины знаний

На доске представлены задачи, [слайд 6]

1) Разность утроенного первого числа и удвоенного второго числа равна 12.
Найдите эти числа.
2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон?
3) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины его сторон?
4) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны его катеты?

Нужно перевести их на математический язык. Обратите внимание на то, что для перевода этих задач на математический язык необходимо ввести две переменные, например, x и y. (пусть пробует дети без подсказки).

Разбор каждой задачи с записью на доске.

Сверим наши записи с журналом маршрута [слайд 7].

1) 3х – 2у=12
2) ху=36
3) 2х+у=16
4) x 2 +y 2 =25

Если есть ошибки проанализировать и

Запишем в тетрадях результат.

Такие равенства называются уравнениями с двумя неизвестными.

Сформулируем определение уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала маршрута [слайд 8].

уравнением с двумя переменными называется равенство, содержащее две неизвестные величины .

Перед нами вторая ступень горной вершины и новое испытание.

Давайте к каждому из составленных уравнений подберём пару чисел, чтобы равенство было верным.

Учащиеся называют пары чисел, учитель записывает на доске.

Только ли положительные числа являются решением уравнений?

Полученные пары являются решениями данных уравнений с двумя переменными.

Сформулируем определение решения уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала нашего маршрута [слайд 9].

решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство

А сейчас перед нами третья ступень горной вершины.

Вспомним вторую задачу [слайд 10].

Обратите внимание на то, что отрицательные корни не являются решением этой задачи

[слайд 11]. Рассмотрим первое и третье уравнение, чем они похожи и чем отличаются от других.

Такие уравнения являются линейными.

Сформулируем определение линейного уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала маршрута [слайд 12].

линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где a,b,c произвольные числа.

А вот и четвёртая ступень горной вершины.

Определите, какие из следующих уравнений являются линейными с двумя переменными [слайд 13].

1. 2х – 10у = 3
2. +3у = 1
3. х + 0,5у = 4
4. 5х – 2у 2 =7
5. 3х – у = 0

А сейчас попробуем решить линейное уравнение [слайд 14].

Применим метод подбора.

Записать на доске.

Существует более простой способ решения линейных уравнений с двумя переменными. (варианты)

Посмотрим в журнал маршрута и запишем [слайд 15].

Для нахождения решений линейного уравнения с двумя переменными можно выражать одну переменную через другую.

Попробуем решить ещё одно уравнение [слайд 16]. Решите уравнение относительно Y.

Проверим по журналу маршрута [слайд 17].

Подберите несколько пар чисел, которые являются решением данного уравнения.

Минутка релаксации с цветотерапией

Перед самыми трудными испытаниями сделаем привал, отдохнём. [слайд 18].

Мы подошли к самым трудным ступеням, которые вы должны пройти самостоятельно. Решают номера [слайд 19]. №571 (а,в), 574.

Сравним ваши решения с журналом маршрута [слайд 21]

Вот мы с вами и добрались до вершины [слайд 22]. Вспомните цель нашего урока, достигли ли мы её? Что помогло нам добиться успеха? С каким новым понятием мы познакомились? Что для вас было самым сложным на уроке? Какие качества характера помогли нам справиться с этими трудностями.

Рефлексия «Плюс, минус»

Ребята заполните анкеты, в которых подчеркните тот вариант, который вам подходит для оценки нашего урока.

1.На уроке я работал
2.Своей работой на уроке я
3.Узнал на уроке
4.За урок я
5.Мое настроение
6.Материал урока я

активно / пассивно
доволен / не доволен
много нового/ ничего нового не узнал
не устал / устал
стало лучше / стало хуже
понял / не понял

Домашнее задание: А маршрут выполнения домашнего задания будет зависеть от того, какую оценку вы хотите получить. На 5, на 4 и на 3.

На память о нашем восхождении к вершине примите в подарок фото, на котором есть определение линейного уравнения и алгоритм его решения. Вы можете им пользоваться при подготовке домашнего задания, а также заучить его в качестве основного правила.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Презентация к уроку предназначена для учащихся 9 класса коррекционной школы I, II вида, обучающихся по программе ЗПР.

Открытый урок по математике 5 класс «Уравнение»

Обобщающий урок по теме «Уравнение».

Открытый урок на тему «Системы линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения». Алгебра 7 класс

Приобретать знания — храбрость.

Конспект открытого урока по математике «Арксинус.Решение уравнения sin t=а»

Тема урока: «Арксинус.Решение уравнения sin t=a.»Тип урока: Урок изучения нового материалаЦели урока:. Знать определение арксинуса,формулу корней уравнения, частные случаиПродолжить развитие умений пр.

урок «Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными»

Цель: научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

план — конспект урока по теме»Решение систем уравнений с двумя переменными второй степени.»

план- конспект урока по теме «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными.» 1 урок по заданной теме. Учатся решать системы , состоящие из одного линейного уравнения и одного уравнения .

разработка уроков по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными», алгебра, 7 класс

Разработка уроков по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»Урок 1ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙС ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИЦели: ввести понятие системы уравнений с двумя переменными; формировать умен.

Конспект урока на тему «Линейные уравнения с двумя переменными

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Линейные уравнения с двумя переменными

УМК: Алгебра 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.]; под ред. С.А. Теляковского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014

Тема: Линейные уравнения с двумя переменными

Цели: Познакомить учащихся с понятиями линейного уравнения с двумя переменными и его решения, научить выражать из уравнения х через у или у через х .

Познавательные: выдвигать и обосновывать гипотезы, предлагать способы их проверки

Регулятивные: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона; составлять план и последовательность действий.

Коммуникативные: устанавливать рабочие отношения; эффективно сотрудничать и способствовать продуктивной кооперации.

Личностные: ф ормирование навыков организации анализа своей деятельности

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран

I Организационный момент

— Послушайте сказку про Деда-Равняло и догадайтесь, о чем мы сегодня будем говорить

Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внука, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается и радуется: хорошая ему смена растет.

— Итак, о чем идет речь в этой сказке? (об уравнениях)

II . Давайте вспомним всё, что мы знаем о линейных уравнениях и попробуем провести параллель между известным нам материалом и новым материалом.

Какой тип уравнения нам известен? (линейное уравнение с одной переменной)

Вспомним определение линейного уравнения с одной переменной.

Что называется корнем линейного уравнения с одной переменной?

Сформулируем все свойства линейного уравнения с одной переменной.

Заполняется 1 часть таблицы

ах=в, где х – переменная, а,в- числа.

Значение х, при котором уравнение обращается в верное равенство

1) перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменив их знак на противоположный.

2) обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже, не равное нулю число.

Линейное уравнение с двумя переменной.

ах + ву = с, где х,у – переменные, а,в.с – числа.

Значения х, у, обращающие уравнение в верное равенство.

Верны свойства 1,2.

3) равносильные уравнения:

После того, как заполнили первую часть таблицы, опираясь на аналогию, начинаем заполнять вторую строку таблицы, тем самым узнавать новый материал.

III . Обратимся к теме: линейное уравнение с двумя переменными . Само название темы наталкивает на мысль, что нужно вводить новую переменную, например у.

Существует два числа х и у, одно больше другого на 5. Как записать соотношение между ними? (х – у = 5) это и есть линейное уравнение с двумя переменными. Сформулируем по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной определение линейного уравнения с двумя переменными (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c, где a,b и c – некоторые числа, а x и y –переменные).

Уравнение x – y = 5 при x = 8, y = 3 обращается в верное равенство 8 – 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных x = 8, y = 3 является решением этого уравнения.

— Сформулируйте определение решения уравнения с двумя переменными (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство)

Пары значений переменных иногда записывают короче: (8;3). В такой записи на первом месте пишут значение x а на втором — y.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие решений), называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число(не равное нулю), то получится уравнение равносильное данному.

Пример 1. Рассмотрим уравнение 10x + 5y = 15. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную через другую.

Для этого сначала перенесем 10x из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5y = 15 — 10x.

Разделим каждую часть этого уравнения на число 5, получим равносильное уравнение

у = 3 — 2x. Таким образом, мы выразили одну переменную через другую. Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y.

Если x = 2, то y = 3 — 2· 2 = -1.

Если x = -2, то y = 3 — 2· (-2) = 7. Пары чисел (2; -1), (-2; 7) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.

Из истории. Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.

Пример 2. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получилось 20 кг муки?

Допустим, что надо взять x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x + 2y = 20. Требуется найти все пары натуральных значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению. Получаем:

Подставляя в это равенство вместо x последовательно все числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких значениях х, значения y являются натуральными числами.

Получаем: (2;7), (4;4), (6;1). Других пар, удовлетворяющих данному уравнению нет. Значит надо взять либо 2 и 7, либо 4 и 4, либо 6 и 1 пакетов соответственно.

IV . Работа по учебнику (устно) № 1025, № 1027(а)

Самостоятельная работа с проверкой в классе.

1. Выпишите линейно уравнение с двумя переменными.

а ) 3х + 6у = 5 в) ху = 11 б) х – 2у = 5

2. Является ли пара чисел решением уравнения?

3. Выразите из линейного уравнения

4х – 3у = 12 а) х через у б) у через х

4. Найдите три, каких либо решения уравнения.

V . Итак, подведем итог:

Дать определение линейного уравнения с двумя переменными.

Что называется решением (корнем) линейного уравнения с двумя переменными.

Сформулировать свойства линейного уравнения с двумя переменными.