Урок по теме уравнения с параметрами

Уравнения с параметрами
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок по теме: «Уравнения с параметрами»

1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.

2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.

3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

1. Организационная часть.

2. Повторение пройденных тем.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление изученного.

5. Домашнее задание.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок по теме: «Уравнения с параметрами»

1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.
2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.
3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

1. Организационная часть.
2. Повторение пройденных тем.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного.
5. Домашнее задание .

1. Организация урока.

Урок начинается с приветствия. Объявляется тема урока и задачи. Нацелить учащихся на важность изучаемого материала не только для подготовки к экзаменам в школе, но и при подготовке к поступлению в вузы.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 3х – 6 = 0, 0х = 5, 0х = 0.

ах = в — линейное

а 0 х = — один корень,

а = о, в 0 — нет корней,

а = 0, в = 0 — х – любое число.

б) 2х 2 – 3х + 6 = 0

Измените условие так, чтобы полученное уравнение имело два корня.

ах 2 + вх + с = 0 , а 0 — квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

х при х > 0,
— х при х

2) Чем отличаются уравнения а х = в и 3х = 6, а х 2 + в х + с = 0 и 2х 2 –3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях а х = в и а х 2 + в х + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке

3. Изучение нового материала.

1) Определение . Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: а x + в = 0 (x – переменная, а и в – параметры),

а x 2 + в x + с = 0 (x – переменная, а, в и с – параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Пример: ( а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0

Первая постановка задачи: решите уравнение. Это значит, что для каждого значения параметра а , необходимо найти решения.

Вторая постановка задачи: при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня.

Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x – а = 0 Ответ: при а ( — , + ) х = а .

б) 5x = а Ответ: при а ( — , + ) х = .

в) x : 2 = а Ответ: при а (- , + ) х = 2 а .

г) [x] = [ а ] Ответ: при а (- , + ) х = ± а .

д) x 3 = а Ответ: при а (- , + ) х = .

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) а x = 10 Ответ: при а 0 х = , при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а 0 корней нет, при а = 0 х – любое число.

в) [х] = а Ответ: при а а = 0 х = 0, при а > о х = а.

г) ( а 2 – 4)x = а 2 + а – 6

Решение г). Если а 2 – 4 0, т.е. а ± 2, то х = .

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х – любое число.

Ответ: при а ± 2 х = ,

при а = — 2 корней нет,

при а = 2 х – любое число.

(Обратить внимание учащихся на тот факт, что при решении данного уравнения получили исключение для параметра. В таких случаях необходимо делать проверку (испытание) для каждого исключения: подставить значение параметра в исходное уравнение и решить его).

Решение: х 2, тогда а = х – 2 или х = а + 2.

Найдем а , при котором х = 2

Итак, при а = 0 х = 2, но это посторонний корень.

Ответ: при а = 0 корней нет, при а 0 х = а + 2.

2) ( а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0.

(Обратить внимание учащихся на то, что в ходе решения уравнения 1) появилось исключение для х. В таком случае необходимо найти значение параметра, при котором есть исключение для переменной).

Повторить основные этапы решения уравнений с параметрами.

Домашнее задание: опорный конспект и решение уравнений (примерный набор заданий – карточки).

Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели: изучить понятие «уравнения с параметром», сформировать умение решать линейные и квадратные уравнения с параметром.

Место урока в рабочей программе:

Провести либо перед контрольной работой №6 «Дробно-рациональные уравнения», либо после нее.

Урок проводить в классе с хорошей математической подготовкой. Для учащихся, которые учатся на «3», можно подготовить индивидуальные задания, с целью исправления ошибок из контрольной работы.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (Приложение 1, слайды 2-14).

1) Карточки, которые раздавались учащимся на предыдущем уроке. (Приложение 2).

2) Из учебника № 703

II. Введение в тему урока.

Решите кроссворд. Задания зачитываются учителем. Проверка (Приложение 1, слайды 15-16)

1. Графиком квадратичной функции является …

2. Равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти – это …

3. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется…

4. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются…

5. Запись какого-нибудь правила с помощью букв – это…

6. Графиком функции у=k/x, где х≠0, является…

7. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носит название теоремы…

8. Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х – переменная, а, в и с – некоторые числа, причем а≠0 называется… .

Записали тему урока. (Приложение 1, слайд 17)

Сколько может иметь корней линейное уравнение в зависимости от коэффициентов? А квадратное?

III. Объяснение нового материала.

1. Изучение понятия «уравнение с параметром».

Во время актуализации знаний учащиеся вспомнили, что линейное уравнение в зависимости от коэффициентов может иметь одно решение, бесконечно много решений, либо не иметь решений. Так же и квадратное уравнение в зависимости от дискриминанта, а значит, от коэффициентов, может иметь один корень, два корня, либо не иметь корней.

(Приложение 1, слайд 18)

Определение. Уравнение вида f(а,в,с …,х) =0, переменные а,в,с … которые при решении уравнения являются постоянными называются параметрами, а само уравнение , уравнением с параметрами.

Если уравнение записано в виде равенства двух выражений, в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла:

1) х, а – равноценные переменные. Говорят, что задано уравнение с двумя переменными и требуется найти все пары (х, а), которые удовлетворяют данному уравнению.

2) х – переменная, а – фиксированное число. Говорят, что задано уравнение с одной переменной х и требуется найти значение х, удовлетворяющее уравнению при фиксированном значении а.

3) х – переменная, а – любое число из некоторого множества А. Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром а (А – множество изменения параметра), требуется решить уравнение относительно х для каждого значения а.

Область изменения параметра либо оговаривается заранее, либо обычно подразумевается множество всех действительных чисел.

Тогда задачу решения уравнения с параметром можно переформулировать: решить семейство уравнений, получаемых из уравнения при любых действительных значениях параметра.

2. Примем решения уравнения с параметром.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.

3. Алгоритм решения уравнения с параметром:

1-й ш а г. Находим область изменения параметра.

2-й ш а г. Находим ОДЗ уравнения.

3-й ш а г. Определяем контрольные значения параметра и разбиваем область изменения параметра на подмножества.

4-й ш а г. Решаем уравнение на каждом подмножестве области изменения параметра.

5-й ш а г. Записываем ответ.

4. Решение линейных и квадратных уравнений с параметром.

На примерах со с. 141–143 учебника рассмотреть, как обнаруживаются контрольные значения параметра, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное линейное или квадратное уравнение.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, относящиеся к этому пункту, можно разбить на 3 группы:

1) решить уравнение с параметром, заданное в стандартном виде;

2) преобразовать уравнение с параметром и решать его;

3) найти значения параметра, при которых будет выполняться некоторое условие.

1. № 641 (а) (Разбирает учитель вместе с учениками).

Если р = 0, то уравнение примет вид –1 = 0.

Данное уравнение не имеет корней.

О т в е т: при р = 0 нет корней; при р ≠ 0; у = (p + 1)/p.

2. № 642 (Учащийся, который сам вызвался к доске).

Если а – 2 = 0, то есть а = 2, то

Если а – 2 ≠ 0, то есть а ≠ 2, то х = (a-2)(a 2 -9)/(a-2),

О т в е т: при а = 2 х – любое; при а ≠ 2 х = а 2 – 9.

№ 644 (б) (Проводится анализ, а затем записываем).

Если а ≠ 0, то D > 0 и

3. № 646 (Проводим анализ и даем время решить самостоятельно, а затем, проверяем).

х₁ 2 + х₂ 2 принимает наименьшее значение при а = 1 и равно 5.

О т в е т: 5 при а = 1.

V. Физкультминутка (Приложение 3, Приложение 4, Приложение 1, слайд 20)

VI. Обучающая самостоятельная работа.

№645(б) – I вариант, №645 (г) – II вариант.

Двое учащихся на откидных досках. Оценки только тем учащимся, которые написала на «5».

VII. Итог урока

1. Какие уравнения мы сегодня изучили?
2. Какое уравнение называются уравнением с параметром? (Слайд с определением). Приведите свои примеры.
3. Уравнения с параметрами встречаются в экзаменах 9 и 11 классов. (Можно предложить на дом задания из ГИА).

VIII. Домашнее задание. (Приложение 1, слайд 22)

Прочитать п.27 и разобрать примеры 1 и 2, №645 (а, в), №704.

Информационные ресурсы:

1. Алгебра, 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся./ ЛебединцкваЕ.А., Беленкова Е.Ю. – М.: Интелект-Центр, 2007.
3. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворовой (компакт-диск) – издательство «Учитель». 2011.
4. Интернет-ресурсы.

Конспект урока на тему «Решение уравнений с параметром» (8 класс)

Тема урока: «Решение уравнений с параметром».

Цели урока: формирование умений решать задачи с параметрами, задачи на определение количества решений уравнений с параметром.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока на тему «Решение уравнений с параметром» (8 класс)»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Дорогобужская средняя общеобразовательная школа №1»

Конспект урока по алгебре в 8 классе

«Решение уравнений с параметром»

Картышева Вера Алексеевна

Тема урока: «Решение уравнений с параметром».

Цели урока: формирование умений решать задачи с параметрами, задачи на определение количества решений уравнений с параметром.

Образовательные: формировать умения решать уравнения с параметром; совершенствовать навыки анализа, обобщения и систематизации материала.

Развивающие: развивать творческую способность учащихся, логическое мышление; расширять кругозор.

Воспитательные: формировать устойчивый интерес к математике, путем введения элементов исследовательской деятельности; воспитывать ответственность, дисциплинированность, взаимопомощь.

Личностные — умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи,

понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры

Метапредметные — умение определять цели и задачи деятельности, выбирать средства реализации

Предметные — умения и навыки решения квадратных уравнений

Тип урока: урок изучения нового материала.

Средства обучения: компьютер, презентация.

Методы урока: словесный, наглядный, практический.

Структура урока: (продолжительность урока — 45 минут)

1.Подготовка к восприятию (1мин).

2.Мотивационная беседа (2мин).

3.Актуализация опорных знаний (8мин).

4.Изучение нового материала(14мин).

6.Закрепление изученного материала(14мин).

7.Подведение итогов урока(1мин).

1.Подготовка к восприятию.

Учитель: Готовясь к сегодняшнему уроку, я натолкнулась на одну интересную историю: несколько десятилетий назад в Америке была объявлена премия тому автору, который напишет книгу «как человек без математики жил». Премия осталась не выданной. Как вы думаете, почему? (Ответы учащихся).

Да, вы правы ни один из авторов не смог доказать, что человеку математика не нужна, никто не смог изобразить жизнь человека без применения каких-либо математических знаний. Вот и нам с вами на уроке не обойтись без набора определенных знаний и умений.

Учитель: На доске записано уравнение (а-1)

Какое оно? Как его решить?

Выслушиваем ответы учащихся и приходим к выводу, что оно квадратное, с параметром.

Тема сегодняшнего урока «Решение уравнений с параметром» (Слайд 1).

Учитель: уравнения с параметром стали привычной частью вариантов ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому актуальность темы урока очевидна для подготовки к будущей итоговой аттестации. На уроке мы будем работать с заданиями повышенной сложности. В учебнике Ю. Н. Макарычева « Алгебра -8» мы с ними встречаемся в главе 3 п.27. под грифом: «Для тех, кто хочет знать больше». Надеюсь, что этот урок поучит вас мыслить.

Важнейшая задача цивилизации-

Научить человека мыслить.

3.Актуализация опорных знаний.

Форма работы: фронтальная.

Учитель: назовите общий вид квадратного уравнения.

Ученик: ах 2 +вх+с=0,где х — переменная ,а, в, с-некоторые числа, причем а≠0.

Учитель: какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?

Ученик: если в квадратном уравнении ах 2 +вх+с=0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Учитель: при каких значениях а уравнение является квадратным? Назовите это уравнение.

а) (а-1)

Ответ:при а=1.Квадратное уравнение 3х 2 +2х-5=0.

б) (2а+4)-2ах 2 +ах-7=0.

Ответ:при а=-2.Квадратное уравнение 4х 2 -2х-7=0.

в) (2а-4)-(а-2)х 2 +ах-3=0.

Ответ: ни при каких а.

Учитель: при каком значении а один из корней уравнения ах 2 -3х-5=0 равен 1?(учебник Ю. Н. Макарычева «Алгебра -8. №659). Ученик: а-31-5=0,

Учитель: при каких значениях а уравнение 2х 2 -(а-3)х-5а=0 является неполным квадратным? Назовите это уравнение.

Ученик: при а =3.Неполное квадратное уравнение 2х 2 -15=0,

при а=0.Неполное квадратное уравнение2х 2 +3х=0.

4.Изучение нового материала.

Учитель: откройте учебник на стр.141 и прочтите определение «Что значит решить уравнение с параметром».

Слайд3: решить уравнение с параметром – это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет.

(прошу учеников воспроизвести определение). Чувствуете трудность?

Учитель: тогда познакомимся с решением уравнений с параметром на практике (используем презентацию).

Слайд 4:Решите квадратное уравнение х 2 -(2а+1)х+а 2 +а-2=0.

Всегда ли это уравнение квадратное?

Да, это уравнение всегда квадратное.

Слайд 5:Найдите дискриминант уравнения.

Д=-4а 2 -4а+8

Д=4а 2 +4а+1-4а 2 -4а+8

Д=9, =3, Д

Слайд 6: Примените формулу корней квадратного уравнения.

х= х=

х=

Слайд 7:Запишите ответ.

Слайд 8:Решите уравнение: ах 2 +(1-а) х -1=0.

Всегда ли это уравнение квадратное?

Нет. Если а=0, то уравнение линейное: х -1=0; его корень х=1.

Если а, то уравнение квадратное.

Слайд 9:Найдите дискриминант уравнения, если а

Д=

Д=а 2 +2а+1 Д==

Слайд 10: Примените формулу корней квадратного уравнения.

х=

х=

х₁====1. х₂==== —.

Слайд11: Запишите ответ.

Ответ: Если а х₁=1; х₂= —.

Учитель: Рассмотрим алгоритм решения «квадратного» уравнения с параметром.

1.Найти значения параметра, при которых уравнение не является квадратным (коэффициент при х 2 равен нулю).

2.Решить уравнение при этих значениях параметра.

3.Найти дискриминант уравнения в остальных случаях.

4.Найти корни уравнения при всех значениях параметра.

Ребята, пришло время немного отдохнуть.

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте, вы – птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Направо, налево, вокруг посмотрели…

Ну что, дорогие, снова за дело!

6.Закрепление изученного материала.

Учитель: Используя слайд12, решим упражнение из учебника Ю. Н. Макарычева «Алгебра-8» №647.стр.143.Вызываю учащегося к доске по желанию. Учащийся комментирует решение.

Решение: (а-1)х 2 +2ах+а+1=0.

Если а=1, то уравнение линейное:2х+2=0; его корень х=-1.

Если а1, то уравнение квадратное.

Найдем дискриминант уравнения, если а

Д=4а 2 -4(а-1)(а+1), т. к.(а-1)(а+1)=а 2 -1, то

Д=4а 2 -4а 2 +4 Д=4 =2

Применим формулу корней квадратного уравнения.

х=

х=

х₁==-1 х₂===

Ответ: Если а=1, то х=-1.

Если а, то х₁= — 1; х₂=.

Продолжаем решать упражнения из учебника. Вызываю учащегося к доске. Учащийся комментирует решение № 645(в).

При каких значениях параметра а имеет единственный корень уравнение: ах 2 -6х+1=0?

Решение: ах 2 -6х+1=0

Если а=0, то уравнение линейное: -6х+1=0; его корень х=.

Если а, то уравнение квадратное.

Найдем дискриминант уравнения, если а.

Если Д=0, то уравнение имеет один корень.

Далее предлагаю учащимся самостоятельно решить задание.

Слайд 13: Один из корней квадратного уравнения х 2 +2ах+2-3а=0 равен 1.Найдите значение параметра а и второй корень уравнения.

Учитель: оценки получат те учащиеся, кто быстро и верно решат это задание.

Спустя 4 мин. проверяем решение данного упражнения.

Слайд14: х₁=1 подставим в уравнение и получим 1 2 +2а+2-3а=0 3-а=0, откуда а=3.

а=3 подставим в данное уравнение и получим х 2 +2-3

Учитель: поднимите руки, кто с заданием справился успешно, выставляю оценки.

7.Подведение итогов урока.

Вспомним алгоритм решения «квадратных» уравнений с параметром. Включаю слайд 15.Надеюсь, что этот материал повысит ваш уровень математической культуры.

8. Домашнее задание.

Макарычев Ю.Н. Алгебра:8кл./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др. – М.: Просвещение, 2016 .

Глава 3. п. 27. № 645(г), 648.стр.143.

Учитель: Ребята, посмотрите на текст:

Решать уравнения с параметром.

Учитель: выберите соответствующий смайлик:

Зная, выбранные учащимися смайлики, определяю уровень усвоения учебного материала.

1.Макарычев Ю.Н. Алгебра: 8кл. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др. – М.: Просвещение, 2016 .