Урок различные способы решения уравнений

Урок. Решение уравнений различными способами
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок обобщения по теме «Решение уравнений различными способами»

Данный урок является 13 в курсе «Алгебра и начала математического анализа», и 9 в теме «Многочлены» по учебнику: А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В двух частя. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — М.: Мнемозина. Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации; соответствует требованиям федерального компонента государственного стандарта основного общего образования 2004 г.

Скачать:

Вложение	Размер
Урок обобщения. Решение уравнений различными способами	255.43 КБ

Предварительный просмотр:

План конспект урока по математике. 11 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Чикская средняя общеобразовательная школа №7

Алгебра и начала математического анализа

«Решение уравнений различными способами»

Автор-составитель: Зацепина Н. В.

Аннотация к уроку

Зацепина Надежда Владимировна, образование высшее, педагогический стаж – 20 лет, 1 квалификационная категория, учитель математики МОУ Чикская средняя общеобразовательная школа № 7.

Данный урок является 13 в курсе «Алгебра и начала математического анализа», и 9 в теме «Многочлены» по учебнику: А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В двух частя. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — М.: Мнемозина, 2009. Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации; соответствует требованиям федерального компонента государственного стандарта основного общего образования 2004 г.

Тема: «Решение уравнений различными способами».

Тип урока : обобщения и систематизации ЗУНов.

Форма организации урока : урок- семинар.

Оборудование: мультимедийная установка, мультимедийная презентация заданий, компьютеры по количеству обучающихся, учебник.

Цель урока: Обобщение и систематизация знаний обучающихся по решению уравнений различными способами на основе знания основных способов решения алгебраических уравнений из курса алгебры.

Обобщение и систематизация знаний обучающихся по решению уравнений различными способами на основе знания основных способов решения алгебраических уравнений из курса алгебры.
Создание условий для осознанной подготовки к ЕГЭ.
Формирование навыков самоконтроля, алгоритмической и компьютерной культуры обучающихся.

Продолжить развитие устной математической речи, внимания.
Обеспечение условий для развития умений решать уравнения.
Совершенствовать мыслительные умения старшеклассников (сравнивать, анализировать, классифицировать, обобщать и навыки обработки информации).

Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников.
Воспитание уверенности в собственных силах.

Целенаправленно и продуктивно подготавливать обучающихся к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.
Поддерживать интерес к познавательному общению, к уроку, к обучению.
Удовлетворить потребность школьника в развитии интеллектуальной, мотивационной, эмоциональной сферах.

Особая роль в сознательном и продуктивном усвоении знаний принадлежит интересу, который может проявляться благодаря использованию ярких примеров, информационно-компьютерных технологий . Учитывая эту особенность, на уроке используется компьютерное тестирование с выходом на сайт http://www.uztest.ru/ . Руководитель сайта — учитель математики высшей категории, кандидат педагогических наук, обладатель премии Президента — Ким Наталья Анатольевна. Сайт содержит большую базу заданий по различным разделам школьного курса «Математика». Учителям — зарегистрированным пользователям сайта, предоставлены следующие возможности:

1. Организация контроля знаний учащихся с помощью тестовых заданий:

имеется более 5000 задач по всем разделам школьной математики, уникальных, не опубликованных в учебниках и задачниках;
программа автоматически формирует индивидуальные задания для каждого ученика, согласно заданным учителем условиям;
результаты выполнения работ учащимися (текущие и итоговые) учитель видит на своем компьютере.

2. Отработка навыков учащихся с помощью системы тренингов:

тренинг — группа однотипных примеров, этих примеров сотни;
если ученик решил неправильно пример — ему показывается подробное объяснение и дается следующий, другой пример;
учитель задает условия тренинга — минимальное количество примеров, которое должен решить ученик и допустимый результат.

3. Ведение Интернет — журнала оценок учащихся:

можно выставлять текущие оценки учащихся в журнал на сайте, значит информация, всегда доступна ученику и его родителям;
допустимы оценки в разных шкалах баллов, рассчитываются итоги: количество оценок, сумма и средняя оценка за указанный период.

На сайте мною зарегистрированы все обучающиеся 11 «А» класса, оформлен Интернет – журнал. Для каждого школьника получен индивидуальный логин и пароль. Это позволяет обучающимся заходить в свой «личный кабинет», для выполнения тестовой работы, которая составляется мною по определённому условию, согласно теме и цели урока.

А применение на уроке мультимедийной презентации с красочной наглядностью усиливает мотивационный интерес обучающихся к обучению.

Предварительная подготовка к уроку предполагала следующие этапы:

выбор темы;
определение типа урока;
определение круга вопросов;
индивидуальная работа с некоторыми обучающимися;
выбор методов, приёмов;
подбор средств обучения,
подбор дидактического материала.

При построении урока следует отметить, что:

Происходит смена деятельности каждые 5 – 10 минут;
Есть две динамических паузы;
Имеет место межпредметная связь с уроками информатики.
Все этапы урока работают на конечный результат

В соответствии с типом урока была предусмотрена следующая структура урока:

Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока.
Актуализация опорных знаний.
Обобщение (беседа, решение уравнений устно и письменно).
Контроль. Проверочная тестовая работа.
Рефлексия.
Подведение итогов. Домашнее задание.

На уроке были использованы следующие методы:

По источникам передачи и характеру восприятия

словесный (беседа, пояснения учителя) ;
наглядный ( демонстрация презентации );
практический ( нахождение корней уравнения устно, письменн ое решение уравнений, самостоятельная работа).
информационно-коммуникативные ( компьютерное тестирование, работа с сайтом учителя математики).

По характеру познавательной деятельности

р епродуктивны й;
объяснительно-иллюстративны й;
проблемного изложения (постановка вопросов – почему?);
частично — поисковый (определение оптимального способа решения заданного уравнения);
продуктивный (оригинальность, беглость мысли; быстрота нахождения способа решения; способность применения знаний в новой ситуации).

3. Метод исследования:

систематизация уравнений курса алгебры.

ввод и использование текстовой информации на компьютере.

М етод контроля и самоконтроля

устный;
письменный;
автоматизированный;
наблюдения учителя.

5. М етод стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельност и.

6. Метод активного воздействия на эмоциональный интеллект обучающихся.

Приемы формирования и активизации отдельных операций мышления, внимания, памяти, восприятия, воображения. («Узнай по описанию», «Узнай по иллюстрации»).
Приемы, способствующие созданию проблемных, поисковых ситуаций в мыслительной деятельности об уча ю щихся . Приём вызова с опорой на личный опыт и знания, – «Какие виды уравнений вам известны?»; «Что вы знаете о способах решения уравнений?». Создание ситуации познавательного поиска: определение вида выражения во время устного счёта; нахождение корней различных уравнений устно; сопоставление графика с формулой; нахождение способа решения заданного уравнения).
Приемы, активизирующие эмоции учащихся («психологическая минутка» в начале урока, использование различного оформления заданий)
При ё мы контроля, самоконтроля, самообучения : фронтальный опрос; индивидуальный опрос; самостоятельная работа; невербальный приём – наблюдение учителя. Приёмы самоконтроля: самопроверка по «всплывающим» ответам; приём самообучения – индивидуальная тестовая работа за компьютером).
Приемы управления в учебном процессе межличностными отношениями :

Приём личностной значимости: «Что на уроке вам понравились?»

Приём высказывания оценочных суждений – «Что вы приобрели необходимого для подготовки к ЕГЭ?»

Учитывая требования к современному уроку, были использованы следующие технологии:

Использования информационных технологий (мультимедийная презентация заданий, компьютерное тестирование).
Технология проблемного обучения (постановка проблемных вопросов).
Технология развития критического мышления.
Технология дифференцированного обучения.
Здоровьесберегающие технологии (соблюдение гигиенических норм посадки; 2 паузы — «психологическая минутка», «физкультминутка» — упражнение на релаксацию мышц лица и зарядка для глаз).

В течение урока, на основных этапах проводится подведение итогов в форме опроса: «Что мы вспомнили об уравнениях?», «Какие способы решения уравнений применяли?».

Особое внимание уделяется этапу рефлексии: «Вспомните все моменты нашего урока и расскажите, что вам пригодилось при выполнении теста?»

Продуктивность урока оцениваем совместно с обучающимися и автоматизировано (оценки выставляются в Интернет журнале).

«Решение уравнений различными способами»

Организационный момент

Приветствие. Мотивация ( психологическая минутка ).

Разрешите начать урок, девизом которого могут стать строки:

Порой задача не решается,

Но это, в общем, не беда.

Ведь солнце всё же улыбается!…

А чтобы не было проблем,

Друзья тебе всегда помогут,

Они с тобой, ты не один.

Поверь в себя, и ты всё сможешь,

Идем вперёд — и победим .

Проверка отсутствующих и готовность обучающихся к уроку.

Сообщение темы и цели урока

Цели урока: Обобщение и систематизация знаний обучающихся по решению уравнений различными способами на основе знания основных способов решения алгебраических уравнений из курса алгебры.

Образовательная

Обобщение и систематизация знаний обучающихся по решению уравнений различными способами на основе знания основных способов решения алгебраических уравнений из курса алгебры.

Создание условий для осознанной подготовки к ЕГЭ.
Формирование навыков самоконтроля, алгоритмической и компьютерной культуры обучающихся.

Развивающая

Развитие устной математической речи, внимания.
Обеспечение условий для развития умений решать уравнения.
Совершенствовать мыслительные умения старшеклассников (сравнивать, анализировать, обобщать и навыки обработки информации).

Воспитательная

Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников.
Воспитание уверенности в собственных силах.

Актуализация опорных знаний ( устный фронтальный опрос )

1. Из предложенных выражений выберите те, которые являются уравнениями ( приём «узнай по описанию»).

3x 4 — 2x 3 + 5x 2 + 8 = 8;
(2x 3 — 4x 2 + 7x) 3 – х = (7х) х — 3 ;
(x-3)/(7x 2 — x+1) = 0 ;
45 2 — 35 2 = 800;
f(x) = 3 х – 1;
(x 3 +7x)(4x 2 -2) = 0;

2. Сколько и какие уравнения имеют корень 2?

3х 3 + 5х – 34 = 0;
3х 5 + 6х 2 – 9х + 2 = 0;
х 12 +21х 2 = 4181;
3х 4 – 25х + 2 = 0.

(два; первое и четвертое)

3. Вспомните, что значит решить уравнение?

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет.

4. Сколько корней может иметь уравнение?

В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Устный счет. Решите уравнение : (-2; 0,5; -4 и 4; -8; нет корней; 0).

Обобщение (беседа; приём вызова с опорой на личный опыт и знания)

Виды уравнений (которые будут рассмотрены)

1) линейное уравнение;

2) квадратное уравнение;

3) уравнение n – й степени.

Дробное рациональное уравнение.

1) Уравнение первой степени

1. Какое уравнение называется линейным?

Уравнение вида ax = b , где x — неизвестное, a и b — некоторые числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным.

2. Сколько корней имеет линейное уравнение?

1. Если a не равно нулю , то уравнение имеет единственный корень x = — b/a.
2. Если а = 0, b не равно нулю , то уравнение не имеет корней .
3. Если a = 0, b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней , то есть корнем уравнения является любое действительное число.

Например:
1. 5x -10 = 0; x = 2 — корень уравнения.
2. 0x + 4 = 0, уравнение не имеет корней.
3. 0x + 0 = 0, уравнение имеет бесконечно много корней, x — любое действительное число.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (историческая справка)

Великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого XVI в. Франсуа Виета . Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (x, y или z) мы обязаны его соотечественнику – Рене Декарту .

2) Квадратное уравнение

1. Какое уравнение называется квадратным?

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 называется квадратным уравнением стандартного вида , где a, b, c – действительные числа и a ≠ 0 . Если a = 1, то квадратное уравнение называют приведённым.

2. Сколько корней имеет квадратное уравнение?

Решение: D = b 2 – 4ac, тогда

1) D > 0 2) D = 0 3) D

Х 1,2 = Х 1,2 = — в / 2а действительных

корни совпадают корней нет

Уравнение высшей степени

1. Какое уравнение называется рациональным целым уравнением?

Уравнение вида P(x)=0 , где Р(х) — многочлен n – й степени называют рациональным целым уравнением.

2. Какие основные способы решения рациональных уравнений вы знаете?

При решении рациональных уравнений в основном используются следующие способы:

1. Разложение на множители;

2. Графический метод,

3. Введение новых переменных.

ПОВТОРИМ ЭТИ СПОСОБЫ:

1. Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители .

Решите уравнение : (индивидуальная работа в рабочих тетрадях, с последующим обсуждением решений; метод критического мышления).

Как называется способ, с помощью которого можно разложить левую часть уравнения на множители?

Разложить левую часть уравнения на множители можно способом «группировки».

Когда произведение множителей равно 0?

Когда любой из множителей равен нулю, а другие множители имеют смысл.

Сколько корней имеет данное уравнение?

Уравнение имеет три корня. Это числа 0,5; -2 и 2.

Как вы думаете, может ли уравнение третьей степени иметь 1, 2, 4, 5 корней или ни одного корня?

Уравнение 3-й степени могут иметь не более трёх корней.

Найдите корни уравнения и назовите степень уравнения: (фронтальный устный опрос)

1) 5; -1; 2; 2) 0; -2 и 2; 3) -3; 4) 2; 1; 5) -1; -5 и 5.

2. Другой способ решения уравнений – графический.

Соотнесите график с формулой:

(фронтальный устный опрос; приём «Узнай по иллюстрации»)

Первый график — g( x ). Второй график – q(x). Третий график – f(x). Четвертый график – p(x).

; ;

; .

Еще один способ решения уравнений — способ введение новой переменной.

Решите уравнение: (индивидуальная работа в рабочих тетрадях, с

последующим обсуждением решений; метод критического мышления).

Какое выражение обозначили новой переменной? У = (х 2 + х)

Введем новую переменную:
Получим уравнение:

2. Какое новое уравнение получили?

Найдем переменную x:

Ответ: x = — 2; х = 1

ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Какие уравнения называются дробными рациональными уравнениями?

Уравнение вида P(x)/Q(x)=0 , где Р(х), Q(x) -многочлены называют дробными рациональными уравнениями.

2. Как можно решать такие уравнения?

Решение дробного рационального уравнения можно разбить на два этапа:

1. Решить уравнение Р(х) = 0.

2. Проверить условие: Q (х) ≠ 0.

То есть решение таких уравнений сводиться к решению целых уравнений, при этом исключают из решения те корни, которые обращают в нуль знаменатель уравнения.

Физкультминутка (упражнения на релаксацию мышц лица и глаз).

1) Закройте глаза. Поморгайте сомкнутыми веками.

Зажмуривание глаз на 3-5 секунд и легкое быстрое моргание улучшают кровообращение.

2) В положении сидя при неподвижной голове медленно перевести взгляд с пола на потолок и обратно, затем справа налево и обратно (повторить 10-12 раз).

3) Круговые движения глазами в одном и другом направлении (повторить 4-6 раз) — это упражнение выполняется при открытых и закрытых глазах.

Такие упражнения служат тренировкой мышц глаз.

4) Закрыть глаза и тихонько посидеть 30 секунд, думая о чём-то хорошем и приятном.

Давайте подведём промежуточные итоги:

Какие виды уравнений мы повторили?
Какие основные способы решения уравнений применяли?

Решение многих уравнений сводится к решению либо целых рациональных уравнений, либо к решению дробных рациональных уравнений.

Проверочная тестовая работа ( работа за компьютером, с автоматизированной проверкой)

Выполните проверочную работу, в которой вам необходимо будет решить уравнения и применить знания в новой ситуации (работа у каждого обучающегося индивидуальная, с двух уровневой дифференциацией).

1) Целое рациональное;

2) Дробное рациональное;

3) Уравнение, содержащее переменную под знаком модуля;

4) Иррациональное уравнение.

Примечание. При выполнении работы обязательно проверяем корни уравнений 2); 3); 4).

Для выполнения проверочной тестовой работы необходимо:

( см. приложение «Подготовка к тестированию»).

Мы с вами сделали обобщение по теме: «Решение уравнений различными способами» и выполнили проверочную работу.

Вспомните все моменты нашего урока и расскажите, что вам пригодилось при выполнении теста?

1. При решении многих уравнений необходимо помнить основные виды уравнений и способы их решения.

2. При выборе решения не надо противопоставлять графические и аналитические способы решения.

3. Напротив, наиболее успешным может быть именно их разумное сочетание. Тогда на экзаменах не будет случаев, когда с помощью головоломных вычислений решается простая задача.

Оценки за урок будут выставлены в Интернет – журнал и в обычный журнал.

Домашнее задание: дома выполните №1518; №1523; 1526; №1527.

Сборник: С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. Задачи по алгебре и началам анализа.

Спасибо всем за урок!

А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В двух частя. Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа. 11 класс. В двух частя. Часть 2. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). Под редакцией А. Г. Мордковича. — М.: Мнемозина, 2009
С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. Задачи по алгебре и началам анализа. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. 10-11 класс. – М.: Просвещение, 2001.
Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова. Алгебра и начала анализа, 10 – 11 класс. Тематические тесты и зачеты. – М.: Мнемозина, 2006.
Л. А. Домогацких. Алгебра – это просто! Пособие для школьников и абитуриентов. В двух частях. – М.: ООО ТИД Русское слово – РС, 2008.
Л. И. Горохова, Г. И. Григорьева, Н. А. Догадова и др. Уроки математики с применением информационных технологий. Методическое пособие с электронным приложением. – М.: Глобус, 2009.
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала анализа 10,11 класс профильный уровень. Методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2008.

Для обеспечения плодотворного учебного процесса использовались информация и материалы следующих Интернет – ресурсов:

Сайт учителя математики: http://www.uztest.ru/
Педагогическая мастерская, уроки в Интернет и многое другое: http://teacher.fio.ru
Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main/

На сайте http://www.uztest.ru/ Руководитель сайта — учитель математики высшей категории, кандидат педагогических наук, обладатель премии Президента — Ким Наталья Анатольевна.

С чего начать работу? Прочитайте все разделы инструкции. Если будет что-то непонятно, не волнуйтесь, разберетесь по ходу работы:

Зайти в Интернет на указанный сайт.
Набрать свой Логин и Пароль.
Зайти в кабинет и выбрать нужную работу.
Внимательно прочитать задание.
Выполнять задания в любом удобном порядке.
Соотнести полученный результат с предложенными вариантами ответов.
Выбрать тот вариант, который соответствует вашему ответу, и отметить его.
По завершению всей работы сохранить решение.
Сообщить об окончании тестирования учителю.
Если возникнут вопросы, обратиться к учителю.

Фамилия Имя Логин Пароль

Зайти в Интернет на указанный сайт.
Набрать свой Логин и Пароль.
Зайти в кабинет и выбрать нужную работу.
Внимательно прочитать задание.
Выполнять задания в любом удобном порядке.
Соотнести полученный результат с предложенными вариантами ответов.
Выбрать тот вариант, который соответствует вашему ответу, и отметить его.
По завершению всей работы сохранить решение.
Сообщить об окончании тестирования учителю.
Если возникнут вопросы, обратиться к учителю.

Виды уравнений и способы их решения в 9-м классе

Разделы: Математика

Перед уроком были изучены темы “Уравнения с одной переменной”, “Целые рациональные уравнения и основные методы решения целых рациональных уравнений”, “Дробно-рациональные уравнения”, “Уравнения с модулем и параметрами”.

За две недели до обобщающего урока на стенде “Готовься к экзамену” было предложено:

Прорешать из экзаменационного сборника задания второго раздела (№ 71–101).
Вопросы по теоретическому материалу.
Примерное оформление экзаменационного задания.
Сроки индивидуальных и групповых консультаций.

Вопросы по теоретическому материалу

Определение уравнения с одним неизменным.
Корень уравнения.
Что значит решить уравнение?
Определение области допустимых значений.
Когда два уравнения являются равносильными?
Когда одно уравнение является следствием другого?
Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?
Особенность тождественного преобразования “деление на выражение, содержащее переменную”.
Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения.
Основные методы решения уравнений с одним неизвестным.

а) учебник А-9 под ред. Н.Я. Виленкина, глава X, с. 157–189;
б) конспекты.

№ 93(1)
№ 5.60(а)
Галицкий, с. 51

если D = 0, то x = –3 при a = –3, но x = –3 не удовлетворяет условию, так как (x – 4)(x + 3) 0;

Среди найденных значений может быть появление посторонних корней, так как уравнение x² + (3 – a)x – 3a = 0 следствие исходного уравнения.

Чтобы x₂ = a являлся корнем x 2 – 4 0, a – 4 0, a 4

x 2 + 3 0, то есть a – 3 0, a –3

Ответ: при a 4, a –3 корнем уравнения является x = a.

Задания к уроку подобраны с учетом подготовленности учащихся данного класса.

привести в систему знаний учащихся по теме;
повторить теорию решения уравнений;
выработать умение определить вид уравнения;
выразить наиболее рациональный способ решения данного уравнения;
формировать наблюдательность учащихся.

I. Организационный момент

Сообщение темы урока и его целей.

II. Повторение теории по решению уравнений

1. Что называется уравнением?

Ответ: Любое равенство вида некоторые функции называются уравнением с одной переменной (или с одной неизвестной).

2. Что называется корнем уравнения?

Ответ: Число a называется корнем (или решением) данного уравнения с одной переменной, если при подстановке числа a вместо x в обе части уравнения, получаем верное числовое неравенство, то есть при подстановке x = a обе части уравнения определены и их значения совпадают:

3. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать что их нет.

4. Как определяется область определения допустимых значений уравнения?

Ответ: ОДЗ называется пересечение множеств областей определения функций

5. Какие уравнения называются равносильными (эквивалентными)?

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если все корни уравнения первого являются корнями второго и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого.

6. А как определить уравнение следствие?

Ответ: Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?

к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;
обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;
в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному. Появлению “посторонних корней” приводят преобразования:
а) приведение подобных членов – происходит расширение ОДЗ;
б) сокращение дроби на выражение, содержащие неизвестное (тоже происходит расширение ОДЗ);
в) умножение на выражение, содержащее неизвестное;
г) освобождение дроби от знаменателя, содержащего неизвестное. Необходимо обязательно делить проверку или лучше перейти к смешанной системе.

8. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения (в процессе решения).

Ответ:
а) Линейное;
б) квадратное;
в) уравнение высших порядков (биквадратным, возвратное, симметрическое);
г) уравнения содержащие модуль;
д) уравнение с параметром.]

9. Какие общие методы решения уравнений с одним неизвестным?

Ответ: Вынесение общего множителя (разложение на множители), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

Понятие равносильности для нас понятие только вводится, и поэтому проведем тест, как же вы этим понятием владеете.

Тест рассчитан на 5–7 минут. Контрольные задания даются в двух вариантах. После окончания работы на доске вывешиваются контрольные ответы. За каждое правильно выполненное задание – 1 балл. После окончания работы ученик оценивает свою работу самостоятельно, затем разбираются неверные ответы (к заданиям предлагаются).

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –3, –2, 1, 2, 3. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 6) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 6) = (1 – x)x

(x – 2)(x 2 – 6) = –x(x – 2)

x 2 – 6 = x

(x 2 + x – 6)(x 2 – x – 6) = 0

x + 3 = 0

x – 2 = 0

(x – 1)(x – 2)(x + 3) = 0

Равносильные уравнения

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –2, –1, 1, 2. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 2) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 2) = x(x – 1)

(x – 2)(x 2 – 2) = x(x – 2)

x 2 – 2 = x

x + 1 = 0

(x 2 – 1)(x – 2) = 0

(x 2 – x – 2)(x 2 + x – 2) = 0

x – 2 = 0

Равносильные уравнения

VI. Решение задач

Ученик должен определить вид уравнения, алгоритм решения данного уравнения, обратить внимание на способы его решения, выбрать рациональный способ решения.

Задачи взяты из “Сборника задач по алгебре” для классов с углубленным изучением математики под редакцией М.Л. Галицкого.

1. Уравнение третьей степени, в стандартном виде. Метод решения – разложения на линейные множители (теорема Безу):

Так как это уравнение рациональное целое с целыми коэффициентами, то оно имеет целые корни, являющиеся делителями свободного члена: 21: 1; 3; 7; 21. x₁ = 1 является корнем (убеждаемся подстановкой), поэтому многочлен левой части уравнения делится на двучлен х – 1.

Решим уравнение x² + 10x + 21 = 0. По теореме Виета корни: x₂ = –3, x₃ = –7, x₁ = 1.

Как еще с помощью теоремы Безу можно было выполнить разложение на множители?

Ответ: Если множитель делится на x – 1 и на x + 3, то он делится и на их произведение.

Это уравнение четвертой степени. Метод решения – группировка. Если левая часть уравнения представлена в виде разложения на линейные множители, а в правой – число и выносящиеся: (x + a)(x + b)(x + b)(x + c) = A и a + b = c + d, в этом случае возможна группировка множителей.

Сделаем замену x² + x = t и получим уравнение

3. 5 – 12x³ + 14x² = 12x – 5, 5x² – 12x³ + 14x² – 12x + 5 = 0 – возвратное уравнение членов степени. Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим почленно на x² и сгруппируем:

Сделаем замену:

4. – это дробно-рациональное уравнение, содержащее модуль.

Ответ: <0; 2; 4>

Алгоритм: а) находим нули модуля; б) дискриминант уравнения разбиваем на промежутки; в) раскрываем модуль на каждом из промежутков; г) выбираем ответ, учитывая данный промежуток; д) ответ – совокупность решений.

– это дробно-рациональное уравнение. Выделим квадрат разности:

Введем новую переменную и получим уравнение вида t² + 2t – 3 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения t = 1 или t = –3.

6. ax² + 3ax – (a + 2) = 0 – это квадратное уравнение с параметром. При решении уравнения с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их в зависимости от параметров при которых это выражение действительно определяет корни уравнения, то есть найти при каком значении параметра: г) x – единственный корень.

При D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при

При D 4 – 133х³ + 48х² – 133х + 78 = 0.

5. Для каждого значения параметра а решить уравнение ax² – (2a + 7)x + a + 3 = 0.

6. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет ровно один корень.

7 * . Решить уравнение x 4 + 4х + 3 = 0.

2. Дается оценка работы учащихся на уроке, выставляются в журнал. Сообщается дата и время консультации перед итоговой контрольной работой по этой теме.

План конспект урока на тему: » Различные способы решения уравнений «

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Дата «___»________ 20__г Класс 3-«__»

Тема урока: Различные способы решения уравнений

Повторение решения уравнений разными способами.

Закреплять мышление, речь, внимание.

Воспитывать познавательную активность, умение работать в коллективе, умение оценивать себя и одноклассников

Тип урока: урок закрепления знаний;

1. Поставьте знаки арифметических действий так, чтобы выполнялся данный порядок действий:

2. Поставьте знаки >,

9 · (5 + 4) … 9 · 5 + 4 8 · 7 – 16 … 8 · (7 – 2)

24 : 8 + 4 … 24 : (8 + 4) 63 : 7 + 2 … 63 : (7 + 2)

3 · (5 + 4) – 8 … 3 · 5 + 4 42 : 6 + 36 … 42 : (6 + 36)

8 : (9 – 7) – 1 … 4 · 4 – 8 6 · 7 – 42 … 42 : 7 – 6

На трёх тарелках лежали груши, по 7 штук на каждой. С каждой взяли по 4 груши.

– На какие вопросы можно ответить, выполнив действия:

4. Из 20 счётных палочек выложите фигуру, как на рисунке.

а) Переложите семь палочек так, чтобы получить два больших и два маленьких квадрата.

б) Уберите четыре палочки так, чтобы получить один большой и пять маленьких квадратов.

II. Сообщение темы урока.

— Сегодня мы будем решать уравнения способом подбора.

Моделирование учителем рассуждения ученика:

Из чисел 2, 5, 8, 11 выберем для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство.

В первое уравнение 18-х =10 подставим первое число 2. Получаем: 18-2=10. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 18-5=10. Это равенство также нельзя назвать верным. Значит, число 5 тоже не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 8. Получаем: 18-8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 8 является корнем данного уравнения.

Продолжаем рассуждать. В уравнение 2 + х = 7 подставим первое число 2. Получаем: 2+2=7. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 2+5=7. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 5 является корнем данного уравнения.

Тренируемся далее. В уравнение х-9=2 подставим первое число 2. Получаем:

2-9=2, но 2 меньше, чем 9, поэтому вычитание мы выполнить не сможем. Нужно попробовать подставить в уравнение число, которое больше, чем 9. подставим число 11. Получаем: 11-9=2. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 11 является корнем данного уравнения.

Найдем корень последнего уравнения. Подставим число 2 в уравнение х+8=10. Получаем: 2+8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 2 является корнем данного уравнения.

Данные уравнения мы решали способом подбора. Это способ не всегда бывает удобным. Уравнения можно решать и другим способом, но для этого нужно знать, как связаны между собой компоненты действий при сложении и вычитании.

III. Работа по теме урока.

№ 1 – решение с комментированием

а) Реши уравнения способом подбора:

с • 2 = 80 80 : а = 20 х : 2 = 40

б) Произведение чисел 3 и 2 равно 6. Запиши это равенство. Обе его части раздели на 2. Сделай вывод.

Вывод: Если Левую и правую часть равенства разделить на одно и то же число- равенство сохраняется.

в) Попробуй решить способом подбора уравнение х • 6 = 96.

Начнем подбор с числа 12.

12• 6 = 72 – не подходит

13• 6 = 78 – не подходит

14• 6 = 84 – не подходит

15• 6 = 90 – не подходит

16• 6 = 96 –подходит

№ 2 – решение с комментированием

а) Используя рисунок, ответь на вопросы. Что находится на левой чаше весов? Что можно сказать о массе одного пакета сахара? пяти пакетов сахара?

Как составлено уравнение х • 5 = 10?

б) Сравни этот рисунок с предыдущим. Какие изменения произошли? Ответь на вопросы.

Что находится на левой чаше весов? Почему на правой чаше весов осталась одна гиря массой 2 кг? Верно ли утверждение, что для решения уравнения обе его части нужно разделить на 5?

№ 3 – решение задачи с комментированием

В сказочной стране распродажа. Василиса Прекрасная купила 3 скатерти-самобранки по 50 монет, 2 шапки- невидимки по 18 монет и волшебную палочку, которая стоила в два раза дешевле, чем шапка-невидимка. Сколько всего монет заплатила Василиса Прекрасная за все покупки?

Скатерти шапки волш. пал.

50 • 3 18 • 2 18 : 3

50 • 3 + 18 • 2 +18 : 3 = 192 монеты

Масса одного стакана сахара 200 г, а масса одного стакана пшеничной муки — на 40 г меньше. Сколько стаканов составляют 480 г пшеничной муки?

200- 40 = 160 (г) – масса одного стакана пшеничной муки

480: 160 = 3 стакана

№5 — работа в группах.

Составь уравнения и реши их.

а) Если задуманное число уменьшить на 10, то получится число, равное частному чисел 36 и 9. Чему равно задуманное число?

б) Если задуманное число увеличить в 3 раза, то получится число, равное сумме чисел 30 и 21. Чему равно задуманное число?

Выступление групп. Защита решения.

IV. Решение задач при помощи уравнения.

Четверых мальчиков зовут Денис, Илья, Артем, Вова. Кого из мальчиков как зовут, если Илья не самый высокий, но все же он выше Дениса и Вовы, а Денис не выше Вовы?

– Что нового узнали на уроке?

Домашнее задание. № 7.

ГРУППА 1

ГРУППА 2

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/564266

http://infourok.ru/plan-konspekt-uroka-na-temu-razlichnie-sposobi-resheniya-uravneniy-1101198.html