Урок решение иррациональных уравнений 11 класс

Урок алгебры в 11-м классе по теме «Методы решения иррациональных уравнений»

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

Развивающие: Активизация мыслительной деятельности учащихся. Развитие познавательной активности и интереса к предмета.

Воспитательные: Развитие культуры математической речи при ответах на вопросы и при объяснении решения уравнений; зрительной памяти; внимательности и самостоятельности; творческого отношения к выполнению заданий.

Тип урока: Комбинированный.

Формы методы и педагогические приемы: Фронтальная беседа, комментирование решений, устная проверочная работа, создание проблемных ситуаций, дифференцированная самостоятельная работа, подготовка и защита плакатов с методами решения иррациональных уравнений, работа с учебником.

Оборудование: Магнитная доска, откидные доски, тетради, чистые листы, раздаточный материал (карточки с вариантами самостоятельной работ), плакаты с решениями иррациональных уравнений методом возведения в степень и замена переменных.

1. Организационный момент.
2. Работа с учебником, и устный опрос в форме фронтальной беседы.
3. Защита плакатов.
4. Устная проверочная работа.
5. Решение уравнений.
6. Самостоятельная работа.
7. Итоги урока.
8. Домашнее задание.

Работа с учебником: Учитель предлагает еще раз вспомнить понятие иррационального уравнения, примеры их решения (образцы в тексте), какими методами решали уравнения, какими понятиями при этом пользовались.

Устный опрос в форме фронтальной беседы с целью проверки теоретических знаний:

1. Что такое уравнение? [Уравнение – это равенство двух алгебраических выражений].
2. Что называется корнем уравнения? [Корнем уравнения называется, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство].
3. Что значит решить уравнение? [Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней].
4. Какие уравнения называются равносильными? [Два уравнения равносильны на множестве, если они имеют одни и те же корни из этого множества или не имеют корней на данном множестве].
5. Какие уравнения называют иррациональными уравнениями? [Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными уравнениями].
6. Каковы методы решения иррациональных уравнений? [Часто используемый прием решения иррациональных уравнений – это возведение в степень (чаще всего возведение в квадрат). Другой метод – это метод замены переменных].

Решить уравнение

Решение: I способ : Возведем обе части уравнения в квадрат.

Проверка: 1) х=0, то (неверно);

2) х=3, то (верно)

№2 Метод замены переменных.

Решить уравнение

Решение: Пусть t=

Значит, 2=

Ответ: 6

Плакаты ученики делали дома на ватмане. Прикрепив плакат на магнитной доске учащиеся поочередно защищают свой метод решения иррациональных уравнений.

Учащиеся задают вопросы докладчикам.

Почему при решении уравнения на плакате №1 в 1 способе поставлен всюду знак

(следствия), и в другом способе знак (равносильности)?[ Уравнение х 2 +5х+1=(2х-1) 2 имеет 2 корня – х₂=0, х₂=3, а уравнение имеет только один корень х=3, следовательно уравнения не равносильны и каждая следующая запись является следствием предыдущей в первом способе решения.

Во втором способе решения областью определения уравнения является множество чисел х0,5, а число х=3 принадлежит этому множеству, значит все переходы, равносильны.

2. Почему при решение уравнения не делали проверку корня?

[ Так как все переходы при решении уравнения равносильны, то проверка корня не требуется].

Устная проверочная работа: На откидной доске учителем заранее записаны задания

иррациональным?

2. Какие из чисел 5; 0;-3 являются корнями уравнений?

а) [x=0]

б) [x=5]

3. Решите уравнения

1) [x=83]

2) [x=±5]

3) [O]

4) [x=±3]

5) х-6 [x=9]

6) [x=5]

7) lg([-12)=0, [O]Ответы и комментарии:

Нет, потому что в нем переменная х не содержится под знаком корня или дробной степени.

Каждое из чисел надо подставить вместо переменной х в каждое из уравнений. Если равенство будет равным, то число является решением уравнения, если равенство неверно, то число является решением иррационального уравнения.

Возведем обе части уравнения в квадрате

х-2=81х=83 и выполним проверку (верно).

х 2 =25х=±5

Уравнение решений не имеет, т.к. корень четной степени не может быть отрицательным числом.

Возведем обе части уравнения в третью степень 1-х 2 =-8; х 2 =9; х=±3.

Корень уравнения легко найти подбором, это число 9, т.к. 9-6+9=0.

Возведем обе части уравнения в квадрат и решим показательное уравнение

Если то х=11, тогда lg(-1), чего быть не может, т.к. логарифмы отрицательных чисел не определены.

Решение иррациональных уравнений на доске и в тетрадях.

На доске заранее учителем записаны следующие уравнения:

1. ;

2.

3.

4. ;

Решение: Обе части уравнения возведем в квадрат и учтем область определения уравнения, при этом будем использовать знак .

Вопрос учителя: Почему область определения уравнения записана не равенством х>11, а не х11? [При х=11 знаменателем дроби равен 0, а на 0 делить нельзя].

2.

Решение: Так как под знаком записаны одинаковые выражения, то удобно применить метод замены.

Пусть тогда Решая квадратное уравнение относительно переменной Z, получим Z₁=5; Z₂=-2. Учитывая область определения уравнения х 2 +5х+1>0, заметим, что при Z=5 25+25+1>0 (да), а при Z=-2 4-10+1>0 (неверно), то Z₂=-2 посторонний корень. Вернемся к переменной х,

х₁=3; х₂=-8.

Проверка: х=3, (верно)

х=-8, (верно)

3.

Решение: Решим уравнение методом замены переменных.

Пусть тогда Чтобы составить вопрос уравнения с переменными и , возведем обе части уравнений в квадрат 3х+1=u 2 и 3х-6= 2 , заметим, что 3х+1-3х+6=7, т.е. u 2 — 2 =7. Получили систему уравнений относительно переменных u и , решаем ее:

Возвращаемся к переменной х.

; (или )

3х+1=163х=15х=5

(3х-6=93х=15х=5)

Проверка:

Комментарий учителя: некоторые учащиеся выбрали другой способ решения – возведения в квадрат, но он приводит к громоздким вычислениям, поэтому метод замены в данном уравнении более удачный.

4.

Решение: Уединим в левой части уравнения и возведем обе части уравнения в квадрат.

Д=19 2 -4*84=25; х₁= х₂= 7.

х=12, (неверно)

х=7, (верно)

х=12 – посторонний корень

5.

Решение: Будем использовать метод возведения обеих частей уравнения в нечетную третью степень, при котором посторонние корни не появляются.

6.

Решение: Обе части уравнения возведем в квадрат и запишем область определения данного уравнения.

На данном этапе урока наблюдалась ошибка при возведении двучлена в квадрат. Например: (х-7) 2 =х 2 -49, а надо (х-7) 2 =х 2 -14х+49. При выборе метода решения в уравнении №4 многие предпочитают метод возведения в квадрат, что не рационально.

Каждый учащийся получает карточку с одним из трех вариантов. Первый вариант для слабоуспевающих учеников, второй и третий для более успешных учащихся.

Решите уравнения: а)

б)

в) х-

Решите уравнения: а)

б)

в)

Решите уравнения: а)

б)

в)

Решения уравнений из самостоятельной работы. См. в приложении №1.

1) Перечислите методы решения иррациональных уравнений.
2) В чем заключается смысл каждого метода?
3) Оценки за урок.

Иррациональные уравнения, 11 класс, конспект урока и презентация

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Урок ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.doc

Министерство образования Российской Федерации

МОУ «Ближнеигуменская средняя общеобразовательная школа»

Белгородского района Белгородской области

Урок закрепления знаний.

Простит Елена Николаевна

Простит Алексей Владимирович

Урок закрепления знаний по теме :

« Иррациональные уравнения» 11класс.

Обучающие: расширение и углубление представлений учащихся о методах решения иррациональных уравнений; совершенствование умений и навыков самостоятельного приобретения знаний в процессе работы с информационным материалом; формирование умения решать иррациональные уравнения.

Развивающие: способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, способствовать развитию мышления, памяти.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к решению иррациональных уравнений, воспитывать чувство самоконтроля, культуры и дисциплины умственного труда; развивать интерес к математике путем информационных технологий.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Знания Способы деятельности

Опорные Основные 1) Орг. Момент

2) Проверка д/з

Определение Определение 3) Актуализация опорных

уравнения, иррационального знаний и умений

корня уравнения уравнения а) фронтальный опрос

Определение корня Метод решения 4) Закрепление

n -й степени через возведение а) тестирование

в степень. б) сам.работа с

сокращенного Метод решения источниками

умножения введением новой в) индивид.работа

переменной 5) Контроль и самоконтроль

Решение а) самостоятельная

квадратных Метод умножения работа по уровням

уравнений на сопряженное 6) Коррекция

выражение 7) Домашнее задание

Свойства корня 8) Подведение итогов урока

n -й степени 9) Рефлексия

1 .ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

Учитель: На доске записаны слова: Корень

Какое слово лишнее?

Какую тему объединяют остальные слова (иррациональные уравнения).

Запись в тетради даты и темы (Слайд 2)

Учитель: Наш урок мне хочется начать со слов великого физика и математика А.Эйнштейна. (Слайд 3) «Мне приходилось делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Это высказывание – эпиграф нашего урока.

Сообщение цели: «Сегодня на уроке мы продолжим изучение методов решения иррациональных уравнений, рассмотрим наиболее удобные приёмы решения уравнений, расширим представления об иррациональных уравнениях путём введения новых методов решения. Тема эта актуальна, т.к. иррациональные уравнения обязательно входят в задания ЕГЭ (уровень «В» и «С»).

2. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.

Учитель: На прошлом уроке мы познакомились с решениями простейших иррациональных уравнений. Дома вам были заданы уравнения из тестов ЕГЭ. Какой метод использовали при решении примеров? (метод возведения в степень и уединения радикала).

Какие два способа используются в данном методе? (Решение через проверку и решение с использованием равносильности)

Какие способы вы использовали при решении домашних уравнений?

Сдайте работы на проверку.

Работа по карточкам:

1) решить способом проверки

2) решить через равносильность

3)

Какой способ удобнее применять в следующих уравнениях?

3. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ

Что называется уравнением?

Что значит « решить уравнение»?

Что называется корнем уравнения?

Что называется корнем n -й степени из числа а ?

Иррациональными называются уравнения,… (содержащие переменную под знаком корня)

3) (Слайд 6, слайд 7)

Основные свойства = в, n – четное.

а) если а > о, то в ____________

б) если а = о, то в ____________

а) если а > о, то в _____________

б) если а = о, то в ____________

Какие уравнения являются иррациональными?

5) (Слайд 9)

Является ли число Х ₀ корнем уравнения:

6) (Слайд 10)

Доказать, что уравнение не имеет корней

1) (Слайд 11). На предыдущем уроке мы познакомились с методом решения:

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Решение иррациональных уравнений через проверку .

Если уравнение содержит корни четной степени, то при возведении в четную степень обеих частей уравнения возможно появление посторонних корней.

Поэтому каждый найденный корень нужно проверить подстановкой в исходное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

(

2) (Слайд 12) При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

Каждый найденный корень нужно проверить подстановкой в исходное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение

(

Решение иррациональных уравнений через равносильную систему.

Пример 3. Решить уравнение

Данное уравнение равносильно системе

4) (Слайд 14)

5) (Слайд 15) ТЕСТ

1) Нет решений 2) 3

1) 0 2) 16

3) нет решений 4) -16

1) 3 2) -3

3) 2 4) нет решений

_______________________________________________

1) 0 2) 5 3) 0; 5 4) нет решений

1) 1;8 2) нет решений

Код ответов: 1 2 1 2 4

6) Работа в группе.

Решить уравнение:

В это время сильные ученики разбирают метод введения новой переменной по компьютеру и метод умножения на сопряженное уравнение по тексту.

1. Метод введения новой переменной

Решить уравнение х 2 + 3 = 3 х + 10

х 2 – 3 х + 3 = 10

Пусть = у , у > 0

тогда у 2 + 3 у – 10 = 0.

у ₁ = – 5 (посторонний корень),

= 2

2. Метод умножения на сопряженное выражение.

Решить уравнение: – = 2

(Данное уравнение можно решить возведением в квадрат.)

– Попробуем найти другой способ решения. На предыдущем уроке мы говорили, что при помощи различных преобразований нужно освободиться от иррациональности.
Для данного уравнения это осуществимо при умножении обеих частей на выражение, сопряженное выражению – .

(– )(+) = 2(+) , причем +

х + 5 – ( х – 3) = 2(+)

Запишем систему из полученного и исходного уравнений.

сложим уравнения 2= 6

х + 5 = 9 х = 4.

1 ученик объясняет у доски пример

2 ученик объясняет решение примера

5. КОНТРОЛЬ И САМОКОНТРОЛЬ.

Учитель: Есть мудрое изречение: «Гений – это 99% усердия и только 1% таланта». Попробуйте проявить свою гениальность при выполнении самостоятельной работы.

«А» —

Проверка решения самостоятельной работы.

7. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Решить задания «В1» из тестов ЕГЭ 2005-2006. Для сильных учеников экзаменационный сборник 11 класса (автор – Кузнецова) № 6.15, 6.17.

8. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА

(Слайд 18). Общие методы решения

Возведение в степень, равную показателю корня

Введение новой переменной

Умножение на сопряженное выражение

Исследование свойства арифметического корня

Метод выделения полного квадрата

Какие методы решения вы хорошо усвоили? С какими ещё надо поработать?

Сможете ли вы решить простейшее рациональное уравнение на ЕГЭ в задании «В»?

Наш урок хочется закончить словами Владимира Мономаха: «Что умеете хорошего, то не забывайте, а чего не умеете – тому научитесь»!

Выбранный для просмотра документ презентация к уроку.ppt

Урок по алгебре 11 класс » Решение иррациональных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

рассмотрены различные виды иррациональных уравнений и способы их решения

Скачать:

Предварительный просмотр:

по алгебре и началам анализа

Тема: Решение иррациональных уравнений.

Цель: Обобщение и систематизация ЗУН учащихся по теме «Решение иррациональных уравнений». Подготовка учащихся к ЕГЭ.

— Развивать внимание, логическое мышление, математическую речь.

— Воспитание чувство товарищества, взаимовыручки.

Оборудование: проектор, сигнальные кружки 4 цветов для каждого ученика, карточки — задания для проверочной работы, лист оценки деятельности учащегося.

Структура урока: всего 45 мин.

1. Орг.момент. Постановка цели урока. 2 мин
2. Активизация знаний. Устная работа с тестами. 5 мин
3. Фронтальная работа. Решение задач. 15 мин
4. Физкультминутка . 2 мин
5. Проверочная работа. 15 мин
6. Подведение итогов. 2 мин
7. Рефлексия. 3 мин

1. Орг.момент. Постановка цели урока.

Здравствуйте, ребята. Добрый день, уважаемые учителя, приглашаю Вас на урок алгебры по теме “ Иррациональные уравнения”.

Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Вот и мы займемся уравнениями, а точнее повторим тему «Решение иррациональных уравнений». А так как у нас урок повторения знаний, а цель каждого такого урока – это подготовка к ЕГЭ. Данная тема отражена в КИМах ЕГЭ. Поэтому девиз нашего урока «Готовимся к ЕГЭ». Обобщим знания по теме: “Иррациональные уравнения”. Повторим методы решения уравнений, алгоритмы решения этими методами.

Для того ,чтобы приступить к уроку повторим теорию:

1) Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)

2) Назовите основной способ решения иррациональных уравнений.

3) Для чего необходимо проводить проверку при решении уравнений.

3.Устная работа. Тест. ( слайд)

У каждого из вас на столах имеются сигнальные кружки 4 цветов. Они нам помогут в проведении теста на внимание.