Урок решение систем тригонометрических уравнений 10 класс

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• что такое система тригонометрических уравнений;
• как решать системы тригонометрических уравнений;
• какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Записывается с помощью знака <

– система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основными методами решения систем уравнений являются:

— метод замены переменной.

Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.

Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.

При решении этой системы можно действовать по-разному:

1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)

2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

.

Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:

, то есть и должны быть одного знака.

.

Теперь введем новые переменные:

, (*) и решим вспомогательную систему:

.

Решим ее методом подстановки.

.

.

. Вернемся к исходным переменным.

,

.

С учетом условия получим две системы:

или

Ответ:

Или

Рассмотрим еще один пример.

С учетом области определения уравнений преобразуем каждое уравнение:

.

Теперь сложим эти уравнение, оставив в системе, например, первое уравнение:

,

,

.

Теперь выразим из второго уравнения y:

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Решите систему уравнений:

Введем новые переменные: .

Тогда вспомогательная система будет иметь вид:

.

,

или

.

Получаем четыре пары решений для вспомогательной системы:

; ; ; .

Так как , то решение имеет только первая система: .

.

Решите систему уравнений: .

Пусть .

Система примет вид: , то есть мы получили простую линейную систему.

Ее можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения:

,

,

,

,

.

Ответ:.

План урока по математике на тему Решение систем тригонометрических уравнении (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Раздел: 10.2 A Тригонометрические уравнения

НИШ ХБН г. Атырау

ФИО учителя: Адилгалиева Ж.С

Методы решения тригонометрических уравнении и их систем

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

10.2.3.16. уметь решать системы тригонометрических уравнений

сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения систем тригонометрических уравнений;

сформировать умения классифицировать по методам решений, применять эти методы в новой ситуации .

Учащиеся достиг цели, если

умеет решать тригонометрические уравнения методом разложения на множители.

объяснять решение тригонометрических уравнений;

Лексика и терминология:

арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа;

обратно тригонометрические функции;

частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений;

однородное тригонометрическое уравнение.

Серия полезных фраз для диалога/письма:

однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на …;

простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида … ;

Умение учиться, добывать самостоятельно информацию, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, работать в команде, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время

Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.

У учащихся закладываются базовые знания решения тригонометрических уравнений.

Навыки использования ИКТ

Использование интерактивной доски в качестве демонстрационного средства и средства записи.

Знают, как решать простейшие тригонометрические уравнения

Урок применения знаний в комплексе.

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Проверочная работа с целью восприятия нового материала

Работа в группах

Повторение пройденного материала.

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

Учитель: «Сегодня у нас очередной урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3). Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель обращается к учащимся:

«Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений»

Введение новой переменной.

Разложение на множители.

Деление обеих частей уравнения на cos ( mx ) для однородных уравнений первой степени.

Деление обеих частей уравнения на cos 2 ( mx ) для однородных уравнений второй степени.

Метод предварительного преобразования с помощью формул

Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает каким рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению .

Время на решение 15-20 минут.

1 группа готовит решение уравнения а),

2 группа-уравнение б)

3 группа –уравнение в)

4 группа –уравнение г)

«А по пятому уравнению д) попрошу обратить внимание группе учащихся» (можно разделить 2 –м учащимся решить одним из прилагаемых способов, а второй группке-другим способом). Если не успевают на уроке –задать на дом, с последующим объяснением на уроках

Математическая эстафета «Кто быстрее?»

Каждая группа получает карточки с уравнениями, они- находятся в файлах, на столах. Решив уравнение, один из учащихся группы выходит, изначально записывает ответ на доске, а потом проверяет решение со слайда.

Карточка с уравнениями (на столах- карточки без ответов)

а ) sin 2 x + 4cos x = 2,75;

б ) tg x + 3ctg x = 4;

в) 2 sin х · cos х — cos 2 x = 0;

г) 5 sin 2 x + sin х · cos х – 2 cos 2 x = 2.

(Решение показать на доске, желательно несколькими способами

ФО критерии оценивания: умеет решать простейшие тригонометрические уравнения

Объяснение новой темы

Повторение сведений о методах решения систем алгебраических уравнений

1. Решите систему уравнений (методом добавления).

Ответ: (5; 3).

2. Решите систему уравнений.

Восприятия и осознания материала о решение систем тригонометрических уравнений

Основные методы решения систем тригонометрических уравнений почти такие, как и методы решения алгебраических систем.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Прибавив и вычтя (1) и (2) уравнение, получаем

Ответ: х = (-1) + π n , n Z; у = ± + 2 nk , k Z .

Пример 2. Решите систему уравнений:

.

Из первого уравнения находим у = n — х.

Тогда cos х – cos ( n — х) = 1, cos х + cos х = 1,

2 cos х = 1, cos х = , х = ± +2 π n , n Z.

Затем находим: y= π — = ± + (1 — 2n) π , п Z.

Ответ: х = ± + 2 π п, у = ± + (1 — 2п) π , где n Z .

Пример 3. Решите систему уравнений:

Ответ: х = ( k + n ), y = ( k — n ), где n , k Z.

а) б)

Ответ: а) х= — π n , у = π n , n Z ;

б) х= (-1) k + nk , в = (-1) k +1 + n (1 — k ), k Z.

Формирование умений решать системы тригонометрических уравнений

Работа в группе

Решить систему уравнений:

а)

б)

в)

г)

Ответы: а) x 1 = + 2π k , y 1 = — 2π k , х2 = + 2π k , y 2 = — — 2π k , k Z .

б) х = ± + 2π k , y = π n где n Z , k Z .

в) х = + 2π k , у = + π n , где n Z , k Z.

г) х = — + π( n + k), n , k Z, у = — + n ( k — n ), n , k Z.

ФО критерии оценивания:

умеет решать системы тригонометрических уравнении

Было ли тебе интересно на уроке?

Сумел ли ты приобрести новые знания и умения на уроке?

Сумел ли ты применить свои знания?

Какой отметкой ты бы оценил свою работу на уроке?

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

учреждений. Базовый и

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Задача 1 . Решите систему уравнений

Из первого уравнения находим и подставляем во второе.

Получаем

Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случае имеем

Тогда, например, при n = 0 получаем

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:

Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.

Поэтому следует запомнить:

Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».

Задача 2 . Решите систему уравнений

Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Вопросы для контроля

1. Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
2. Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

Упражнения

Решите систему уравнений (1–8).