Урок решение систем уравнений методом замены переменной

Конспект урока «Решение систем уравнений методом введения новой переменной»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Открытый урок по теме

«Решение систем уравнений второй степени методом замены переменной»

1) Открыть совместно с учащимися новый метод решения систем уравнений (метод введения новых переменных), закрепить навыки решения систем уравнений другими методами (графическим, подстановкой и сложением).

2) Формировать потребность приобретения новых знаний, создать условия для контроля (самоконтроля) усвоения умений и навыков.

3) Развивать математическую речь при комментировании решения.

4) Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе, развивать самостоятельность и творчество.

Оптимально использовать методы обучения, соответствующие возрасту и развитию учащихся, для формирования знаний по изучаемой на уроке теме.

1.Создать условия для развития познавательной деятельности учащихся.

2.Способствовать формированию умений переносить знания в новую ситуацию.

3.Развивать математический кругозор, мышление и речь, внимание и память.

Содействовать воспитанию интереса к математике, формировать у учащихся умение осмысленно, целенаправленно организовывать на уроке свою деятельность, осознавать значимость каждого шага для себя.

Воспитывать ответственность за грамотно сформулированные и лаконичные ответы.

Тип урока : комбинированный.

Оборудование : мультимедийный проектор, карточки с заданиями, доска.

1. Организационный этап.

Учитель приветствует учеников.

Знакомит учеников с оценочным листом.

Ученики выставляют себе оценки за организационный этап.

2. Актуализация знаний.

Проверим домашнее задание.

Решить систему уравнений тремя различными методами (графическим, подстановкой и сложением)

Для каждого метода записать алгоритм его использования в тетрадь.

1 метод -графический

1)

Графиком этой функции является парабола, «ветви» направлены вверх, вершина в точке (0;-4)

2)

Графиком этой функции является прямая.

Точки пересечения (1;-3);(-3;5).

Алгоритм использования графического метода:

1.Построить графики уравнений в одной системе координат.

2. Найти координаты точки пересечения или указать, что таких точек нет.

3. Записать ответ.

Из второго уравнения выражаем у:

.

Подставляем в первое уравнение:

Если , то

Если , то

Алгоритм использования метода подстановки:

1. Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.

2. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной равное ему выражение.

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4. Найти соответствующее значение второй переменной

5. Записать ответ.

3 метод- алгебраическое сложение

Сложим уравнения системы, получим:

Если , то

Если , то

Алгоритм использования метода алгебраического сложения:

1. Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной.

2. Сложить или вычесть почленно левые и правые части уравнений системы.

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4. Найти соответствующее значение второй переменной

5. Записать ответ.

Какой из способов решения системы вам понравился больше?

Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.

3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Решим систему уравнений:

Какие основные методы решения систем уравнений вы знаете? (графический, подстановкой и сложением)

Какой из этих методов можно было бы применить к этой системе?

Обсуждаем применение графического способа.

Обсуждаем применение способа сложения.

Обсуждаем применение способа подстановки.

Приходим к выводу, что ни один из ранее изученных методов не подходит. Как тогда поступить? Как решать такие системы? Нужен другой метод.

Какую цель мы можем поставить перед собой на сегодняшнем уроке? (изучить другие методы решения систем уравнений второй степени научиться их применять на практике)

4. Первичное усвоение новых знаний .

Итак, решим систему:

Где мы можем узнать, как решаются такие системы? (в учебнике, в интернете).

Далее реализуется способ достижения информации.

Учитель предлагает ученикам выбрать для себя источник информации и воспользоваться им.

Учащихся предлагают ввести новую переменную.

Введём новую переменную .

Тогда первое уравнение системы можно переписать в виде

Умножим обе части уравнения на ( так как по условию ).

;; .

Делаем обратную замену.

Если , то .

Подставляя во второе уравнение системы, получаем: .

это уравнение корней не имеет.

Если , то .

Подставляя во второе уравнение системы, получаем: .

Если , то .

Если , то .

Решим ещё одну систему:

Учащиеся делают вывод, что для решения этой системы одной переменной недостаточно, надо вводить две переменные, например:

.

Если .

Если .

Давайте уточним цель нашего урока (научиться решать системы уравнений второй степени с помощью метода введения новых переменных).

5. Первичная проверка понимания .

Составление алгоритма использования метода введения новых переменных.

Учащиеся разбиваются на пары и вместе со своими соседями по парте составляют алгоритм использования метода введения новых переменных.

Различные варианты ответов зачитываются с места.

Алгоритм использования метода введения новых переменных:

1. Ввести одну или две новые переменные.

2. Записать новое уравнение или систему уравнений.

3. Решить новое уравнение или систему уравнений и найти значения введённых переменных.

4. Сделать обратную замену и найти значения переменных из условия.

5. Записать ответ.

Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.

6. Первичное закрепление

Чтобы помочь затрудняющимся ученикам, даётся подсказка:

Сделаем замену переменной:

Получим новую систему:

3. Если , то . Если , то .

4. Получаем две системы:

или

Потом на экране выводится правильное решение.

Сделаем замену переменной . Получим новую систему:

.

Если , то .

Если , то .

Получаем две системы:

или

корней нет

Если , то .

Если , то .

Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.

7. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Найти в Интернете три системы уравнений, которые можно решить методом введения новой переменной.

Записать в тетрадь их условие и решение.

Самые интересные системы будут разобраны на следующем уроке у доски.

8. Рефлексия (подведение итогов занятия)

Давайте заполним оценочные листы и посмотрим, какие у вас получились оценки.

Чему мы научились на сегодняшнем уроке?

(Решать системы уравнений способом замены переменной)

Что необходимо сделать, для того чтобы решить систему уравнений таким способом?

(сделать замену переменной, решить новое уравнение, выполнить обратную замену)

Что было наиболее сложным (трудным)?

Какие вопросы остались после проведения занятия?

Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение уравнений методом замены переменной»

Разделы: Математика

Класс: 8.

Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.

Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.

Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Оргмомент.

2. Сообщение темы урока и целей урока.

— Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.

3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)

4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).

У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.

— А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)

Слайд 4 Решить уравнение:

х 2 = 16

2х 2 = 50

х 2 + 9 = 0

х 3 — 4х = 0

Слайд 5 Разложить на множители:

  1. а 2 — 36 =
  2. 3в 2 — 12 =
  3. х 2 — 10х + 25 =
  4. х 3 — 49х =

Раскрыть скобки:

  1. (х 2 + 3х ) 2 =
  2. (7 — х 2 ) 2 =
  3. — (3х — 5у ) 2 =

5. Изучение нового материала.

— Сейчас попробуйте решить это уравнение:

Слайд 6 (х 2 — 3 ) 2 + 5 (х 2 — 3 ) + 6 = 0 (Проблема)

— Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?

Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.

— Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 — 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

— Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?

— Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется » замена переменной». Это и есть тема нашего урока. Запишите. Слайд 8

— Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

— Посмотрите решение еще одного примера.

— А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.

Пример 1 (3х — 4 ) 2 — 5(3х — 4 ) + 6 = 0

Сделаем замену переменной. Пусть 3х — 4 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

Вернемся к замене.

1) 3х — 4 = 3

2) 3х — 4 = 2

Ответ: ; 2.

Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 — 7 (х 2 + 3) 2 = — 3

Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 49 — 24 = 25

Вернемся к замене:

1) х 2 + 3 = 3

х = 0

2) х 2 + 3 =

х 2 =

нет корней

6. Закрепление изученного материала.

— Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25.

7. Подведение итогов и задание на дом.

— Что нового вы узнали на уроке?

— Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной?

— Ваше домашнее задание на экране.

— На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха!

8. Самостоятельная работа. (Приложение 2)

Вариант 1 Вариант 2
Решить уравнения:

1) (х — 5 ) 2 — 2 (х — 5 ) = 8

2) (х 2 — 8 ) 2 + 3 (х 2 — 8 ) 2 — 4 = 0

Решить уравнения:

1) (2х + 3 ) 2 — 4 (2х + 3 ) = 5

2) (х 2 + х ) 2 — 11 (х 2 + х ) = 12

Вариант 3 Вариант 4
Решить уравнения:

1) (х 2 — 2х ) 2 + (х 2 — 2х ) = 12

2) (х 2 + 2 ) 2 — 5 (х 2 + 2 ) — 6 = 0

Решить уравнения:

1) (х 2 — х ) 2 — 8 (х 2 — х ) + 12 = 0

2) (х 2 — 1 ) 2 + 2 (х 2 — 1 ) = 15

Дополнительно.

  1. (х 2 + 4х )( х 2 + 4х — 17 ) + 60 = 0
  2. (х 2 — 5х )( х 2 — 5х + 10 ) = — 24

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm \)
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm \)

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x^2+y^2)xy=10>& \end\right. \)
Замена переменных: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(a^2-2b)b=10>& \end\right.\Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <9b-2b^2=10>& \end\right. \)
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: \( \left[\begin < l >\left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.& \\ \left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \end\right. \)


источники:

http://urok.1sept.ru/articles/601133

http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/metody-resheniya-sistem-uravnenij-s-dvumya-peremennymi/

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут