Урок решение уравнений методом введения новой переменной

Технологическая карта урока на тему «Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной»
методическая разработка по математике

Технологическая карта урока

Скачать:

Предварительный просмотр:

« Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной »

урок открытия новых знаний

• организовать учебную деятельность по освоению знания о способе решения тригонометрических уравнений методом введения новой переменной и отработке первичного умения решать тригонометрические уравнения данным методом;
• способствовать формированию организационно-рефлексивных УУД студентов.

• организовать повторение учебного материала, актуального для приобретения новых знаний;
• создать проблемную ситуацию с помощью пробного действия;
• организовать рефлексивную процедуру;
• обучить данному методу решения тригонометрических уравнений;
• организовать тренинг и самоконтроль студентов;
• проконтролировать освоение.

• слайд с заданием для актуализации знаний;
• слайд с заданием для пробного действия;
• слайд с планом деятельности;
• слайд с алгоритмом решения уравнений данного класса;
• слайд с уравнениями для этапа первичного закрепления;
• слайд с заданием для самостоятельной работы;
• эталон для самопроверки.

• карточка с заданием для пробного действия;
• карточка с уравнениями для этапа первичного закрепления;
• карточка с уравнениями для самостоятельной работы.

Технологическая карта урока

Цель: организовать направленное внимание на начало урока.

Знакомство с листом оценивания

II .Создание проблемной ситуации.

• мотивировать к выполнению пробного действия;
• организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия.

Создает условия для продуктивной деятельности студентов

Включаются в учебную деятельность, отвечают на вопросы.

создается позиция положительного настроя на уроке

Организация учебного процесса на этапе II.

А теперь попробуйте решить уравнение

cos 2 х — 3 = — 3sin x.

Что у вас получилось? Есть ответы?

— нет ответа; есть ответ, но неправильный; есть правильный ответ.

Студенты выполняют задание, отвечают на вопросы, составляют план решения, выслушивают мнения одногруппников и выбирают наи-лучший

формулирование проблемы (П);

выдвижение гипотез и их

познавательная инициатива (Р);

аргументация своего мнения и позиции в коммуникации

III. Фиксация затруднений.

Цель: организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении студентами пробного действия или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе III.

Вариант первый (нет ответа).

Что вы не смогли сделать? (Не смогли решить это уравнение).

Вариант второй (нет правильных ответов)

Удалось ли получить верный ответ? (Не удалось получить верный ответ).

Вариант третий (есть правильные ответы)

Вы можете объяснить, как вы действовали, и доказать, что действовали правильно? (Нет)

Студенты отвечают на вопросы

осознание и построение речевого высказывания в устной и письменной форме полное и точное выражение своих мыслей

Соответствие с задачами и условиями коммуникации

IV. Выявление причины затруднения (выход в рефлексию).

• организовать восстановление выполненных операций;
• организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний и умений, которых не достает для решения исходной задачи и задач такого типа вообще.

Цель: организовать анализ студентами возникшей ситуации и на этой основе подвести их к выявлению причины затруднения.

Организация учебного процесса на этапе IV.

В чем причина ваших затруднений? Каких знаний и умений вам не хватает?

(Я не знаю, как решить это уравнение; я раньше не решал такие уравнения; я не знаком с таким видом уравнений; я не знаю способа решения.)

Вы только это (конкретное) уравнение не можете решить или все уравнения, подобные этому?

(Вообще не можем решать такие уравнения.)

Значит, нужно узнать способ решения целого класса подобных уравнений.

критерии для сравнения,

Учет разных мнений координирование

в сотрудничестве разных позиций (К); анализ,

гипотез и их обоснование

связей (П); самостоятельное

решения проблем (П);

аргументация своего мнения (К)

V. Мотивация студентов на освоение новых знаний.

Цель: организовать самоопределение студентов к учебной деятельности.

Организация учебного процесса на этапе V.

Хотите этому научиться? (да) Для чего вам надо уметь решать такого рода уравнения? (Такие уравнения часто встречаются в ЕГЭ, нам надо уметь решать такие уравнения).

Как вы думаете, по силам ли это вам?

(Да, если Вы поможете, мы справимся.)

Дорогу осилит идущий. Так в путь!

Включаются в учебную деятельность,

Рефлексия способов и

условий действия(П); самостоятельный учет

действия в новом учебном материале (Р);

использование общих приемов решения задач

VI. Проектирование выхода из проблемной ситуации: формулирование целей и задач, поиск новых средств и способов решения.

Цель: организовать построение проекта выхода из затруднения:

— студенты ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения);

— студенты определяют средства;

— студенты формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

Организация учебного процесса на этапе VI

Итак, ребята, что тогда будет целью нашего урока?

( освоить знание о способе решения данного класса тригонометрических уравнений и выработать первичное умение решать уравнения такого класса этим способом.)

Что для этого надо сделать?

• составить алгоритм решения уравнений данного класса;
• самостоятельно потренироваться действовать по алгоритму;
• проконтролировать себя;
• выполнить самооценку.

Включаются в учебную деятельность, отвечают на вопросы.

создается позиция положительного настроя на уроке

VII. Реализация построенного проекта.

• Цели: организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом, выбранными способами и средствами;
• организовать фиксацию нового способа действия в речи;
• организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона)?
• организовать фиксацию преодоления затруднения;
• организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

Организация учебного процесса на этапе VII.

На доске уравнение.

sin 2 x – 3sin x +2 = 0.

1. Предположите, как можно решить это тригонометрическое уравнение? На уравнение какого класса оно похоже? (Оно похоже на квадратное уравнение).
2. Попробуйте разработать план решения (Как вы будете это делать, пошагово) – работа в парах.

Контроль : Как вы действовали? А у кого другое предложение?

Вы разработали план решения конкретного уравнения. А поможет ли этот план решить уравнение cos 2 х — 3 = — 3sin x ? (Нет, не знаю…)

Для решения уравнения этот план надо усовершенствовать. Я помогу вам.

Что общего в тригонометрических уравнениях и в чем различие? Первое уравнение вы не смогли решить, а для второго составили план решения.

На доске уравнения:

cos 2 х — 3 = — 3sin x.

sin 2 x – 3sin x +2 = 0.

Что надо выполнить, чтобы не было этих различий, а сходство оставалось?

Тогда, какие преобразования мы должны сделать и с помощью чего?

Различие устранили, теперь можем использовать наш план действий для решения первого уравнения?

Приступайте к решению данного уравнения (согласно своему плану).

Ребята, вы справились с заданием? Вы преодолели свои затруднения?

На доске уравнения

2 sin 2 x + 3cos x = 0

А при решении этих уравнений можно воспользоваться нашим планом действий?

Тогда каким должен быть первый шаг при решении такого типа тригонометрических уравнений?

( Применить известное тригонометрическое тождество для приведения данного тригонометрического уравнения к квадратному уравнению.)

Каким известным методом?

( Методом введения новой переменной.)

Получили алгоритм, который поможет вам решить целый класс подобных уравнений.

Зарядка для глаз.

Студенты проговаривают пошагово план решения, на слайде фиксируется каждый шаг.

Решение уравнения методом введения новой переменной

Математика. Уравнения. 283гр. Дистанционное обучение.

Просмотр содержимого документа
«Решение уравнения методом введения новой переменной»

21.04.20. Задание: Записать конспект и решить уравнения

Тема: Основные приемы решения уравнений:

Решение уравнения методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной:

1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a, y, t. )

(прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

2. решается новое уравнение;

3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.

Пример: Решить уравнение (2x−21) 2 −5(2x−21)+4=0.

Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.

Используем то, что обе скобки равны.

Обозначаем 2x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4•1•4=25-16=9

Возвращаемся к обозначенному:

Методом введения новой переменной решаются биквадратные уравнения:

ax 4 +bx 2 +c=0, где a,b,c ∈R; x 2 =y; ay 2 +by+c=0. В биквадратных уравнениях всегда используется новая переменная. Получается квадратное уравнение

Пример: Решить уравнение:

x 4 −13x 2 +12=0; x 2 =y, тогда

1)x 2 =12; или 2) x 2 =1,

Задание: Решить уравнения 1. (3x−4) 2 +3 (3x−4)-4=0.

Конспект урока «Решение систем уравнений методом введения новой переменной»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Открытый урок по теме

«Решение систем уравнений второй степени методом замены переменной»

1) Открыть совместно с учащимися новый метод решения систем уравнений (метод введения новых переменных), закрепить навыки решения систем уравнений другими методами (графическим, подстановкой и сложением).

2) Формировать потребность приобретения новых знаний, создать условия для контроля (самоконтроля) усвоения умений и навыков.

3) Развивать математическую речь при комментировании решения.

4) Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе, развивать самостоятельность и творчество.

Оптимально использовать методы обучения, соответствующие возрасту и развитию учащихся, для формирования знаний по изучаемой на уроке теме.

1.Создать условия для развития познавательной деятельности учащихся.

2.Способствовать формированию умений переносить знания в новую ситуацию.

3.Развивать математический кругозор, мышление и речь, внимание и память.

Содействовать воспитанию интереса к математике, формировать у учащихся умение осмысленно, целенаправленно организовывать на уроке свою деятельность, осознавать значимость каждого шага для себя.

Воспитывать ответственность за грамотно сформулированные и лаконичные ответы.

Тип урока : комбинированный.

Оборудование : мультимедийный проектор, карточки с заданиями, доска.

1. Организационный этап.

Учитель приветствует учеников.

Знакомит учеников с оценочным листом.

Ученики выставляют себе оценки за организационный этап.

2. Актуализация знаний.

Проверим домашнее задание.

Решить систему уравнений тремя различными методами (графическим, подстановкой и сложением)

Для каждого метода записать алгоритм его использования в тетрадь.

1 метод -графический

1)

Графиком этой функции является парабола, «ветви» направлены вверх, вершина в точке (0;-4)

2)

Графиком этой функции является прямая.

Точки пересечения (1;-3);(-3;5).

Алгоритм использования графического метода:

1.Построить графики уравнений в одной системе координат.

2. Найти координаты точки пересечения или указать, что таких точек нет.

3. Записать ответ.

Из второго уравнения выражаем у:

.

Подставляем в первое уравнение:

Если , то

Если , то

Алгоритм использования метода подстановки:

1. Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.

2. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной равное ему выражение.

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4. Найти соответствующее значение второй переменной

5. Записать ответ.

3 метод- алгебраическое сложение

Сложим уравнения системы, получим:

Если , то

Если , то

Алгоритм использования метода алгебраического сложения:

1. Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной.

2. Сложить или вычесть почленно левые и правые части уравнений системы.

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4. Найти соответствующее значение второй переменной

5. Записать ответ.

Какой из способов решения системы вам понравился больше?

Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.

3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Решим систему уравнений:

Какие основные методы решения систем уравнений вы знаете? (графический, подстановкой и сложением)

Какой из этих методов можно было бы применить к этой системе?

Обсуждаем применение графического способа.

Обсуждаем применение способа сложения.

Обсуждаем применение способа подстановки.

Приходим к выводу, что ни один из ранее изученных методов не подходит. Как тогда поступить? Как решать такие системы? Нужен другой метод.

Какую цель мы можем поставить перед собой на сегодняшнем уроке? (изучить другие методы решения систем уравнений второй степени научиться их применять на практике)

4. Первичное усвоение новых знаний .

Итак, решим систему:

Где мы можем узнать, как решаются такие системы? (в учебнике, в интернете).

Далее реализуется способ достижения информации.

Учитель предлагает ученикам выбрать для себя источник информации и воспользоваться им.

Учащихся предлагают ввести новую переменную.

Введём новую переменную .

Тогда первое уравнение системы можно переписать в виде

Умножим обе части уравнения на ( так как по условию ).

;; .

Делаем обратную замену.

Если , то .

Подставляя во второе уравнение системы, получаем: .

это уравнение корней не имеет.

Если , то .

Подставляя во второе уравнение системы, получаем: .

Если , то .

Если , то .

Решим ещё одну систему:

Учащиеся делают вывод, что для решения этой системы одной переменной недостаточно, надо вводить две переменные, например:

.

Если .

Если .

Давайте уточним цель нашего урока (научиться решать системы уравнений второй степени с помощью метода введения новых переменных).

5. Первичная проверка понимания .

Составление алгоритма использования метода введения новых переменных.

Учащиеся разбиваются на пары и вместе со своими соседями по парте составляют алгоритм использования метода введения новых переменных.

Различные варианты ответов зачитываются с места.

Алгоритм использования метода введения новых переменных:

1. Ввести одну или две новые переменные.

2. Записать новое уравнение или систему уравнений.

3. Решить новое уравнение или систему уравнений и найти значения введённых переменных.

4. Сделать обратную замену и найти значения переменных из условия.

5. Записать ответ.

Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.

6. Первичное закрепление

Чтобы помочь затрудняющимся ученикам, даётся подсказка:

Сделаем замену переменной:

Получим новую систему:

3. Если , то . Если , то .

4. Получаем две системы:

или

Потом на экране выводится правильное решение.

Сделаем замену переменной . Получим новую систему:

.

Если , то .

Если , то .

Получаем две системы:

или

корней нет

Если , то .

Если , то .

Ученики ставят себе баллы в оценочный лист.

7. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Найти в Интернете три системы уравнений, которые можно решить методом введения новой переменной.

Записать в тетрадь их условие и решение.

Самые интересные системы будут разобраны на следующем уроке у доски.

8. Рефлексия (подведение итогов занятия)

Давайте заполним оценочные листы и посмотрим, какие у вас получились оценки.

Чему мы научились на сегодняшнем уроке?

(Решать системы уравнений способом замены переменной)

Что необходимо сделать, для того чтобы решить систему уравнений таким способом?

(сделать замену переменной, решить новое уравнение, выполнить обратную замену)

Что было наиболее сложным (трудным)?

Какие вопросы остались после проведения занятия?