Урок решение уравнений с параметром 11 класс

Урок-семинар по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами», 11 класс
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему

Представлена разработка урока-семинара по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами» , 11 класс, подготовка к ЕГЭ

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок-семинар по подготовке к ЕГЭ. Решение уравнений и неравенств с параметрами.

• Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами
• Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.
• Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.
• Способствовать подготовке обучающихся к сдаче ЕГЭ по математике.

1. Организационный момент.

2. Решение задач.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

x 2 – (│a+ 5│- │a — 5│)x + (a-12)(a+12) = 0

два различных отрицательных корня.

-5 и 5 делят числовую прямую на три промежутка, на которых подмодульные выражения имеют знаки

Рассмотрим три случая:

x 2 – (- a — 5 + a — 5)x + (a-12)(a+12) = 0

x 2 + 10х + а 2 -144 = 0

Используем теорему Виета

Отсюда получаем а

x 2 – (a + 5 + a — 5)x + (a-12)(a+12) = 0

Из этого следует, что решений нет.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все корни уравнения 3ах 2 + (3а 3 – 12а 2 -1)х – а(а-4)=0 удовлетворяют неравенству │х│≤ 1.

1) При а =0 x = 0, а это удовлетворяет условию задачи.

2)Рассмотрим случай при а ≠ 0

Раскроем скобки и разложим выражение в левой части уравнения на множители

3ах 2 + 3а 3 х – 12а 2 х -х – а 2 + 4а = 0

х(3ах – 1) + а 2 (3ах – 1) – 4а(3ах – 1) = 0

(3ах -1)(х + а 2 — 4а) = 0

Решим первое уравнение 3ах -1 = 0 х =

учитываем, что │х│≤ 1

Решаем второе уравнение х + а 2 — 4а = 0 х = 4а — а 2

учитываем, что │х│≤ 1

Решением первого неравенства является

Решение второго неравенства

Объединяя все решения, получаем

Найдите значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень

1) при а = 0 уравнение имеет единственный корень

2) рассмотрим два случая:

а) 1 – ах ≥ 0 ах ≤ 1

уравнение при этом условии имеет вид:

1- ах = 1 + (1-2а)х + ах 2

Корень х=0 удовлетворяет неравенству ах ≤ 1 при любом а

Значит, необходимо найти те значения а, при которых других решений нет.

При а ≠ 0 корнем является также . Это значение удовлетворяет неравенству

ах ≤ 1 при а ≤ 2. То есть при а ≤ 2, а ≠ 0 уравнение имеет как минимум два корня. Однако эти корни совпадают при а=1

б) Осталось выяснить, сколько корней имеет уравнение при а > 2 в случае

1 – ах 2, неравенство можно переписать в виде х ≥ .

Уравнение при этих условиях имеет вид

-1+ ах = 1 + (1-2а)х + ах 2

-1 + ах – 1 –х + 2ах — ах 2 = 0

ах 2 + (1-3а )х + 2 = 0.

Получили квадратное уравнение с ограничениями на корни. Так как f при а > 2, то существует ровно один корень у этого уравнения.

Итак, при всех а ≠ 0, а ≠ 1 исходное уравнение имеет по крайней мере два корня.

Задание 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых для любого значения х выполняется неравенство

│3sin 2 x + 2asinx ∙ cosx + cos 2 x + a│≤ 3,

Заданное неравенство эквивалентно системе неравенств

Используя тождество sin 2 + cos 2 =1, запишем систему в виде

Последняя система имеет решение для любого х, если

Если а = 0, то система также разрешима для любого х.

Найти наибольшее значение параметра b, при котором неравенство

имеет хотя бы одно решение.

При b=0 неравенство верно при всех допустимых значениях х

Рассмотрим случай b >0.

Умножим обе части неравенства на -1, получим

Так как b >0, разделим обе части неравенства на b

Заметим, что выражение в правой части принимает значения от 0 до .

Оценим выражение в левой части неравенства.

Пусть , (х-4) 2 = а. Рассмотрим функцию f(a) = , a ≠ 0

f ‘(a) = . Найдем точки, в которых производная равна 0.

Следовательно, a = является точкой минимума функции.

Так как, выражение в правой части принимает значения от 0 до , то исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при 0 , а наибольшее значение выражение 2t принимает в случае равенства .

3. Задание на дом:

1.Найти все значения параметра а, при которых неравенство имеет одно решение.

2. При каких значениях параметра p уравнение разрешимо.

3. При каких значениях параметра а уравнение

имеет три различных корня.

4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

Урок по теме: «Уравнения с параметрами». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели:

1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.
2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.
3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

Ход урока

1. Организация урока.

На классной доске — дата, тема урока, оформлены записи (элементы опорного конспекта), опорный конспект по повторению, задачи для устной работы.

На рабочих местах учащихся – опорные конспекты, карточки с заданиями.

Урок начинается с приветствия. Объявляется тема урока и задачи. Нацелить учащихся на важность изучаемого материала не только для подготовки к экзаменам в школе, но и при подготовке к поступлению в вузы.

2. Устные упражнения.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 3х – 6 = 0, 0х = 5, 0х = 0.

Работа с опорным конспектом по повторению:

ах = в — линейное

а 0 х = — один корень,

а = о, в 0 — нет корней,

а = 0, в = 0 — х – любое число.

б) 2х 2 – 3х + 6 = 0

Д 2 + вх + с = 0 , а 0 — квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

3. Если Д 0,
— х при х 2 + вх + с = 0 и 2х 2 –3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях ах = в и ах 2 + вх + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке. Работать будем с опорными конспектами.

3. Изучение нового материала.

1) Определение. Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: аx + в = 0 (x – переменная, а и в – параметры),

аx 2 + вx + с = 0 (x – переменная, а, в и с – параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Пример: (а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0

Первая постановка задачи: решите уравнение. Это значит, что для каждого значения параметра а, необходимо найти решения.

Вторая постановка задачи: при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня.

Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение уравнений. (Работа с опорными конспектами. Учащиеся привлекаются к поиску ответов).

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x – а = 0 Ответ: при а ( — , + ) х = а.

б) 5x = а Ответ: при а ( — , + ) х = .

в) x : 2 = а Ответ: при а (- , + ) х = 2а.

г) [x] = [а] Ответ: при а (- , + ) х = ± а.

д) x 3 = а Ответ: при а (- , + ) х = .

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) аx = 10 Ответ: при а 0 х = , при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а 0 корней нет, при а = 0 х – любое число.

в) [х] = а Ответ: при а о х = а.

Решение г). Если а 2 – 4 0, т.е. а ± 2, то х = .

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х – любое число.

Ответ: при а ± 2 х = ,

при а = — 2 корней нет,

при а = 2 х – любое число.

(Обратить внимание учащихся на тот факт, что при решении данного уравнения получили исключение для параметра. В таких случаях необходимо делать проверку (испытание) для каждого исключения: подставить значение параметра в исходное уравнение и решить его).

4. Закрепление. (Коллективный поиск решения, оформление решения на доске и в тетрадях учащихся).

= 1

Решение: х 2, тогда а = х – 2 или х = а + 2.

Найдем а, при котором х = 2

Итак, при а = 0 х = 2, но это посторонний корень.

Ответ: при а = 0 корней нет, при а 0 х = а + 2.

2) (а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0.

(Обратить внимание учащихся на то, что в ходе решения уравнения 1) появилось исключение для х. В таком случае необходимо найти значение параметра, при котором есть исключение для переменной).

Повторить основные этапы решения уравнений с параметрами.

Домашнее задание: опорный конспект и решение уравнений (примерный набор заданий – карточки).

2) = 0,

Конспект урока математики Решение уравнений с параметром 11 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Новосибирска

«Средняя общеобразовательная школа № 194»

Конспект урока по математике

«Решение уравнений с параметром

(задание № 18 ЕГЭ по математике)»

для учащихся 11 класса

Разработал учитель математики

Морозова Наталья Павловна

КОНСПЕКТ УРОКА

Тема урока : Решение уравнений с параметром (задание № 18 ЕГЭ по математике).

o обучающая: формирование умений решать уравнения с параметром.

o развивающая: развитие математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания и памяти;

o воспитывающая:воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля, развитие самостоятельности и творчества.

Тип урока : комбинированный.

Экран, компьютер, проектор, документ-камера.

Учебник Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, Никольский С.М., 2015

Основные понятия : уравнения с модулем, уравнение с параметром, рациональное уравнение.

План урока(с указанием времени) :

1. организационный момент (постановка цели урока) – 3 мин.;

2. актуализация знаний – 5 мин.;

3. объяснение нового материала – 18 мин.;

4. решение тренировочных упражнений – 10 мин.;

5. итог урока – 4 мин.

Время урока : 40 мин.

1. организа-ционныймомент (постановка цели урока)

Учитель математики: Здравствуйте!

Сегодня мы рассмотрим различные способы решения уравнений с параметром.

Записывают тему урока.

2. актуализа-ция знаний

Ответьте на вопросы:

— когда дробь равна нулю;

— способы решения уравнения с модулем;

— способы решения уравнения с параметром.

Обучающиеся отвечают на вопросы:

— дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля;

— метод интервалов, графический способ;

— аналитический способ, графический способ.

3. объяснение нового материала

Задания с параметром– одна из самых сложных задач в ЕГЭ по математике.

Решите двумя способами

Найдите все значения параметра а, при котором уравнение имеет ровно 2 решения.

1 способ. Аналитический.

Решим 1 уравнение:

Уравнение будет иметь два корня, если они не совпадают,

Проверим 2 условие

.

.

,

,

,

,

Ответ: при

2 способ. Графический.

Построим график функции

Если х=3,75, то а=7,5.

,

Ответ: при .

Обучающиеся делают конспект.

4. решение тренирово-чных упражнений

Решить самостоятельно уравнение с параметром

2 способами (1 вариант — аналитически, 2 вариант – графически).

Обучающиеся решают в тетради уравнение, проверку проводят с помощью документ-камеры.

при

Обсуждение с обучающимися в конце урока не только того, что «мы узнали» (чем овладели), но и того, что понравилось (не понравилось) и почему, что бы хотелось выполнить еще раз, а что сделать по-другому.

Участие в обсуждение.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 359 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 04.08.2021
• 121
• 2

• 04.08.2021
• 98
• 0

• 04.08.2021
• 83
• 0

• 04.08.2021
• 115
• 0

• 04.08.2021
• 115
• 1

• 04.08.2021
• 308
• 2

• 04.08.2021
• 134
• 0

• 04.08.2021
• 155
• 4

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 04.08.2021 99
• DOCX 65.4 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Морозова Наталья Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 3810
• Всего материалов: 14

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.