Урок решение задач с помощью систем уравнений

Решение задач с помощью систем уравнений
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Школьник учится составлять мат.модели (выбор удобных переменных, их обозначение, точное словесное описание, составление уравнений или их сиситем в соответствии с условием задачи)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок: Решение задач с помощью систем уравнений (математические модели реальных ситуаций)

(Учитель первой квалификационной категории Лемехова Г . М.)

Тип урока: урок общеметодологической направленности.

• Сформировать умение применять системы уравнений при решении задач;
• Развитие познавательной деятельности учащихся на основе систематизации теоретических основ.

• Научить решать задачи с применением систем уравнений.
• Обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме.

1. Организационный момент.
2. Определение темы и задач урока.

Чтобы решать задачи, что мы должны знать?

Знать: как решать системы уравнений (алгоритмы решения), знать формулы

Уметь: составлять системы уравнений, применять различные способы при решении систем уравнений.

3. Какие шаги надо выполнить при решении задач с помощью уравнений или систем уравнений?

Этапы решения текстовой задачи.

1. Составление математической модели (выбор удобных переменных, их обозначение и точное словесное описание, составление уравнений или их систем в соответствии с условием задачи.)
2. Работа с составленной моделью .(решение полученной математической задачи)
3. Выбор тех решений , которые удовлетворяют условиям задачи (нахождение искомой величины и запись ответа).

Два подхода к решению задачи с помощью составления дробно-рационального уравнения или систем уравнения.

• В одном варианте менее сложный этап составления математической модели, но более сложная математическая модель, то есть более трудный этап решения полученной задачи.
• В другом варианте более сложный этап составления модели , но менее сложный этап решения .
• Поскольку объективно первый этап – этап составления модели труднее ( на этом этапе выполняется творческая работа, чем второй – этап решения модели ( на этом этапе выполняется техническая работа- работа по готовым алгоритмам), то более целесообразно упрощать именно первый этап – этап составления модели, то есть работать с двумя переменными.

Поскольку этап решения систем более простой (по алгоритму), то повторим алгоритмы решения систем уравнений .По принципу «от простого к сложному2

Решение систем: способом сложения, способом подстановки, графическим, способом замены переменных. Какой из этих способов дает погрешность, т.е. менее точный и поэтому нецелесообразно применять при решении задач?

Чтобы применить тот или иной способ, что надо знать?

Повторим алгоритм, наиболее часто применяемый к решению систем уравнений.

Указать порядок выполнения в способе сложения и в способе подстановки

Вариант 1. Установить порядок действий, проставив нумерацию в том порядке, в котором решается система уравнений способом подстановки

Вариант 2. Установить порядок действий, проставив нумерацию в том порядке, в котором решается система уравнений способом сложения.

Выражают в одном из уравнений одну переменную через другую.

Выражают в одном из уравнений одну переменную через другую.

Складывают левые и правые части уравнений.

Складывают левые и правые части уравнений.

Умножают левые и правые части одного из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных оказались противоположными числами..

Умножают левые и правые части одного из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты при одной из переменных оказались противоположными числами..

Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную

Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную

Решают получившееся уравнение с одной переменной.

Решают получившееся уравнение с одной переменной.

Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение.

Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение.

1 . Способ подстановки;

1). Выразить у через х (или х через у) из одного уравнения системы;

2). Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение системы;

3). Решить получившееся уравнение с одной переменной ;

4). Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную;

5). Записать ответ в виде пар чисел (х; у).

1 . Способ подстановки;

1). Выразить у через х (или х через у) из одного уравнения системы;

2). Приходят к уравнению с одной переменной, подставив полученное выражение в другое уравнение системы;

3). Решить получившееся уравнение с одной переменной ;

4). Подставив найденное значение одной переменной, находим вторую переменную;

5). Записать ответ в виде пар чисел (х; у).

Задание №2. Указать способ решения.

Карточка №2. Ф.И._________________________________________________________________________________________

Задание . Указать способ решения. Поставить букву «С»-сложение или «П»- подстановка. (Возможен вариант –«С» и «П»), Что предпочтительнее?

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.
2. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений:

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0
• Б)
• В)
• Г)

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

1 способ— с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

корень х=-12 не удовлетворяет условию х>0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ— с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

Конспекты уроков по теме: «Решение задач с помощью систем уравнений » ( 7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Чернослободская основная школа»

Шацкий муниципальный район

Конспекты уроков по теме:

«Решение задач с помощью систем уравнений »

Автор: Трандина Л.Н. учитель математики

МОУ «Чернослободская ОШ»

Шацкого района Рязанской области

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнений»

Цели изучить способ решения задач с помощью составления систем уравнений; формировать умение составлять системы уравнений по условию задачи и решать их.

изучить алгоритм решения задач с помощью систем уравнений;

применять алгоритм для решения задач

Тип урока: изучение нового материала.

I .Актуализация знаний 1) анализ самостоятельной работы: работа над ошибками.

2) Решим систему уравнений.

Выполним замену переменных: = a , = b . Получим и решим систему уравнений:

Вернёмся к замене: = 4, значит, x = ;

= 3, значит, y = .

Ответ : .

II . Объяснение нового материала.

Вспомним, в чём заключается способ решения задач с помощью составления уравнения: обычно , но не всегда. за х обозначают меньшую величину, а дальше по условию задачи.

Также задачи могут решаться и с помощью составления системы уравнений.

Схема решения задачи с помощью системы уравнений:

1). вводят обозначения неизвестных и

составляют систему уравнений;

2). решают систему уравнений;

3). возвращаясь к условию задачи и

Составьте систему уравнений по условию задачи( c выбором ответа)

« Одна сторона прямоугольника меньше другой на 5 см, периметр прямоугольника равен 38 см. Найти стороны этого прямоугольника.»

ВЫБЕРИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ.

А) Х – У = 5, Б) Х + У = 5, В) Х – У = 5

II. Формирование умений и навыков.

1) Вначале рассмотрим несколько заданий на составление системы уравнений по условию задачи, а затем уже перейдем непосредственно к решению задач.

1. Запишите с помощью системы уравнений следующую ситуацию:

а) Сумма двух чисел равна 17. Одно из них на 7 меньше другого.

б) Периметр прямоугольника равен 400 м. Его длина в 3 раза больше ширины.

В классе 20 учеников. Среди них есть девочки и мальчики. Известно, что девочек больше чем мальчиков на 4 человека. Сколько мальчиков и девочек в этом классе?

Найти два неизвестных элемента.

В этой задаче неизвестно количество девочек и количество мальчиков в классе.

2. Обозначить неизвестные элементы двумя переменными.

Пусть в классе x девочек, а y количество мальчиков,

Всего в классе (х+у) учеников.

По условию задачи известно, что всего в классе 20 учеников.

Составим первое уравнение системы: х+у=20.

По условию задачи известно, что девочек на 4 человека больше, то есть ху на4. Составим второе уравнение системы. х-у=4

Составим и решим систему двух уравнений.

х+у=20 х+у=20 х+у=20 у=20-х

х-у=4 2х= 24 х=12; у= 20-12; у=8

Ответ: 12 девочек в классе; 8 мальчиков в классе.

Решим задачу № 1099 (учебник)

Пусть под просо отведено хга, а под гречиху уга.

Вместе просо и гречиха занимают (х+у) га.

По условию задачи известно, что вместе просо и гречиха и занимают 19га.

Составим первое уравнение системы: х+у=19

По условию задачи известно, что под гречиху отведено на 5 га больше, чем под просо, то есть ух на5. Составим второе уравнение системы.

Составим и решим систему двух уравнений.

х+у=19 х+у=19 х+у=19 х=19-у

у-х=5 2у= 24 у=12; х= 19-12; х=7

Ответ: 7га отведено под просо; 12 га отведено под гречиху.

IV . Подведение итогов урока. Выставление оценок.

V . На дом: п.45; Выучить алгоритм решения задач с помощью систем линейных уравнений; № 1100; №1096(б)

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнении»

Цели: продолжить формирование умения решать задачи с помощью систем уравнения; закрепить способы решения систем уравнений; развивать логическое мышление, память, речь; воспитывать внимательность, самостоятельность, умение оценивать свои возможности.

Организационный момент с постановкой целей урока.

Девиз «Где есть желание, найдётся путь»

Активизация изученного материала

а) работа по карточкам (2 человека) решают систему уравнений

б) устная работа

— тест (презентация) ответы дают с помощью сигнальных карточек.

1. Выразите х через у в уравнении х+5у=14

2. Выразите у через х в уравнении 4х-у=6

3. .Результат сложения уравнений 4х-2у=6 и -2х+5у=-12 равен

Формирование умений и навыков.

Решим задачу №1101 (учебник)

Пусть в мастерской отремонтировали легковых х машин, а грузовых машин у.

Вместе легковых и грузовых машин отремонтировали (х+ у).

По условию задачи известно, что вместе легковых и грузовых машин отремонтировали 22 машины. Составим первое уравнение системы: х+у=22

По условию задачи известно, что легковых машин на 8 меньше отремонтировали, чем грузовых, то есть ху на8. Составим второе уравнение системы.

Составим и решим систему двух уравнений.

Ответ: 15 машин грузовых

Решим задачу № 1104(учебник)

Пусть ослица несла х мешков, а мул нёс у мешков. Если ослица отдаст 1 мешок мулу, то у неё останется х – 1 мешок, а у мула станет у + 1 мешок. По условию у мула станет в 2 раза больше мешков, чем у ослицы, то есть получим уравнение: у + 1 = 2( х – 1).

Если мул отдаст 1 мешок ослице, то у него останется у – 1 мешок, а у ослицы станет х + 1 мешок. По условию в этом случае количество мешков у них станет равным, то есть получим уравнение: у – 1 = х + 1.

В итоге имеем систему уравнений:

Ответ : 5мешков и 7 мешков.

У Толи 18 монет по 2 р. и по 5 р. на сумму 57 р. Сколько монет каждого достоинства у Толи?

Пусть у Толи х монет по 2 р , и у монет по 5р. Всего монет у мальчика (х+у).

По условию задачи известно, что всего монет у мальчика 18 штук. Составим первое уравнение системы: х+у=18

У Толи денег двухрублевыми купюрами 2хруб, а денег пятирублевыми купюрами 5уруб. Всего денег у Толи (2х+5у)руб.

По условию задачи известно что всего денег у Толи 57 руб.

Составим второе уравнение системы.

Составим и решим систему двух уравнений.

х+у=18 (-2) -2х-2у=-36 х+у=18

2х+5у=57 2х+5у =57 3у= 21 у=7 ; х=18-7; х=11

Ответ: 11 монет по 2 рубля; 7 монет по 5 рублей.

– Какие существуют способы решений систем уравнений с двумя переменными? Опишите каждый из них.

– Как решаются задачи с помощью составления системы уравнений?

На дом: № 1102,1103. Выучить памятку (схему).

Схема решения задачи с помощью системы уравнений:

1). вводят обозначения неизвестных и

составляют систему уравнений;

2). решают систему уравнений;

3). Возвращаясь к условию задачи и

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнений»

Цели: отработать навыки применения схемы решения текстовых задач на составление системы линейных уравнений с двумя переменными к решению задач на движение (движение навстречу и движение в одном направлении); совершенствовать умение решать системы линейных уравнений с двумя переменными аналитическими способами.

Тип урока: применение знаний, умений и навыков

I . Формулировка цели и задач урока

Напоминаем ученикам о существовании и необходимости рассмотрения еще одного вида задач: на движение с помощью системы двух уравнений. Поэтому основная учебная цель урока: научиться составлять системы линейных уравнений, отражающих процесс движения (прямолинейного, равномерного), описанный в текстовых задачах ( обратив внимание на движение навстречу и движение в одном направлении.

I I . Актуализация опорных знаний

; 3) 2х — 3 = 2; 4) 0х = 5.

2. Составьте уравнение по условию задачи:

1) стороны прямоугольника х и у, а периметр 26 см;

2) в одном шкафу х книг, во второй у книжек; если перевести с первой шкафы во вторую 20 книг, то в первой будет в 2 раза больше, чем стало во второй; тетрадь стоит х грн. ручка в грн.; за две ручки заплатили на 2 грн. больше, чем за три тетради.

3 . Являются ли данные системы уравнений равносильными:

III. Формирование умений и навыков.

1 . Решим задачу № 1107 (учебник)

Решение ( с помощью таблицы)(через проектор)

Пусть первый автомат изготовлял в час х деталей, а второй – у деталей. Можно заполнить таблицу и решить задачу так:

п ервый автомат

в торой автомат

с овместная работа

Составим и решим систему уравнений:

3 х + 600 – 2 х = 720;

2 у = 600 – 2 · 120 = 360;

Ответ : 120деталей изготовил первый автомат; 180 деталей изготовил второй автомат.

2. Решим задачу: № 1110 ( учебник)

Обозначим скорости автомобилей через х км/ч и у км/ч. Выделим процессы: движение автомобилей навстречу друг другу и движение в одном направлении. Соответственно заполним две таблицы.

Получаем первое уравнение: 2 х + 2 у = 280.

Движение в одном направлении

Получаем второе уравнение: 14 х – 14 у = 280.

Составим и решим систему уравнений:

Ответ : 80 км/ч скорость автомобиля из пункта А; 60 км/ч скорость автомобиля из пункта В.

3. Решим задачу ( данную задачу можно решить с помощью систем уравнений, а можно с помощью уравнения).

Поезд прошёл первый перегон за 2 ч, а второй за 3 ч. Всего за это время он прошёл 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если на втором перегоне она была на 10 км/ч больше, чем на первом.

Решение: (с помощью системы уравнений) первый способ решения.

Пусть на первом перегоне скорость поезда была х км/ч, а на втором перегоне у км/ч.

По условию задачи известно, что на втором перегоне скорость была на 10 км/ч больше, чем на первом, то есть ух на 10.

Получим первое уравнение системы: у-х=10.

За 2 часа поезд прошел 2х км, а за 3 часа поезд прошел 3у км. Всего поезд прошел (2х+3у)км.

По условию задачи известно, что всего поезд прошел 330км.

Получим второе уравнение системы: 2х+3у=330.

Составим и решим систему уравнений.

у-х=10 (  3) 3х -3у=-30 у-х=10 у-х=10 у= 60+10; у=70

2х+3у=330 2х+3у= 330 5х=300 х=60 х=60 х=60

Ответ: 60 км/ч скорость поезда первом перегоне; 70 км/ч скорость поезда втором перегоне.

Второй способ решения задачи ( с помощью уравнения).

Пусть на первом перегоне скорость поезда была х км/ч,

Тогда на втором перегоне скорость была (х+10) км/ч,

За 2 часа поезд прошел 2х км, а за 3 часа поезд прошел 3(х+10) км.

Всего поезд прошел 2х +3(х+10) км.

По условию задачи известно, что всего поезд прошел 330км.

Составим и решим уравнение.

60 км/ч скорость поезда первом перегоне;

60+10=70(км/ч) скорость поезда втором перегоне.

Ответ: 60 км/ч ; 70 км/ч.

Вывод: Ребята, вы поняли, что одну и ту же задачу можно решить и с помощью систем уравнений и с помощью уравнения.

Но есть такие задачи, которые можно решить только с помощью систем уравнений.

IV .Подведение итога урока и выставление оценок.

Обобщаем и систематизируем представления о: 1) содержание задач на составление систем уравнений с двумя переменными и 2) общую схему решения таких задач составлением системы уравнений;3) рассмотрели задачи «на движение», решаемые двумя способами.

V . На дом: № 1108,1110, 1092(а)

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнений»

Образовательная: рассмотреть способ решения задач на движение по реке с помощью систем двух уравнений, добиться понимания учащимися, что скорости на воде бывают разными, рассмотреть формулы вычисления скорости по течению реки, против течения, собственной скорости и скорости течения реки. Формировать навык решения несложных задач, применяя эти формулы. Продолжить формирование умения решать задачи с помощью систем уравнения, Развивающая: Через восприятие нового материала и решение задач, используя элементы неожиданности, развивать у учащихся умение мыслить, сводить задачи к простым житейским ситуациям, тем самым учить не пугаться нового материала. Формировать умение обобщать, логически мыслить, развивать навыки коллективной работы и самостоятельной, приучать к постоянному самоконтролю. Развивать интерес к математике с помощью использования ИКТ и через создание на уроке положительных эмоций.

Воспитательная: Прививать интерес к знаниям, в том числе интерес к математике. Воспитывать коммуникативность, ответственность у учащихся за собственные знания и успехи класса в целом. Учить точности, четкости и аккуратности в работе, на которых базируется математика. Создавать атмосферу, которая стимулирует сотрудничество и взаимопомощь учащихся в учебном труде.

Тип урока: Комбинированный урок.

Организационный момент. Проверка домашней работы.

Домашняя работа состоит из одной простой задачи, сложной задачи, решаемые с помощью систем уравнений и решение системы уравнений.

Решение сложной задачи «сильный» ученик на перемене сканирует и демонстрирует классу в начале урока, отвечая на вопросы, если они возникнут. Если есть ошибки в данном решении, то исправляем их по тексту красным маркером. Решение несложной задачи и системы учитель проверит, собрав тетради.

Ответьте устно на следующие вопросы:

Как вы понимаете скорость лодки в неподвижной( стоячей) воде?

Как найти скорость по течению и против течения, если известны собственная скорость лодки и скорость течения? ( V _с +Vт); ( V _с –Vт)

Как вычислить скорость собственную лодки, если известны скорость по течению и скорость против течения и скорость течения.( Vп.т — Vт); (Vпр.т + Vт)

Особое внимание следует обратить на единицы измерения – они

должны быть одинаковыми (например: путь в км, время в часах,

скорость в км/ч или путь в м, время в минутах, скорость в м/мин).

Вместо «скорость течения реки» можно говорить «скорость реки» (если так понятнее)

Формирование умений и навыков.

Решим задачу № 1112 (учебник)

Решение:1) 70:3,5= 20км/ч – скорость по течению.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки, а у км/ч – скорость течения реки.

Тогда скорость по течению реки (х+у) км/ч. По условию задачи известно, что скорость по течению реки 20км/ч .

Получим первое уравнение системы: х+у=20.

Скорость лодки против течения (х-у) км/ч.

Лодка по течению прошла за 4 ч расстояние 4(х+у)км.

Лодка против течению прошла за5 ч расстояние 5(х-у)км.

Лодка по течению за 4 часа прошла столько же сколько против течения за 5 часов.

Получим второе уравнение системы: 4(х+у)= 5(х-у)

Составим и решим систему уравнений.

х+у=20 х+у= 20 х+у=20 х+у=20

4(х+у)= 5(х-у) 4х+4у= 5х-5у 4х+4у-5х+5у=0 -х +9у=0

Ответ: 18 км/ч скорость лодки в стоячей воде ( собственная скорость лодки)

Решим задачу № 1113 ( учебник)

Пусть х км/ч – собственная скорость теплохода, а у км/ч – скорость течения реки. Выделим процессы: движение теплохода по течению и против течения реки в первом и во втором случаях. Заполним таблицу

Получим первое уравнение: 3 ( х + у ) + 4 ( х – у ) = 380. Получим второе уравнение: ( х + у ) + 0,5 ( х – у ) = 85.

Составим и решим систему уравнений:

Ответ : 55 км/ч и 5 км/ч.

3*. Решим задачу № 1121.

Пусть 10 %-ного раствора нужно взять х г, а 15 %-ного – у г.

Всего нужно получить 80 г раствора, то есть получим уравнение:
х + у = 80.

В х г 10 %-ного раствора содержится 0,1 х г соляной кислоты, а в у г 15 %-ного раствора – 0,15 у г соляной кислоты. В результате получили 80 г 12 %-ного раствора, в нём соляной кислоты 80 · 0,12 = 9,6 г.

Получим уравнение: 0,1 х + 0,15 у = 9,6.

Составим и решим систему уравнений:

III. Итоги урока. Проставление оценок.

– Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

– Какие существуют способы решения систем уравнений? Опишите каждый из них.

– Как решить задачу с помощью системы уравнений?

– Как используется таблица при решении задач «на движение»?