Урок решения системы линейных уравнений

ОТКРЫТЫЙ УРОК РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
план-конспект урока по алгебре (7 класс)

ОТКРЫТЫЙ УРОК РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Скачать:

Вложение	Размер
otkrytyy_urok.docx	252.51 КБ

Предварительный просмотр:

УРОК ПО ТЕХНОЛОГИИ СИСТЕМНО-ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА

Разработка урока по алгебре в 7б классе.

Тема. Способы решения систем линейных уравнений .

Учитель математики МБОУ СОШ№5 СИДЬКО С. Н

Тип урока : Урок систематизации и обобщения знаний и умений.

Место урока : 8 урок из запланированных 11 ч.

Цель: Формировать умения и навыки решения систем линейных уравнений.

(формирование познавательных УУД)

— повторить способы решения систем линейных уравнений;

— отрабатывать умения решать системы линейных уравнений разными способами,

— развивать вычислительные навыки.

(формирование регулятивных УУД)

— развивать познавательный интерес к предмету, математическую речь.

(формирование коммуникативных и личностных УУД)

— воспитывать заинтересованность, активность на всех этапах урока;

— воспитывать умение слушать других, умение сотрудничать в группе;

— воспитывать чувство ответственности, самостоятельность.

Методы работы: словесный (беседа), наглядный (презентация), практический.

Формы работы: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Технологии: здоровьесберегающая технология, системно-деятельностный подход.

Цель этапа: Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебный процесс.

Приветствие класса ,слова «Классная работа»

Пожелайте друг другу удачи .

Цель этапа: 1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для продолжения закрепления знаний учащихся по данной теме;

2) Сформулировать и согласовать цели урока.

Повторить материал по теме, открыть новые знания, закрепить новые знания, выбрать себе домашнее задание (разноуровневое)

Перед каждым из вас лежит лист самооценки, на каждом этапе урока вы ставите себе 1 балл(УСПЕХ) или 0 баллов(неуспех)

Открытый урок по математике на тему: «Решение систем уравнений». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Тип урока: обобщающий урок.

Вид урока: урок закрепления умений и навыков.

Оборудование: мультимедийная установка, плакаты: Периодическая система элементов Д. И. Менделеева, система кровообращения человека, солнечная система, физическая система СИ, соединительные союзы русского языка.

Цели урока:

Содействовать обобщению и систематизации знаний учащихся по теме “Решение систем уравнений”; продолжить закрепление следующих умений: решение систем уравнений графическим способом, способом подстановки, способом сложения (вычитания).
Развитие познавательного интереса, совершенствовать навыки решения систем уравнений;
Связать математику с другими предметами.
Обобщить знания основного программного материала.

Задачи урока.

Воспитательная – формирование нравственных убеждений.
Развивающая – развитие внимания и логического мышления, памяти.
Учебная – обобщить и повторить знания по применению в реальной жизни темы данного урока.

Эпиграф к уроку записан на доске “Где есть желание, найдется путь”.

I. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы должны обобщить весь материал § 15 “Решение систем уравнений”, совершенствовать навыки решения систем уравнений т. е.

1) способ подстановки;

2) способ сложения (вычитания);

3) графическим способом. Один из великих философов сказал: “ ГДЕ ЕСТЬ ЖЕЛАНИЕ, НАЙДЕТСЯ ПУТЬ!”. Мы сегодня на уроке с большим желанием будем решать системы, определяя свой рациональный путь.

II. Проверка домашнего задания.

Проверяются решения домашних задач.

III. Фронтальная работа с классом:

1. Теоретический опрос: один из учащихся читает контрольный вопрос, располагающийся в учебнике на стр. 184.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными;

2. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

3. Что является графиком уравнения ax+by=c, где х, y переменные, а = 0, b = 0.

4. Если говорят, что задана система уравнений, что это значит?

5. Что является решением системы линейного уравнения с двумя переменными?

6. Что, значит, решить систему линейного уравнения с двумя переменными?

7. Сколько решений может иметь система линейного уравнения с двумя переменными?

Каждый вопрос сопровождается мультимедийным ответом. Приложение № 1. Слайд № 1, № 2.

Учитель рассказывает о системах окружающих нас в повседневной жизни. Ученики вспоминают о предметах, где они встречали системы. Это предметы: русский язык (соединительные союзы), биология (система кровообращения человека), физика (система СИ), химия (периодическая система элементов), астрономия (солнечная система).

Теоретический материал закрепляется тестом, сопровождаемый взаимопроверкой. Приложение № 1. Слайд № 3.

ТЕСТ.

Какие из перечисленных уравнений являются линейными?
Какая пара чисел является решением уравнения 3х-2у=5?
Какая пара чисел является решением системы:
Какая из перечисленных систем имеет одно решение?
Какая из перечисленных систем имеет бесконечно много решений?
Какая из перечисленных систем не имеет решения?

Взаимопроверка теста учениками. Каждый вопрос теста выводится на большой мультимедийный экран, решение комментируется.

Учитель сообщает, что система, не имеющая решений, называется несовместной. 7. В заданиях теста найдите несовместную систему?

IV. Закрепление изученного материала. Слайд № 4 — № 8. 1) Данную систему решаем

Графическим способом.

Построить в координатной плоскости графики уравнений системы.

Если прямые, являющиеся графиками линейных функций пересекаются, значит, система имеет единственное решение.

Если прямые параллельны, то система не имеет решений.

Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.

Способом подстановки.

Выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

Решают получившиеся уравнение с одной переменной;

Находят соответствующее значение второй переменной.

Способом сложения.

Умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

Решают получившееся уравнение с одной переменной. 11х = -22, х = — 2\

Находят соответствующее значение второй переменной.

Записываем ответ. (-2; 3)

У доски прорешиваются задания графическим способом, где есть несовместная система.

Способом подстановки решается задача № 1174.
Способом сложения решается задача № 1180.
1. Решите систему способом подстановки:
у = 5-х,
3х – у = 11.

2. Решите систему способом сложения:

3х – 2у = 4,
5х + 2у = 12. 2х + 3у = 10,
– 2х + 5у = 6.

3. Решите задачу.

Периметр прямоугольника равен 26см. Периметр прямоугольника равен 16см.

Его длина на 3 см больше ширины. Его ширина на 4 см меньше длины.

Найдите стороны прямоугольника. Найдите стороны прямоугольника

1. Решите систему способом подстановки:

3х + у = 7,
9х – 4у = -7. х – 3у = 6,
2у – 5х = -4.

2. Решите систему способом сложения:

х – 4у = 9,
3х + 2у = 13. 2х + у = 6,
– 4х + 3у = 8.

3. Решите задачу.

Туристическую группу из 42 человек Расселили в двух- и трехместные номера. .

Всего было занято 16 номеров. Сколько среди них было двухместных и сколько трехместных?

За покупку канцтоваров на сумму 65 коп. Таня расплатилась пяти- и десятикопееч ными монетами. Всего она отдала 9 монет.

Сколько среди них было пятикопеечных и сколько десятикопеечных?

Ответы каждого задания располагаются на карточках определённого цвета, которые нужно сложить на край парты в порядке выполнения задания. Среди предоставленных карточках есть лишние.

Результатом самостоятельной работы является триколлор флагов РТ и РФ. Учитель комментирует результаты самостоятельной работы.

белый цвет – благородство,

синий цвет – верность,

красный цвет – мужество, любовь.

зелённый цвет обновление,

белый цвет — надежда,

красный цвет — символ борьбы за свободу.

V. Подведение итогов урока.

Учащимся выставляются оценки, комментируется домашняя работа.

Урок «Системы линейных уравнений. Методы решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Системы линейных уравнений — основные понятия

Уравнение называется линейным , если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

—

линейное, а уравнения

не являются линейными.

В общем виде система m уравнений с n переменными записывается так:

. (1)

Числа

называются коэффициентами при переменных , а
—
свободными членами .

Совокупность чисел

называется решением системы (1), если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами. Найти значения и возможно только при условии, если
.
Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема 1 (Крамера). Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Если же , то система или несовместна, или неопределённа.

Пример 1. Решить систему:

. (2)

Согласно теореме 1 имеем:

Итак, решение системы (2):

Как явствует из теоремы 1, при решении системы уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай:

система имеет единственное решение.

Второй случай:

и

система совместна, но неопределённа. Это будет тогда, когда коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны, т.е.

Третий случай:

тогда

и система несовместна, так как в знаменателе неизвестных стоит нуль, т.е. неизвестные числовых значений не имеют.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными ), если все решения одной являются решениями другой, и наоборот.

Теорема 2. Если обе части некоторого уравнения системы n линейных уравнений с n переменными умножить на произвольное число и отнять от соответствующих частей другого уравнения, то получится новая система, эквивалентная первоначальной, т.е. они или обе несовместны или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Следствие. Если конечное число раз от произвольных уравнений системы отнимать любые другие её уравнения, умноженные на постоянные величины, то получится система, эквивалентная первоначально.

Практически теорема 2 и следствие из него будут применены и разобраны при рассмотрении метода Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2. Решить систему уравнений:

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений

Метод Гаусса решения системы n уравнений с n переменными представляет систематизированную схему последовательного исключения переменных. С помощью первого уравнения исключим переменную из второго и всех последующих уравнений. Для этого от второго уравнения отнимем первое, умноженное на

от третьего – первое уравнение, умноженное на

Это возможно, так как

После выполнения этих преобразований могли появиться уравнения вида

(3)
(за исключением первого). Если среди них есть хотя бы одно с отличным от нуля свободным членом, то данная система уравнений является несовместной и на этом её решение закончилось бы.

Если же во всех уравнениях имеющих вид (3), свободные члены равны нулю, то это означает, что система имеет решение, а уравнения вида (3) – «лишние» и их исключаем из системы.

В результате получим эквивалентную данной системе новую систему уравнений, число уравнений которой

, (4)

новые коэффициенты и свободные члены после выполнения преобразований.

В системе (4) уже нет уравнений с равными нулю коэффициентами при всех переменных. В частности, хотя бы один коэффициент второго уравнения отличен от нуля. Сохраняя первое уравнение системы (4) без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную из всех последующих уравнений. Для этого от третьего уравнения отнимем второе, умноженное на

от четвёртого – второе, умноженное на

В результате получим эквивалентную данной систему уравнений, число уравнений которой

. (5)

Продолжим процесс последовательного исключения переменных. Если при этом ни разу не появилось уравнение вида (3) ни с отличным от нуля, ни с равным нулю свободным членом, то в итоге получим эквивалентную данной системе систему уравнений треугольного вида

. (6)

Эта система уравнений, как и исходная, содержит столько уравнений, сколько в ней переменных, т.е. n . Она имеет только одно решение. Его легко найдём, решая систему «с конца». Для этого из последнего уравнения определим и т.д. Уравнения системы (6) разрешим, поскольку, как это следует из её вывода, все коэффициенты, у которых оба индекса одинаковы, отличны от нуля.

Итак, с помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n уравнений с n переменными. Система является несовместной, если при последовательном исключении переменных встретится хотя бы одно уравнение вида (3) с отличным от нуля свободным членом, и совместной, если таких уравнений не появится. Совместная система является неопределённой, если встретится хотя бы одно уравнение вида (3) с равным нулю свободным членом. Если же уравнений вида (3) не появится вовсе, то система является определённой. В этом случае она приводится к системе уравнений треугольного вида (6) и легко решается «с конца».

Пример 3. Применяя метод Гаусса, решить систему уравнений:

Решение. С помощью первого уравнения нужно исключить из последующих уравнений переменную . Но первое уравнение не содержит переменной . Поэтому сначала меняем местами первое уравнение со вторым, в которое эта переменная входит и фактически будем решать систему

Шаг 1. Чтобы с помощью первого уравнения исключить переменную из последующих уравнений, от третьего уравнения отнимем первое, умноженное на 4, а из четвёртого уравнения – первое и получим систему

Шаг 2. Оставляя без изменения первое уравнение новой системы, с помощью второго исключаем переменную из последующих уравнений. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 10, а к четвёртому – второе, умноженное на 9. В результате получим систему

Шаг 3. Сохраняя первые два уравнения новой системы, с помощью третьего уравнения исключаем переменную из последнего уравнения, прибавляя к нему третье, умноженное на 9,5. В результате приходим к системе треугольной формы, содержащей четыре уравнения и четыре переменные: