Урок решения уравнений в 10 кл

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе по теме: «Решение показательных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Урок разработан в соответствии с психолого-педагогическими характеристиками, состоянием развития общеучебных умений, индивидуальными особенностями учащихся способных осваивать учебный материал школьной программы по алгебре и началам анализа на разном уровне.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе по теме:

«Решение показательных уравнений»

• Судникова Наталья Владимировна, учитель математики

Цель: повторить основные методы решения показательных уравнений.

• Создать условия для открытия новых знаний: применение комплекса методов при решении более сложных показательных уравнений, подготовить к восприятию нового понятия — логарифма.
• Способствовать развитию моторной и смысловой памяти, умений анализировать, сравнивать, умений отбирать ключевые задачи по теме и методы их решения.
• Способствовать становлению коммуникативной компетентности (работать в группе, оценивать себя и товарищей), информационной (работать с учебником, справочником, дополнительной литературой, выступать перед аудиторией).

— образовательная: продолжить работу над формированием алгоритмов решения показательных уравнений; обеспечить повторение свойств степени, показательной функции, необходимых для решения уравнений;

— развивающая: способствовать формированию умений применять различные приёмы: сравнение, выделение главного, переноса знаний в новую ситуацию, также развитию математического кругозора, логического мышления, устной речи и внимания.

— воспитательная: содействовать развитию мотиваций и самосовершенствования личности учащегося.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

мультимедиа проектор; экран; таблица «Показательная функция y = а x », раздаточный материал: карточки-консультанты, самостоятельная и проверочная работа, бланк ответов, справочники, учебник, медиаресурсы по решению показательных уравнений.

Основные формы работы учащихся во время урока: индивидуальная, групповая.

Подготовка к уроку:

• Заранее учащимися готовятся сообщения: о показательных функциях, как о моделях реальных ситуаций, показывается межпредметная связь (связь математики с физикой, биологией) и историческая справка по изучаемой теме.
• Класс разбит на две группы по 4 человека, распределены обязанности между всеми членами в каждой группе.
• Приготовлены таблицы, учебник, справочники.
• Составлена самостоятельная работа.
• Приготовлены карточки — консультанты, разноуровневые задания по решению показательных уравнений.

2) Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний.

3) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности

4) Первичное закрепление

— в знакомой ситуации (типовые)

— в измененной ситуации (конструктивные)

5) Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемные задания)

6)Закрепление материала в ходе выполнения дифференцированной проверочной работы

7)Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

8) Подведение итогов занятия

1. Организационный момент.

Подготовка учащихся к работе на уроке.

Здравствуйте, ребята, садитесь. Скажите, пожалуйста, какую тему мы с вами изучаем? Совершенно верно, именно решению показательных уравнений была посвящена ваша домашняя работа .

2. Актуализация знаний. Систематизация знаний, умений и навыков по теме: “Показательная функция”, «Решение показательных уравнений».

Подготовка учащихся к открытию новых для них знаний, к активному и осознанному изучению нового материала.

Проверка домашнего задания . Какие возникли вопросы? Ребята, вам было дано дополнительное задание, кто выполнил? (Сообщение о показательных функциях, как моделях реальных ситуаций, показывается межпредметная связь (связь математики с физикой, биологией) и историческая справка по изучаемой теме).

1. Ученик . Современные обозначения степени с натуральным показателем ввел в XVII веке Декарт. Первым систематически стал использовать рациональный показатель Ньютон. Немецкий математик М. Штиффель (1487 – 1567) дал определение = 1, при ≠0 и ввёл название «показатель» (буквенный перевод с нем. Exponent).
2. Показательные функции открывают доступ ко многим исследованиям в различных областях науки

Итак, тема урока «Решение показательных уравнений». Открыли тетради, записали число, классная работа. Посмотрите, какие раздаточные материалы вы получили.

1. Давайте вспомним определение показательной функции y= , a>0, a 1.
2. Какова область определения показательной функции?
3. Какова область значений показательной функции?
4. При каком значении х значение показательной функции равно 1?

1. Представьте в виде степени с основанием 2 числа 16, 32, 64, 1, 128, 256.
2. Представьте в виде степени с основанием 5 числа 5, 125, 1, 625, , , , 0,2 0,04?
3. Представьте число 1 в виде степени с основанием 4; 2; .

Самостоятельная работа на повторение.

1 .Какие из данных функций являются показательными (указать букву):

a) y = 2x, б ) y = x 2 , в ) y = 3 x , г ) y = (5,1) x , д ) y = x ,

е ) y = (x-2) 3 , ж) y = x, з) y = 3 -x .

2 . Какие из перечисленных показательных функций, являются возрастающими и какие убывающими?

3. Решить: a) =0,4; б ) = ; в ) = ; г ) = 8;

4. Соотнесите уравнения и методы их решения

Разработка урока алгебры в 10 классе по теме «Решение уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №4»

ОТКРЫТЫЙ УРОК В 10 КЛАССЕ

КУЛИСОВА РАМЗИЯ САКУЕВНА

30 ЯНВАРЯ, 2013 ГОД

В результате овладения содержанием всех модулей учащиеся должны

понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;

соотношения для арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;

формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

решать простейшие тригонометрические уравнения по числовой окружности и по формулам;

вычислять значения обратных тригонометрических функций,

решать однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени;

решать тригонометрические уравнения разложением на множители и введением новой переменной;

осуществлять отбор корней в тригонометрических уравнениях;

решать тригонометрические неравенства.

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Развитие устной математической речи

Обеспечение условий для развития умения решить тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников; сравнивать, анализировать и обобщать, навыков обработки информации

Создание условий для осознанного усвоения решения тригонометрических уравнений вида a sin x + b cos x = c

Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля, алгоритмической культуры учащихся.

Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников

Тип урока: урок объяснения нового материала (получение новых знаний) с применением ИКТ. Использованы элементы уровневой дифференциации.

Методы: словесные, наглядные, информационно-коммуникативные.

Формы организации: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

1).Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 7-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2011. -424с.

2). Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г.Мордкович B И др.]; под ред. А.Г. Мордковича. — 7-е изд., стер.- М. : Мнемозина, 2011. -343с.

Правильному применению методов можно

научиться, только применяя их на разнообразных

примерах (Г. Цейтен)

1. Организационный момент. Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни. Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Тригонометрические уравнения ». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений. Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Указания учителя. Вспомните основные правила решения простейших тригонометрических уравнений. Запишите формулы решения.

Выполните письменно самостоятельную работу (5 минут)

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №9. Решение уравнений в целых числах.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. понятие диофантовых уравнений;
2. теоремы для решения уравнений в целых числах;
3. основные методы решения уравнений в целых числах.

Глоссарий по теме

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Найти целое решение уравнения 16х — 34у = 7.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 2 + 23 = у 2

Перепишем уравнение в виде: у 2 — х 2 = 23, (у — х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

; ; ; ;

Решая полученные системы, находим:

; ;;;

4. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + ху – у – 2 = 0.

Выразим из данного уравнения у через х:

Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 =

; ;

; ;

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата.

Найдите все целочисленные решения уравнения: х 2 — 6ху + 13у 2 = 29.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,

х 2 — 6ху + 13у 2 = (х 2 — 6ху + 9у 2 ) + 4у 2 = (х — 3у) 2 + (2у) 2 = 29, значит (2у) 2 29.

Получаем, что у может быть равен .

1. у = 0, (х — 0) 2 = 29. Не имеет решений в целых числах.

2. у = -1, (х + 3) 2 + 4 =29, (х + 3) 2 = 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5

3. у = 1, (х — 3) 2 +4 =29,

(х — 3) 2 =25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5

4. у = -2, (х + 6) 2 + 16 = 29, (х + 6) 2 = 13. Нет решений в целых числах.

5. у=2, (х-6) 2 +16=29, (х-6) 2 =13. Нет решений в целых числах.

Ответ: (2; -1); (-8; -1); (8; 1); (-2; 1).

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных.

Решить уравнение в целых числах: 5х 2 +5у 2 +8ху+2у-2х+2=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х 2 + (8у — 2)х + 5у 2 + 2у + 2 = 0

D = (8у — 2) 2 — 4·5(5у 2 + 2у + 2) = 64у 2 — 32у + 4 = -100у 2 — 40у – 40= = -36(у 2 + 2у + 1) = -36(у + 1) 2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Решить в целых числах уравнение:

(х 2 + 4)(у 2 + 1) = 8ху

Заметим, что если – решение уравнения, то – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

,

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

,

тогда их произведение , значит,

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

8.Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: х 2 + у 2 = z 2 .

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т.е. прямоугольник треугольников, у которых и катеты х,у и гипотенуза z выражаются целыми числами.

По формуле х = uv, , где u и v – нечетные взаимно простые числа (u > v > 0) можно найти те решения уравнения х 2 + у 2 = z 2 , в которых числа х,у и z не имеют общих делителей (т.е. взаимно простые).

Для начальных значений u и v формулы приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

3 2 + 4 2 = 5 2 (u = 1, v = 3), 5 2 + 12 2 = 13 2 (u = 1, v = 5), 15 2 + 8 2 = 17 2 (u = 3, v = 5)

Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах, на произвольный общий множитель а.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите уравнение 9х+22у-1=0

Решение: Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой 2:

2. 1 = 9 — 4∙2 = 9 — (22 — 9∙2) ∙2 = 9∙5 + 22∙(-2),

т.е. х₀= 5, у₀= -2 — решение данного уравнения

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите целое решение уравнения 3х+9у=3

Решение: Решим данное уравнение: 3х+9у=3

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

1. 3 = 1 ∙ 2 + 1
2. 1 = 3 — 1∙2, т.е. х₀= 1, у₀= 0 — решение данного уравнения