Урок шар и сфера уравнение

Урок по геометрии в 11 классе «Сфера и шар. Уравнение сферы»
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Хорошая мотивационная часть, настраивающая обучающихся только на успех; связь с астрономией

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок геометрии в 11-м классе по теме «Сфера и шар. Уравнение сферы»

Цель: ввести понятие сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, научить решать задачи по данной теме.

Кратчайший путь — путь по прямой?

1. Мотивация изучения темы

Учитель: Наметив мелом две точки на классной доске, учительница предлагает юному школьнику задачу:начертить кратчайший путь между этими точками.

Ученик, подумав, старательно выводит между ними извилистую линию.

— Вот так кратчайший путь! -удивляется учительница. — Кто тебя так научил?

— Мой папа. Он шофер такси.

Чертеж наивного ученика,конечно, анекдотичен, но разве кратчайшим расстоянием от мыса Доброй Надежды до южной оконечности Австралии является отрезок? Нет, это дуга, которая называется ортодромия, и изучается все это в сферической геометрии, которая очень важна для мореплавания и астрономии.

Сегодня мы затронем маленький кусочек этой геометрии и займемся изучением сферы и шара. (слайд № 1)

2. Объяснение новой темы

— Вспомните определение окружности (Окружность геометрическая фигура, состоящая из всех точек,расположенных на заданном расстоянии от данной точки). (слайд № 2)

— Дайте определение сферы (Сфера- поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки). (слайд № 3)

— А что же по этому поводу говорит словарь? (Сообщение ученика)

Сферой называют поверхность шара. У нее есть замечательное свойство: все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от некоторой точки, находящейся внутри — центра сферы. Если разрезать сферу плоскостью, то получим окружность. Сфера единственная поверхность, при пересечении которой плоскостью всегда получается окружность. Если пересекающая плоскость проходит через центр сферы, то полученная окружность будет самой большой. Еще одно важное свойство: из всех сосудов одинаковой вместимости у сферического наименьшая поверхность.

— По аналогии с окружностью,дайте определение радиуса сферы, центра и диаметра сферы. (Диаметр сферы -отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр. (= 2R)) (слайд № 4)

— Вспомните определение круга(Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью).

— Дайте определение шара (Шар -тело, ограниченное сферой).

— Есть и другое определение шара(Шар радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек). (слайд № 5)

— Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.

— Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F . Уравнение с тремя переменными х, у,z называется уравнением поверхности Р, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Поэтому уравнение сферы радиусаR с центром О (Х о , У о , Z o ) будет выглядеть таким образом: расстояние от произвольной точки М (х, у, z) до О (Х о ,У о , Z o ) вычисляется по формуле

R = , т .к. М — любая точка сферы,то уравнение сферы

(х — х о ) 2 + (у — у о ) 2 + (z — z o ) 2 == R 2

Тогда уравнение шара (х — х о ) 2 + (у — у о ) 2 + (z — z o ) 2 R (слайд № 6)

3. Формирование умений и навыков учащихся

№ 573 (проверка решения) (слайд№ 7)

№ 576(а), № 578(а), № 577(а) самостоятельно,ответ проверяется (слайд № 8), № 579(а)

— Дайте определение сферы; чем шар отличается от круга?

5. Домашнее задание

П. 58,59, № 573(б), 576(в), 579(б) (слайд № 9).

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
• что такое шар и его элементы;
• уравнение сферы;
• формула для нахождения площади поверхности сферы;
• взаимное расположение сферы и плоскости;
• теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна S_сф=4πR 2 . То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

Урок геометрии в 11 классе на тему «Сфера и шар»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок геометрии в 11 классе.

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Продолжительность урока: 45 минут

Учебник: «Геометрия, 10-11 классы», Л.С.Атанасян

На уроке применяются элементы следующих современных образовательных технологий:

Информационные компьютерные технологии

Цели урока:

— изучить основные понятия, связанные с шаром; виды взаимного расположения шара и плоскости (сечения шара плоскостью);
— формировать навыки решения задач.

— развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности

— воспитывать познавательный интерес к математике;
— воспитывать информационную культуру и культуру общения;
— воспитывать наблюдательность, самостоятельность, способность к коллективной работе.

Оборудование: циркуль; рисунки; компьютер, проекционный экран, проектор.

Формы работы: групповая работа, самостоятельная работа.

Тип урока: урок получения новых знаний.

формирование знаний, умений и навыков (урок – лекции)

закрепление (работа по рисункам, решение задач)

Организационный момент- 1 мин.

— приветствие, сообщение основных этапов урока.

Начать урок я хочу с вопроса: «Что самое ценное на Земле?» Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный Ал — Бируни:

«Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

Актуализация знаний обучающихся – 5 мин.

— работа по вопросам

а) определение окружности

б) определение радиуса окружности

в) определение диаметра окружности

г) определение круга

III . Формирование знаний, умений и навыков обучающихся-15 мин.

3.1. В этот этап входит обсуждение новой темы, в ходе которой ученики сами определяют тему урока. После обсуждения весь класс для дальнейшей работы разбивается на группы.

— определение сферы (ω )

— определение центра, радиуса и диаметра (2R) сферы

— определение шара (Φ)

— определение шаровой поверхности

— определение центра, радиуса и диаметра шара

— определение диаметрально противоположных точек

(x-xₒ)² + ( y — y ₒ)² + ( z — z ₒ)² = R ²

3.2. взаимное расположение сферы и плоскости:

Ребята, посмотрите на проекционный экран. Вы видите три чертежа, на каждом из которых изображены шар и плоскость. Скажите, пожалуйста, каково расположение шара и плоскости относительно друг друга на каждом чертеже? (ученики отвечают )

а) d > R , тогда R ² — d ² x ² + y ² = R ² — d ² не удовлетворяют координаты никакой точки.

– если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

б) d = R , тогда R ² — d ² =0 и уравнению x ² + y ² = R ² — d ² удовлетворяют только значения х=0, у=0

– если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

в) d R , тогда R ² — d ² >0 и уравнение x ² + y ² = R ² — d ² является уравнением окружности радиуса r = √ R ² — d ² с центром в точке О на плоскости Оху

– если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

— сечение шара плоскостью есть круг.

— большой круг – круг, радиус которого равен радиуса шара.

3.3. Как вы думаете, какая фигура является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара? (Круг).

Запишем в тетрадь формулировку теоремы о сечении шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара “Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость”.

IV . Follow the leader «Следуй за лидером» — физминутка- 2 мин.

(под музыку) — Наступает время для физкультминутки. Встаньте, задвиньте стулья. Сейчас я включаю музыку, лидер у нас – Анжелла, и вы все должны выполнять движения за ней. Итак, начинаем. (Включается музыка «Кто, если не мы?»)

— Закончили. Молодцы, отдохнули немного? Теперь снова за работу.

V .Закрепление изученного материала – 19 мин.

5.1 . ФИНК – РАЙТ РАУНД РОБИН – по часовой стрелки – работа на листочках ( подумай-запиши-обсуди)

— Сейчас, задание выполняем на листочках. Сначала подумайте, запишите и обсудите в команде свои полученные ответы.

— Начинают участники под номером 2 и по кругу вы проговариваете каждый свой ответ.

(повторить формулу Герона, площадь треугольника через высоту, площадь круга, теорема Пифагора)

Задание: На карточках к словам из левого столбика подберите нужную формулу из правого столбика и проведите стрелочки.

Треугольник — S = a ∙ h .

Формула Герона — S =

Площадь круга — S = πR ²

Теорема Пифагора — с² = а² + в²

Закончили, положите листочки в центр стола.

5.2. Решение задач: №№576(а), 580 — (учащиеся + учитель +компьютер)

(№580 — ∆ АВС – прямоугольный т.к. ООₒ перпендикулярен плоскости сечения, по теореме Пифагора АВ = √ОВ² — ОА² = √41² — 9² = 40 дм; Sсеч = πR ² = π ·40² = 1600 π дм² = 16 π м²)

5.3. Работа в группах (элемент применения здоровьесберегающих технологий – работа по профилактике стрессов): каждой группе выдается задание для работы.

Сфера, радиус которой равен 10 см, пересечена плоскостью. Расстояние от центра сферы до этой плоскости равно 8 см. Найдите длину окружности, получившейся в сечении.

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга. (3/4)

Два ученика (по одному от каждой группы) представляют решение своей задачи у доски, остальные ученики оформляют решение в тетрадях.

5.4. Вопросы для закрепления (задается по два-три вопроса, ученику, отвечающему у доски; при возникновении затруднений своему представителю может помогать группа):

Что такое шар? (тело, ограниченное сферой)

Что такое шаровая поверхность или сфера? (поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки)

Что такое радиус, диаметр, хорда шара? (любой отрезок, соединяющий центр и любую точку (шара) сферы; отрезок, две точки сферы (шара) и проходящий через ее центр; диаметр, не проходящий через центр шара)

Записать уравнение сферы ((x-xₒ)² + ( y — y ₒ)² + ( z — z ₒ)² = R ² )

Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара?

Назовите три случая взаимного расположения сферы и плоскости. ( d > R , d = R , d R )

Что такое большой круг? (если секущая плоскость проходит через центр шара, то d=0 и в сечении получается круг радиуса R, т.е.круг, радиус которого равен радиусу шара.)

VI . Подведение итога урока – 1 мин

Истекли 45 минут урока. Я надеюсь, что после сегодняшнего урока наши обычные уроки математики будут проходить еще лучше.

— Вот закончился урок,

Подведём сейчас итог,

Мы много вспомнили, друзья,

Без этого никак нельзя.

Правила мы повторили,

На практике их применили.

Задачи, находя решенье,

Память и внимание,

А теперь, внимание,

VII . Домашнее задание – 2 мин

— Инструкции по выполнению домашнего задания

= Урок окончен, спасибо за урок, до свидания, увидимся завтра! =