Урок системы логарифмических уравнений 11 класс

Конспект урока по математике по теме «Решение логарифмических уравнений. Решение систем уравнений, содержащих логарифмическую функцию»

Разделы: Математика

Цели урока:

• образовательная цель – рассмотреть решение систем логарифмических уравнений; рассмотреть логарифмические уравнения, включенные в «Открытый банк заданий по математике»;
• развивающая цель – способствовать формированию навыков решения логарифмических уравнений;
• воспитательная цель – способствовать воспитанию чувства ответственности, уверенности.

Тип урока: изучение новой темы.

Вид урока: традиционный с применением компьютера.

Форма проведения: групповая.

Оборудование: индивидуальные карточки, компьютер, мультимедийный проектор, презентация.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщение темы, постановка цели, сообщение этапов урока.

II. Актуализация знаний учащихся.

1) Устная работа.

1. Дайте определение логарифмической функции. (Слайд 2 приложения 1)

Ответ: Функцию, заданную формулой , называют логарифмической функцией с основанием а.

2. Перечислите основные свойства логарифмической функции. (Слайд 3 приложения 1)

• Область определения логарифмической функции – множество всех положительных действительных чисел.
• Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.
• Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0 9.05.2010

Презентация к уроку «Решение систем показательных логарифмических уравнений»
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

В презентации рассматриваются методы решения систем показательных логарифмических уравнений. Разобраны примеры с решением для простых систем и систем с нестандартными заменами. Презентация содержит домашнее задание для учеников среднего уровня и системы для учащихся, интересующихся математикой. Ко всем системам приведены ответы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение систем показательных и логарифмических уравнений

Решение систем показательных и логарифмических уравнений Основная задача- сведение к алгебраической системе Методы решения алгебраических систем: _ Подстановка _Замена _Тождественные преобразования _ Разложение на множители

Более сложные тождественные преобразования

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку «Методы Решения логарифмических уравнений»

Данная презентация предназначена для урока-обобщения по теме «Методы решения логарифмических уравнений», который ориентирован на учеников профильных классов.

Урок на тему «Методы решения показательных, логарифмических уравнений и неравенств»

Этот урок был проведен в 11 классе. Тип урока — урок обобщения и систематизации пройденного материала с целью подготовки к ЕГЭ.

Презентация к уроку: Повторение.Решение логарифмических уравнений

Материал данного урока может быть использован при закреплении материала , а также при заключительном повторении и подготовке к экзамену.

Тематические тестовые задания по алгебре и началам анализа для 10 класса по теме: «Показательные, логарифмические уравнения и нера-венства»

Использование на учебных занятиях элементы тестирования помогут учителю повысить эффективность проверки успеваемости учащихся. Для школьников он полезен при отработке учебного материала и при подготов.

Презентация на тему «Решение простейших логарифмических уравнений» (10 профильный класс)

Презентация к первому уроку изучения темы «Решение простейших логарифмических уравнений» для учащихся 10-х классов, изучающих математику на профильном уровне.

Презентация на тему «Методы решения логарифмических уравнений» (10 класс)

Презентация к уроку на тему «Методы решения логарифмических уравнений» для учащихся 10-х классов.

Систематизация методов решения показательных, логарифмических уравнений.

В данной разработке представлены виды показательных и логарифмических уравнений. Для каждого вида рассматривается алгоритм решения и 1-2 приммере.Материал систематизирован и представляет собой т.

(конспект урока + презентация) урока алгебры для 11 класс «Логарифмические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ мой.docx

Алгебра и начала анализа

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. — 10-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009.

Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Г. Мишустина, П. В. Семенов, Е. Е. Тульчинская ] ; под ред. А. Г. Мордковича. — 10-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009.

Логарифмические уравнения (2 урок по теме)

Формы организации урока

Фронтальная, групповая(в парах), индивидуальная, дифференцированная

Доска (компьютер, часы)

раздаточные материалы (для работы в парах, самостоятельной работы)

Автор конспекта урока

Формирование умения решать различные логарифмические уравнения с использованием свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.

Образовательная. Создать условия для отработки общих подходов к решению логарифмических уравнений:

а) действия с членами и частями уравнения

б) замена обозначения

в) разложение на множители части уравнения

г) метод подстановки при решении

Повторение: а) понятие уравнения – следствия

б) определение логарифма и его свойства

в) теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями.

Развивающая . Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся

Воспитательная . Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

Оборудование: ПК, карточки

I этап – Мотивационно – ориентировочный . Организационный момент (приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач урока).

II этап -Актуализация знаний . Устная работа.

III этап – основной . Работа над углублением материала темы «Логарифмические уравния».

IV этап — Самостоятельная работа . Разноуровневые учебные элементы (компьютерный вариант).

V этап — Подведение итога урока . Домашнее задание.

1. Организационный момент.

Ребята, сегодняшний урок пройдет немного в необычной обстановке. На уроке присутствуют гости, мои коллеги, учителя других школ. Давайте поприветствуем и начнем урок.

На предыдущем уроке мы с вами приступили к решению логарифмических уравнений. Рассмотрели решение ряда простейших логарифмических уравнений. Преодолели 1 уровень , идем дальше.

Тема нашего урока очень актуальна, мы с ней будем идти параллельно до итоговой аттестации в 11-м классе. Поэтому сегодня наша цель …(научимся решать различные логарифмические уравнения). Откройте тетради, запишите число . . . . . . . . . и тему урока.

2. Воспроизведение и актуализация опорных знаний через устную работу

— Поработаем устно (презентация) слайд1

— Что использовали для выполнения данного задания? (определение и свойства логарифмов)

1. Напоминание основных теоретических фактов

Ключом к решению логарифмических уравнений являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида ( ).

Вспомним основные свойства логарифмической функции. слайд15

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно возрастает, при монотонно убывает. Именно монотонность функции позволяет решать простейшие логарифмические уравнения, все остальные логарифмические уравнения сводятся к простейшим: слайд16

ОДЗ заданного уравнения определяется системой. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:

Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.

Имеем смешанную систему. Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.

Напомним методику решения простейших логарифмических уравнений:

Уравнять основания логарифмов;

Приравнять подлогарифмические функции;

Чтобы уравнять основания, следует воспользоваться свойствами логарифмов.

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь : слайд 17

1. Логарифм произведения:

(произведение может быть положительным если оба отрицательные числа, но исходя из правой части строго положительны)

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

4. Переход к новому основанию:

Пример 1 – решить уравнение:

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием:

Таким образом, мы уравняли основания логарифмов. Имеем:

Теперь имеем право приравнять подлогарифмические выражения:

Ответ:

Данное уравнение можно также решить на основании определения логарифма:

Пример 2 – решить уравнение:

Решим на основании определения логарифма:

Поскольку (как основание логаримфа), больше нуля, и выражение под логарифмом всегда больше нуля.

Решаем уравнение. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Разложим многочлен в левой части на множители способом группировки, первый член объединим со вторым, третий с четвертым:

Применим ко второй скобке формулу сокращенного умножения, а именно разности квадратов:

Учитывая ОДЗ, получаем ответ:

Рассмотрим уравнение, на примере которого в дальнейшем сможем избежать многочисленных типовых ошибок.

Пример 3 – решить уравнение:

Основания всех логарифмов одинаковы, в левой части стоит сумма логарифмов, согласно свойству имеем право преобразовать ее в логарифм произведения:

Необходимо учесть ОДЗ. Чтобы существовал каждый из заданных логарифмов, скобки , и должны быть строго положительны, тогда как после применения свойства произведение будет положительным, если обе скобки будут отрицательны, и новый логарифм будет существовать, но при этом исходный потеряет смысл.

Таким образом, имеем систему:

Учитывая ОДЗ, получаем ответ: .

Следующее логарифмическое уравнение сводится к совокупности двух простейших с помощью замены переменных.

Пример 4 – решить уравнение:

Преобразуем так, чтобы уравнять основания логарифмов:

Комментарий: преобразовано согласно формуле

В результате преобразований получили:

Получаем квадратное уравнение:

Согласно теореме Виета имеем корни:

Вернемся к исходным переменным:

Решаем каждое уравнение согласно определению логарифма:

Ответ: или

Итак, мы рассмотрели решение некоторых типовых логарифмических уравнений. Продолжим исследовать природу логарифмических уравнений.

Проблема. Как решать любые логарифмические уравнения?

4. Формирование умений и навыков

-Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом.

п о определению логарифма

=

уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

= log ₂(6-х)

метод введения новой переменной

l g 2 х — 6lgх+5 = 0.

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

1 Решаем вместе (у доски и в тетрадях)

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

Решите уравнение = log ₂(6-х)

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

= log ₂(6-х)

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Решите уравнение log ₁₆х+ log ₄х+ log ₂х=7

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

Решите уравнение log ₄(2х-1)∙ log ₄х=2 log ₄(2х-1)

1;16 – принадлежат ОДЗ

5. Проверка уровня восприятия изучаемого материала

— Перейдем к работе над следующем уровнем. 2 уровень включает все, что достигнуто на первом уровне, но в более сложном виде, то есть решать уравнения самостоятельно, выбирая метод решения.

(презентация и листы самоконтроля)

6. Подведение итога урока

заполните лист оценки ваших результатов, не забудьте указать метод или методы которые вызвали затруднения слайд29

Домашнее задание в приложении слайд 44

Ответим на проблемный вопрос

Как решать любые логарифмические уравнения?

Свести их к простейшим, применяя свойства логарифмов, схему и медоты решения логарифмических уравнений

«Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет.»

Спасибо всем за урок.!

1. 2log 2 ₃ x – 3 log ₃ x -2 = 0 ОДЗ:

Ответ:

ОДЗ: :

3. ОДЗ:

Выбранный для просмотра документ презентация к уроку.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Приготовься к ответу на вопросы в автоматическом режиме показа слайдов До начала осталось секунд

Приготовься к ответу на вопросы в автоматическом режиме показа слайдов 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Проверка 12345678910 4-6-23/22/3242/33625

основные свойства логарифмической функции. Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

Простейшее логарифмическое уравнение

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь : 1. Логарифм произведения: (произведение может быть положительным если оба отрицательные числа, но исходя из правой части строго положительны) 2. Логарифм частного: 3. Логарифм степени: 4. Переход к новому основанию:

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. log16х = ¾ = =log2(6-х) lg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ = =log2(6-х) lg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = =log2(6-х) lg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. =log2(6-х) lg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. =log2(6-х) метод введения новой переменнойlg2х — 6lgх+5 = 0. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. =log2(6-х) метод введения новой переменнойlg2х — 6lgх+5 = 0. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. log16х+ log4х+ log2х=7 log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Укажите, какие из приведенных примеров — логарифмических уравнений, решаются тем или иным способом. по определению логарифмаlog16х = ¾ метод потенцирования = уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. =log2(6-х) метод введения новой переменнойlg2х — 6lgх+5 = 0. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. log16х+ log4х+ log2х=7 Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. log4(2х-1)∙ log4х=2 log4(2х-1)

Цели учебных уровней I уровень I I уровень I I I уровень Решать простейшие Решать уравнения Применять полученные логарифмические самостоятельно выбирая знания в нестандартных уравнения; метод решения; ситуациях Решать уравнения по заданному алгоритму.

Учебный элемент №3 Цель: закрепить навык решения логарифмических уравнений методом введения новой переменной: Задания самостоятельной работы (5 минут) I вариант I I вариант Указания учителя: проверьте и оцените свою работу. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 2 балла, то переходите к следующему этапу. Если меньше, то прорешайте соответствующее задание другого варианта

Учебный элемент №4 Цель: закрепить навык решения логарифмических уравнений методом логарифмирования Задания самостоятельной работы (5 минут) I вариант I I вариант Указания учителя: если набрано 2 балла, то модно переходить к следующему учебному элементу. Если набрано меньше 2 баллов, то нужно прорешать уравнения другого варианта

Учебный элемент №5 Указания учителя: Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Задания самостоятельной работы (10 минут) Решите уравнения I вариант I I вариант Указания учителя: проверьте и оцените свою работу. Исправьте ошибки, если они есть. Проставьте баллы в оценочные листы. Если набрали 5 баллов или больше, то переходите к следующему элементу. Если меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка

Подведем итоги урока. Подсчитали баллы в оценочном листе и выставили себе отметки в дневник по следующему критерию Если вы набрали 4 балла, то получаете отметку «3»; если от 9 баллов, то получаете отметку «4». Если набираете 12 баллов, то получаете отметку «5». Вы получили отметки, соответствующие уровню ваших знаний. Каждый из вас не должен останавливаться на достигнутом, а стремиться повысить математическую подготовку, чтобы успешно сдать ЕГЭ.

Оценочный лист учащегося Фамилия Имя учебные элементыколичество баллов за основные заданиякорректирующие заданияобщее количество баллов №3 №4 №5 Итоговое количество баллов отметка

РЕШЕНИЕ УЧЕБНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Учебный элемент №1 Вариант -I

Учебный элемент №1 Вариант -II

Учебный элемент №2 Вариант -I

Учебный элемент №2 Вариант -II

Учебный элемент №3 Вариант -I

Учебный элемент №3 Вариант -II

Учебный элемент №4 Вариант -I

Учебный элемент №4 Вариант -II

Учебный элемент №5 Вариант -I

Учебный элемент №5 Вариант -II

Домашнее задание Предмет: Алгебра и начала анализа Класс : 11 Тема: «Решение логарифмических уравнений» Дата_27.11.2015г. Ученика________________________________________________________ №Критерии задания 1Умение вычислять логарифмы; 2Умение преобразовывать выражения, содержащие логарифмы 3Умение применять основное логарифмическое тождество 4Умение решать логарифмические уравнения по определению 5Умение решать логарифмические уравнения методом потенцирования log 2(3x – 6) = log 2(2x – 3) 7Умение решать логарифмические уравнения методом введения новой переменной lg 2 х2 + lgx2 – 6 = 0 8Умение решать задачи с прикладным содержанием с помощью логарифмических уравнений ЕГЭ №7, №11

Выбранный для просмотра документ приложение.doc

Предмет: Алгебра и начала анализа

Тема: «Решение логарифмических уравнений»

Умение вычислять логарифмы;

Умение преобразовывать выражения, содержащие логарифмы

Умение применять основное логарифмическое тождество

Умение решать логарифмические уравнения по определению

Умение решать логарифмические уравнения методом потенцирования

Умение решать логарифмические уравнения методом введения новой переменной

lg 2 х 2 + lgx 2 – 6 = 0

Умение решать задачи с прикладным содержанием с помощью логарифмических уравнений

Выбранный для просмотра документ самоанализ.docx

Уважаемые коллеги Вашему вниманию был представлен урок на тему решение «Логарифмические уравнения» (второй урок по теме) из раздела «Логарифмы».

Считаю, что урок способствовал достижению основной поставленной цели: — Формирование умения решать различные логарифмические уравнения с использованием свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.

А также урок способствовал реализации поставленных мной задач, которые сформулированы с учетом задач предыдущих и последующих уроков:

Образовательная. Создать условия для отработки общих подходов к решению логарифмических уравнений:

а) действия членами и частями уравнения

б) замена обозначения

в) разложение на множители части уравнения

г) метод подстановки при решении

Повторение: а) понятие уравнения – следствия

б) определение логарифма и его свойства

в) теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями.

Развивающая . Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся

формирование коммуникативных навыков в учебном диалоге

развитие логического мышления учащихся;

развитие познавательного интереса, речи и внимание школьников;

Воспитательная . Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

Помочь учащимся осознать ценность коллективной деятельности.

— активизация познавательных способностей учащихся

Цель и задачи урока определили тип урока комбинированный . и его структуру:

I этап – Мотивационно – ориентировочный . Организационный момент (приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач урока).

II этап -Актуализация знаний . Устная работа.

III этап – основной . Работа над углублением материала темы «Логарифмические уравния».

IV этап — Самостоятельная работа . Разноуровневые учебные элементы (компьютерный вариант).

На уроке был применены наглядные средства: презентация, содержащая основные понятия, задания и др. моменты урока, дополнительные материалы и задания.

Применялись следующие методы:

а) методы организации и осуществления учебной деятельности

словесные — беседа (ответы на вопросы), рассказ (объяснение учителя);

наглядные (презентация с необходимыми схемами, опорными определениями)

б) методы стимулирования и мотивации учения –

метод стимулирования и мотивации интереса к учению: занимательное задание устного счета, идея освоения уровня Для чего было выбрано это задание? Оно оживило учебный процесс на уроке, позволило повысить интерес ребят к изучаемой теме,

в) метод контроля и самоконтроля (выполнение заданий учебных элементов, здесь же самоконтроль – учащиеся видят результат, анализ ошибок)

Использование учебных уровней является рациональным дополнением к методам проверки знаний, умений и навыков учащихся.

Самостоятельное преодоление учебных уровней — одно из средств индивидуализации в учебном процессе, т.к. учитывает психологические особенности учащихся, мешающие их успешной деятельности. Разноуровневый контроль знаний позволяет проверить значительный объем изученного материала.

Систематическое использование такого рода заданий формирует у учащихся дисциплинированность и стремление к самостоятельности в усвоении программного материала.

В своей работе я руководствуюсь трехмерной моделью систематики форм организации обучения:

внутренние формы организации обучения (занятие по углублению и совершенствованию ЗУНов, (комбинированная форма организации обучения.)

общие формы организации обучения (взаимодействия в системе «учитель-ученик», «ученик-ученик») – фронтальная, парная.

В процессе обучения реализованы следующие дидактические принципы: доступности, систематичности и последовательности, связи с жизнью, активности, наглядности.

Я считаю, что на уроке были реализованы цели и задачи, поставленные мною. А именно: совершенствованы знания учащихся об общих подходах к решению уравнений , выработаны умения решать различные логарифмические уравнения.

Домашнее задание я дала учитывая объем пройденного материала на уроке и для подготовке к ЕГЭ учащихся: задания7,11. Данное задание позволяет не только повысить интерес к предмету, но и пополнить методическую копилку учителю.

Наиболее удачные моменты:

— реализован принцип учета индивидуальных особенностей уч-ся;

дети справились заданиями.

Наряду с отмеченными с удачными моментами, необходимо указать и на недостатки:

недостаточное внимание уделялось мной исправлению речевых ошибок во время ответов учащихся и требованию полных ответов, что обусловлено дефицитом времени;

В целом я довольна уроком. Думаю, что и учеников заинтересовал сегодняшний урок, и они ушли с урока не только с полученными ЗУНами, но и с хорошим настроением, желанием использовать полученные ЗУНы на практике. А это самое главное для любого учителя!