Урок способы решение системы линейных уравнений

ОТКРЫТЫЙ УРОК РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
план-конспект урока по алгебре (7 класс)

ОТКРЫТЫЙ УРОК РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Скачать:

Предварительный просмотр:

УРОК ПО ТЕХНОЛОГИИ СИСТЕМНО-ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА

Разработка урока по алгебре в 7б классе.

Тема. Способы решения систем линейных уравнений .

Учитель математики МБОУ СОШ№5 СИДЬКО С. Н

Тип урока : Урок систематизации и обобщения знаний и умений.

Место урока : 8 урок из запланированных 11 ч.

Цель: Формировать умения и навыки решения систем линейных уравнений.

(формирование познавательных УУД)

— повторить способы решения систем линейных уравнений;

— отрабатывать умения решать системы линейных уравнений разными способами,

— развивать вычислительные навыки.

(формирование регулятивных УУД)

— развивать познавательный интерес к предмету, математическую речь.

(формирование коммуникативных и личностных УУД)

— воспитывать заинтересованность, активность на всех этапах урока;

— воспитывать умение слушать других, умение сотрудничать в группе;

— воспитывать чувство ответственности, самостоятельность.

Методы работы: словесный (беседа), наглядный (презентация), практический.

Формы работы: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Технологии: здоровьесберегающая технология, системно-деятельностный подход.

Цель этапа: Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебный процесс.

Приветствие класса ,слова «Классная работа»

Пожелайте друг другу удачи .

Цель этапа: 1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для продолжения закрепления знаний учащихся по данной теме;

2) Сформулировать и согласовать цели урока.

Повторить материал по теме, открыть новые знания, закрепить новые знания, выбрать себе домашнее задание (разноуровневое)

Перед каждым из вас лежит лист самооценки, на каждом этапе урока вы ставите себе 1 балл(УСПЕХ) или 0 баллов(неуспех)

Открытый урок по теме «Решение систем уравнений различными способами»

Разделы: Математика

Цели урока:

1. Систематизация знаний, умений и навыков при решении систем уравнений различными способами.
2. Развитие: вычислительных навыков устного и письменного счета, умений применять знания на практике в новых условиях, межпредметных связей с историей, астрономией и информатикой.
3. Воспитание интереса к предмету, патриотизма, чувства прекрасного, гордости за свою страну, самостоятельности и умения работать в заданном темпе.
4. Развитие слухового и слухо-зрительного восприятия. Формирование математически грамотной речи учащихся.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.

Словарь: средневековый ученый, Николай Коперник, российский ученый, Константин Эдуардович Циолковский, Галактика, Солнце, способ подстановки, способ сложения, выразить одну переменную через другую.

Ход урока

I. Организационный момент.

1. Организационный момент.
2. Устная работа.
3. Самостоятельная работа.
4. Физминутка.
5. Выполнение упражнений.
6. Домашнее задание.
7. Итог урока.

Сегодня у нас с вами необычный урок. Мы с вами очередной раз совершим виртуальное путешествие. Мы отправимся с вами в путешествие по необъятным просторам космического пространства. Как вы думаете, почему я выбрала такое путешествие? (потому что скоро 12 апреля – День космонавтики). Совершенно верно.

II. Устная работа.

Перед началом нашего путешествия необходимо размяться и ответить на несколько вопросов. (Приложение 1, Слайд 2)

1. Какие способы решения систем уравнений вы знаете?
2. Является ли пара чисел (2; — 1) решением системы уравнений?

1. Выразите одну переменную через другую.
   1) х + у = 2;
   2) х – 2у = 4.

III. Самостоятельная работа.

Решить систему уравнений: (Приложение 1, Слайд 3)

IV. Физминутка.

Прежде чем вы приступите к работе надо выполнить физминутку.

V. Выполнение упражнений.

Итак, мы отправляемся.

Впервые человек начал задумываться о космосе очень давно. Еще в XV веке средневековый ученый Коперник обратил свой взор в небо. (Приложение 1, Слайд 4)

Российский ученый Циолковский мечтал о полетах людей в космос и даже придумывал эскизы ракет. (Приложение 1, Слайд 5)

Мечту Константина Эдуардовича Циолковского воплотил в реальность советский конструктор космических ракет Сергей Павлович Королев. (Приложение 1, Слайд 6)

А полетел в космос первый в мире советский космонавт Юрий Алексеевич Гагарин (Приложение 1, Слайд 7)

Вот и мы с вами совершим сегодня путешествие в практически неизведанные дали космического пространства.

Для того чтобы перемещаться по необъятным просторам космоса нам необходимо определять координаты нашего местонахождения.

В космосе есть своя определенная система координат, но сегодня мы воспользуемся координатами, полученными при решении систем уравнений двумя способами: способом подстановки и способом сложения.

Ну, что? Приступим к решению?

1. Решить систему уравнений способом подстановки: (Приложение 1, Слайд 8).

Выберите правильный ответ. (Приложение 1, Слайд 12).

Молодцы! Мы определили координаты расположения одной из многочисленных галактик. Это наша Галактика в которой мы живем. (Приложение 1, Слайд 15).

Кто прочитает, что это за галактика?

2. Решить систему уравнений способом сложения или вычитания: (Приложение 1, Слайд 9).

Выберите правильный ответ. (Приложение 1, Слайд 13).

Хорошо! А сейчас мимо нас пролетает комета с данными координатами (комета Галлея).

Прочитайте, что это за комета? (Приложение 1, Слайд 16).

3. Решить систему уравнений любым удобным способом: (Приложение 1, Слайд 10).

1 способ (подстановки)

2 способ (сложения)

Выберите правильный ответ. (Приложение 1, Слайд 14).

Молодцы! А теперь мы оказались возле звезды по имени Солнце.

Кто прочитает, что это за звезда? (Приложение 1, Слайд17).

VI. Домашнее задание.

1. Решить систему уравнений любым удобным способом: (Приложение 1, Слайд 11).

1 способ (подстановки).

2 способ (сложения).

VII. Итог урока.

Урок «Способы решений систем линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Государственное профессиональное образовательное учреждение Тульской области «Щекинский политехнический колледж»» Преподаватель математики: Нейбергер Н.Т. Щекино, 2017

Тема актуальна — известные приемы и методы решения систем линейных уравнений применимы для решения задач с практическим содержанием «Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения! В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и могущества разума, его торжество над покоренной природой» — академик И. И. Артоболевский Цели темы:

Задачи урока Практическая значимость состоит в формировании компетентности прикладного использовании знаний, умений и навыков, знакомство с возможностями применения информационных технологий

В начале XX века в Америке была объявлена большая премия автору, который напишет книгу: “Как человек без математики жил?”. Премия осталась невыданной. Ни один автор не сумел изобразить жизнь человека без математических знаний. Самые ранние сведения о возникновении алгебры в виде правил решения уравнений мы встречаем у вавилонян в III–II вв. до н. э. В вавилонской математике появляется числовая алгебра в виде решения уравнений и систем уравнений первой и второй степени.

В III–IV вв. нашего летоисчисления появился “числовой дух” – александрийский математик Диофант. О Диофанте неизвестно ничего, кроме предания о надписи на его могильном камне. До нас лишь дошел его метод решения неопределенных уравнений, называемых “диофантовыми”. Это уравнения или системы уравнений, в которых число неизвестных больше числа уравнений. Мухаммед Бен Мусса аль-Хорезми, около 820 года нашего летоисчисления написал книгу, в названии которой он учит решать простые и сложные вопросы арифметики. Для того чтобы разъяснить темные места в науке и сделать понятными трудные вопросы, аль-Хорезми написал краткое сочинение о методах решения уравнений. Основным вопросом в учебнике «Уникальная арифметика» Леонардо Эйлера является решение уравнений. Алгебра — это искусство нахождения числовых значений для содержащихся в уравнении неизвестных по коэффициентам уравнения.

Китайская мудрость: « Я слышу – я забываю, я вижу – запоминаю, я делаю – я усваиваю»

Думай, прежде чем что-то делать

Подставим Думай, прежде чем что-то делать

Впервые определение функции было дано гениальным русским математиком Н.И.Лобачевским, термин “функция” введен Лейбницем. Символическая запись в виде формулы впервые введена Л. Эйлером

Укажите рисунок, на котором приведена графическая иллюстрация решения системы уравнений 3 4 2 1 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Верно! 2 1 0 4 4 -2 х у у х х х у у -2 4 4 -4 -4 -2 -2

Метод Крамера Габриель Крамер — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры 31 июля 1704, Женева, Швейцария – 4 января 1752, (Баньоль-сюр-Сез, Франция) Крамер родился в семье франкоязычного врача. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. 1727: Крамер 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера, Галлея и де Муавра, Мопертюи и Клеро. В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей. 1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.

Решение систем уравнений с двумя переменными Метод Крамера

Решение систем уравнений с тремя неизвестными 1 2 3 1 -1 4 1 -2 -5 + — + -1 4 -2 -5 2 3 -2 -5 2 3 -1 4 = = 5 + 8 — (-10 + 6) + 8 + 3 = 28

= 28 4 -2 6 -1 4 -2 -5 -2 6 -2 -5 -1 4 -2 6 = = 4 (5 + 8) -1 (10 + 12) + (-8 + 6) = 28 + — + Решение систем уравнений с тремя неизвестными

= 28 4 -2 6 = 28 1 х = 1 Решение систем уравнений с тремя неизвестными

Решение систем уравнений с тремя неизвестными = 28 1 2 3 х = 1 4 -2 6 = 56 2 y = 2

Решение систем уравнений с тремя неизвестными = 28 1 2 3 х = 1 4 -2 6 = 28 1 y = 2 1 -1 4 z = 1

Решение систем уравнений с тремя неизвестными х = 1 y = 2 z = 1 Проверка

Самостоятельная работа по вариантам 1 вариант 2 вариант Решить систему уоавнений методом Крамера 3x – 2y + z = -3 5x + y – 2z = 11 x + y + z = 1 x + 2y — z = 2 2x — 3y + 2z = 2 3x + y + z = 8

Метод Гаусса Гаусс предлагает следующее: проводить операции с уравнениями, чтобы в конце концов привести всю совокупность к ступенчатому виду. То есть, нужно, чтобы сверху вниз (если правильно расставить) от первого уравнения к последнему убывало по одному неизвестному. Иными словами, нужно сделать так, чтобы у нас получилось, скажем, три уравнения: в первом — три неизвестных, во втором — два, в третьем — одно. Тогда из последнего уравнения мы находим первое неизвестное, подставляем его значение во второе или первое уравнение, и далее находим оставшиеся две переменные. Этот метод широко применяется в практике вычислений при решении уравнений с большим количеством неизвестных Карл Фридрих Гаусс 1777—1798 годы немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём» математиков Проектная деятельность

Метод Гаусса С помощью первого уравнения исключим x из второго и третьего уравнений. Для этого умножим правую и левую части первого уравнения на 2, а правую и левую части второго уравнения на 3 и сложим почленно полученные уравнения. Потом умножим правую и левую части третьего уравнения на 3 и сложим полученное уравнение с первым исходным уравнением. 6x + 2y –2z = -2 -6x + 9y — 6z = -6 -3x + 15y – 9z = -9

3x + y — z = -1 11y — 8z = — 8 16 16y – 10z = — 10 11 3x + y — z = — 1 11y — 8z = — 8 — 8z = — 18 Теперь с помощью второго уравнения исключим y из третьего уравнения. Для этого умножим правую и левую части второго уравнения на 16,а правую и левую части третьего уравнения на 11 и сложим почленно полученные уравнения. Получим систему уравнений «треугольного» вида, решение которой ( 0; 0; 1) нетрудно найти, решая уравнения в обратном порядке. — 8z = — 8 z = 1 11y — 8z = — 8 11y = — 8 + 8 1 11y = 0 y = 0 3x + y — z = — 1 3x + 0 – 1 = -1 3x = 0 x = 0 Получим систему уравнений:

Решим систему уравнений методом Гаусса x + y + z = 4 — 3y — 4z = -10 y – 8z = -6 3 x + y + z = 4 y – 8z = -6 — 28z = -28 x = 1 y = 2 z = 1

Применение средств MS Excel к решению систем линейных уравнений ИНФОРМАТИКА и ИКТ С ростом числа переменных в системе, её решение усложняется и становиться почти невозможным для вычислений «вручную». В таких случаях все вычисления производят с помощью современных вычислительных средств и компьютерных программ. Одним из таких средств является Microsoft Excel. В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для работы с матрицами: МОБР( параметр)- обращение матрицы; МОПР (параметр) — вычисление определителя; МУМНОЖ( список параметров) — умножение матриц.

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с использованием MS EXSEL Математика на уроках информатики и ИКТ

Решение системы с использованием формул: МОПРЕД – вычисление определителя, ЕСЛИ – условного оператора

В наше время методы решения линейных систем приобрели особую важность в связи с задачами математической экономики. Обычно такие задачи сводятся к линейным системам с огромным числом неизвестных. Использование систем линейных уравнений Задачи на применение составления систем уравнений Задача. На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов. Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б. ИзделиеВыход из единицы сырья IIIIIIIV А2174 Б61223

Решение. Обозначим через x1, x2, x3, x4 количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными: x1 + x2 + x3 + x4 = 94, 2×1 + x2 + 7×3 + 4×4 = 574, 6×1 +12×2 +2×3 + 3×4 = 328. Решаем ее методом Гаусса:

Исходная система равносильна следующей: x1 + x2 + x3 = 94 — x4, — x2 + 5×3 = 386 — 2×4, 26×3 = 2080- 9×4. Из последнего уравнения находим x3 = 80 — 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26×4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = — 12/13 x4. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x1 и x4 не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x1 = — 12/13 x4 получим: x1 = x4 = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.

При выборе способа решения практических задач, нужно оценить ее сложность и применить наиболее простой в применении. Большое упрощение вычислений дает применение информационных технологий. Задача. В двух пунктах отправления А и В находится соответственно 150 и 90 тонн горючего. В пунктах 1, 2, 3 требуется доставить n тонн горючего. Стоимости перевозки тонны горючего из пункта А в пункты 1,2,3 составляют соответственно 6, 10 и 4 тыс.руб., а из пункта В – 12, 2 и 8 тыс.руб. Составить оптимальный план перевозок горючего так, чтобы получить прибыль по перевозке горючего: например, в пункте А – 1500 тыс.руб; в пункте В – 1740 тыс.руб. Построение математической модели задачи заключает в себя: Задание целевой функции (её надо максимизировать или минимизировать); Задание системы ограничений в форме линейных уравнений и неравенств; Требование неотрицательных переменных. Задача линейного программирования Домашнее задание

Решим задачу по оптимизации критерии, а именно по максимуму прибыли. Ограничения задачи имеют следующий вид: Ограничение по объему горючего: x + y + z = 240 Ограничение по прибыли пункта А: 6x +10y +4z =1500 Ограничение по прибыли пункта В: 12x + 2y +8z =1740 Кроме того, ясно, что x>=0, y>=0, z>=0. Для прибыли имеем формулу: П = 18x + 12y + 12 z — целевая функция.