Урок теорема виета для квадратного уравнения

Открытый урок по теме «Теорема Виета»
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Данный урок является первым при изучении конкретной темы «Теорема Виета» и двенадцатым уроком при изучении общей темы «Квадратное уравнение». В самом начале урока, еще на этапе проверки домашнего задания, используется технология проблемного изложения. Учащимся предлагается решить вроде бы знакомое уравнение, но с большими коэффициентами, что приводит к определенным вычислительным трудностям, если они применяют только полученные ранее знания. Таким образом, перед школьниками встает проблема, разрешить которую они должны в процессе изучения нового материала.

В дальнейшем можно использовать данный материал как справочный. Урок является достаточно эффективным в силу того, что в течение всего урока ребята самостоятельно решают поставленную в начале проблему, а в конце приходят к выводу, что решение уравнения можно найти устно!

Скачать:

Предварительный просмотр:

Открытый урок по теме «Теорема Виета»

Учитель математики Черниговская Т.А.

Цель: формирование практико-ориентированной компетенции при выводе и доказательстве теоремы Виета и её применении при выполнении различных упражнений.

обучающие: экспериментальным путем выявить зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; доказать теорему Виета; cформировать умения применять её при решении типовых упражнений;

развивающие: развивать умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать, делать выводы;

воспитательные: воспитывать ответственное отношение к учебному труду.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, листы самоподготовки.

1. Оргмомент. Проверка домашнего задания. Создание проблемной ситуации. (5 мин.)
2. Подготовка к изучению нового материала. (5 мин.)
3. Изучение нового материала (10 мин.)
4. Первичное осмысление и применение изученного (15 мин.)
5. Постановка домашнего задания (2 мин.)
6. Подведение итогов урока (6 мин.)

I. Оргмомент. Проверка домашнего задания. Создание проблемной ситуации.

Проверка подготовленности классного помещения к уроку.

Ребята, сегодня у нас очередной урок по теме “Квадратные уравнения”. Начнем работу с проверки домашнего задания. Вы дома решали квадратные уравнения разных видов: приведенные и неприведенные. Используя эти уравнения, и ваши решения вы на перемене заполнили таблицы, давайте проверим. (Cлайд 2)

12х 2 + 7х + 1 = 0

14х 2 — 5х — 1 = 0

х 2 — 10х — 24 = 0

Молодцы! Вы хорошо справились с решением уравнений.

А теперь попробуйте решить это уравнение х 2 – 2012х + 2011 = 0. (Cлайд 3)

(Решить можно, но считать долго)

Хочу вас удивить. Это уравнение можно решить устно, но для этого нужны новые знания. Ваша задача получить эти знания. Разгадав кроссворд, вы узнаете тему урока.

II. Подготовка к изучению нового материала. Кроссворд. (Cлайд 4)

1. Уравнение вида ах 2 + bх +с = 0 называется … уравнением.
2. а — … коэффициент.
3. b — … коэффициент.
4. с — … член.
5. Квадратное уравнение называется …, если его старший коэффициент равен 1.
6. D = b 2 – 4ac.
7. формулы ………… квадратных уравнений.
8. Если D > 0, то уравнение имеет … корня.
9. Если D = 0, то уравнение имеет … корень.
10. Если D
11. Если число делится на 2, то оно называется ….
12. Если в теореме поменять местами условие и заключение, то получится теорема … данной.

III. Изучение нового материала.

Итак, запишите тему урока “Теорема Виета”. (слайд 5) . Задачи, которые стоят перед вами: экспериментальным путем выявить зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; доказать теорему Виета; cформировать умения применять её при решении типовых упражнений.

Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет. (Сведения из истории о Франсуа Виете (Cлайд 6) )

Виет Франсуа (1540-1603) — французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. За это новшество его стали называть “отцом алгебры”. Известны “формулы Виета”, дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения.

Вернемся к нашей первой таблице (слайд 7) и проведём небольшое исследование. Заполните два последних столбца. Какую закономерность вы обнаружили, сделайте вывод. Три человека работают у доски. (Вывод: теорема Виета)

Формулировка и доказательство теоремы в соответствии с учебником.

(Cлайды 8 и 9 ) Один ученик на доске, остальные в тетради . (Чтение мнемонического правила в стихотворной форме. (Cлайд 10) )

По праву достойна, в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого?
Умножишь ты корни – и дробь уж готова.
В числителе c, в знаменателе a
И сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда
В числителе b, в знаменателе a?!

Особенно простой вид имеет теорема Виета для приведенного квадратного уравнения. Убедитесь в этом сами . Заполните два последних столбца второй таблицы. Проанализируйте результат и сделайте вывод. (Cлайд 11)

Вывод: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

А теперь решите уравнение х 2 +х+3=0. Почему невозможно подобрать корни? А отчего зависит количество корней? Надо сначала найти Дискриминант. (Cлайд 12)

Формулируем теорму Виета для приведенного уравнения и уточняем для общего уравнения. (Слайды 13и 14).

IV. Первичное осмысление и применение изученного.

Далее отрабатываем навыки примения теремы Виета и решаем уравнения (три человека у доски) остальные в тетрадях. . (Cлайд 15) Первое уравнение по образцу, остальные у доски три человека и в терадях.

Разработка урока по теме» Теорема Виета»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: «Теорема Виета».

Выяснить зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения; познакомить учащихся с теоремой Виета, учить находить подбором корни квадратного уравнения, используя теорему Виета, способствовать развитию внимания, логического мышления, связной математической речи, развивать умение анализировать и делать выводы.

Тип урока: сообщение новых знаний.

І. Актуализация опорных знаний.

Девиз : Думай и делай, делай и думай. И.А.Крылов.

Эпиграф : Никогда не теряй терпенья – это последний ключ, который открывает двери. Антуан де Сент- Экзюпери.

Какое уравнение называется квадратным?

Какие существуют виды квадратных уравнений?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?

Английский математик, которому принадлежит термин «Дискриминант».

Назовите формулу нахождения дискриминанта.

7 .Сколько корней имеет уравнение, если D > 0 .

8 .Сколько корней имеет уравнение, если D = 0.

9. Существуют ли корни квадратного уравнения, если D

10 . Назовите формулы нахождения корней квадратного уравнения.

ІІ. Изучение нового материала.

Поверите ли вы мне, если я скажу, что данное уравнение

смогу устно решить за несколько секунд и вы в конце урока тоже .

Сегодня мы с вами поведём речь о приведённых квадратных уравнениях, которые записывают ещё так: x 2 + px + q = 0.

Посмотрите внимательно на результаты работы.

Какое предположение можно сделать?

Сравните сумму и произведением корней с коэффициентами уравнений.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

Сформулированное утверждение называется теоремой Виета.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициент , взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Как же доказать? ( проблемный вопрос)

Предложить учащимся самостоятельно у доски доказать теорему Виета.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Что лучше, скажи постоянства такого .

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь, что за беда!

Немного исторических фактов о французском математике Франсуа Виете.

( Вьет (Vièete) Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, – 13.12.1603, Париж), французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили меньшее распространение, чем заслуживали.)

Теорема (обратная теореме Виета).

ІІІ. Тренировочные упражнения.

Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

1) х 2 — 6х + 5 = 0,

2) х 2 + 3х – 40 = 0,

3) х 2 — 2х – 3 = 0,

Найдите корни квадратного уравнения:

х 2 — 16х + 15 = 0, ( х ₁ = 1, х ₂ =15)

х 2 + 2х — 3 = 0 (х ₁ = 1, х ₂ = — 3)

Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны:

В уравнении х 2 + p х + 36 = 0 один из корней равен — 4. Найдите другой корень и коэффициент p .

Вернёмся к уравнению х 2 – 2016х + 2015 = 0 . Найдём его корни.

І V . Самостоятельная работа. ( если будет время)

Первичная проверка знаний ( с последующей взаимопроверкой):

C оставить приведенное квадратное уравнение

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х 2 – 16х + 63 = 0

3) Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

C оставить приведенное квадратное уравнение

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х 2 + 18х — 63 = 0

3) Один из корней квадратного уравнения равен -2. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Квадратные уравнения. Теорема Виета»

Разделы: Математика

ТЕМА УРОКА: Квадратные уравнения. Теорема Виета.

ЦЕЛЬ УРОКА: Закрепление, расширение и углубление представлений учащихся о решении квадратных уравнений.

Для достижения цели урока необходимо решить следующие задачи:

а) образовательные: формирование у учащихся навыков решения квадратных уравнений по формулам, с применением теоремы Виета и обратной ей теоремы; выработка умений применять знания и навыки по данной теме при решении нестандартных заданий;

б) развивающие: развитие умения самостоятельно находить методы решения квадратных уравнений различного уровня; развитие математической речи, внимания, памяти, навыков устного решения заданий;

в) воспитательные: воспитание у учащихся трудолюбия, вычислительной культуры, творчества при решении нестандартных заданий, содержащих параметр; выработка желания обобщать полученные факты.

ТИП УРОКА: Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков учащихся.

ФОРМА ПРОВЕДЕНИЯ: Урок-практикум.

ОБОРУДОВАНИЕ: опорный плакат «Квадратные уравнения», компьютер, индивидуальные карточки.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Организация начала урока, приветствие, проверка списочного состава учащихся.

2. СООБЩЕНИЕ ТЕМЫ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧ УРОКА, МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Объявить учащимся тему, цель и задачи урока.

Акцентировать внимание учащихся на актуальности изучаемой темы, на её значимости и месте в курсе алгебры.

Запись и комментирование домашнего задания: повторить п.20-24; № 966 (в, г), №946, №795(а).

3. АКТУАЛИЗАЦИЯ, ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ И КОРРЕКЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ

1. Фронтальная беседа с учащимися по формулам корней квадратного уравнения. Ученики записывают формулы на доске, а затем проверка осуществляется с использованием опорного плаката «Квадратные уравнения».

2. Повторение теоремы Виета и обратной ей теоремы, теоремы Виета для приведённого квадратного уравнения (демонстрация презентации, Приложение 1).

3. Устное решение уравнений (записи заранее приготовлены на обратной стороне доски).

Задания предлагаются в виде теста (выбрать правильный ответ):

4. ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ

Решение заданий на усвоение системы знаний и их применение для выполнения практических заданий.

1. Решить задачу, выделяя 3 этапа математического моделирования.

Университет в течение двух лет увеличивал приём количества студентов на один и тот же процент. На сколько процентов увеличивался приём студентов ежегодно, если количество поступивших возросло с 2000 человек до 2880?

Решение задачи на доске и в тетрадях учащихся.

1 этап: Пусть х %- процентное увеличение студентов в год. Тогда через год было принято 2000+ 0,01х ∙2000 = 2000 + 20х студентов, а ещё через год было принято (2000 + 20х) + (2000 + 20х)∙ 0,01х = 2000 + 20х + 20х + 0,2х 2 студентов, что по условию задачи равно 2880. Составим и решим уравнение:

2000 + 20х + 20х + 0,2х 2 = 2880,
0,2х 2 + 40х + 2000 – 2880 = 0,
0,2х 2 + 40х — 880 = 0,
х 2 + 200х – 4400 = 0,
к = 100, Д = 100 2 + 4400 = 14400,
х₁ = -100 + 120 = 20,
х₂ = -100 – 120 = -220.

3 этап: х₂ = -220 не подходит, т.к. процентное увеличение не выражается отрицательным числом.

2. Три ученика одновременно работают у доски.

а) Решить уравнение тремя способами: х 2 – 14х + 33 = 0.

Первый способ: Д =(-14) 2 – 4∙1∙33 = 196 – 132 = 64, х₁= 11, х₂ = 3.

Второй способ: к = -7, Д = (-7) 2 – 33 = 16, х₁ = 7 + 4 = 11, х₂ = 7 – 4 = 3.

Третий способ: По теореме Виета и обратной ей теореме:

б) Разложить трёхчлен х 2 – 14х + 33 на множители.

Так как х₁ = 11, х₂ = 3, то х 2 – 14х + 33= (х – 11) (х – 3).

Ответ: а) 11, 3; б) х 2 – 14х + 33= (х – 11) (х – 3).

3. В это время три ученика работают самостоятельно в тетрадях по карточкам.

№1

а) Решить уравнение: х 2 + 7х – 8 = 0.

б) Разложить квадратный трёхчлен х 2 + 7х – 8 на множители.

Ответ: а) -8, 1; б) х 2 + 7х – 8 = (х + 8)(х — 1).

№2

а) Решить уравнение: х 2 — 4х + 3 = 0.

б) Разложить квадратный трёхчлен х 2 — 4х + 3 на множители.

Ответ: а) 1, 3; б) х 2 — 4х + 3 = (х – 1)(х – 3).

№3

а) Решить уравнение: х 2 + 7х + 12 = 0.

б) Разложить квадратный трёхчлен х 2 + 7х + 12 на множители.

Ответ: а) -3, -4; б) х 2 + 7х + 12 = (х +3)(х + 4).

Решение заданий по карточкам учитель проверяет во время самостоятельной работы учащихся с учебником.

5. УСВОЕНИЕ ВЕДУЩИХ ИДЕЙ И ОСНОВНЫХ ТЕОРИЙ НА ОСНОВЕ ШИРОКОЙ СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ

Решение заданий повышенной сложности, требующих нестандартного подхода и творческой активности учащихся.

1. Работа с учебником.

№ 795(в). Самостоятельно решить задание, содержащее параметр двумя способами. При каких значениях параметра р уравнение х 2 + 15х + р = 0 имеет корень, равный 10? Проверить решение, используя слайд №2. (Приложение 2)

2. Тестовое задание.

Составить уравнение для решения задачи на движение.

Моторная лодка прошла 5 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти скорость лодки по течению. Используется слайд №3. (Приложение 2)

6. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА

1. Объявление отметок.

2. Стихотворение (А. Гуревич).

Теорема Виета

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна:
Хоть с минусом дробь эта, что за беда,
В числителе в, в знаменателе а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Г. Мордкович. Алгебра-8. Ч. 1. Учебник.- М.: Мнемозина, 2007.
2. А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. Алгебра-8. Ч.2. Задачник. — М.: Мнемозина, 2007.
3. А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская. Алгебра, 7-9. Тесты. — М.: Мнемозина, 2004.
4. А.Г. Мордкович. Алгебра, 7-9. Методическое пособие для учителя.
5. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики.- М.: Просвещение , 1994.