Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
sostavlenie_uravneniy_sfery_ploskosti_pryamoy.docx | 32.08 КБ |
Предварительный просмотр:
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.
Справочный материал и примеры.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.
Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n 1; n 2 ) Координаты точки ( х 0 ; у 0 ) .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n 1 (x-х 0 )+n 2 (y-у 0 )=0
Общее уравнение плоскости:
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax +By+Cz+D=0 , где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.
Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:
A(x-х 0 )+B(y-у 0 )+C(z-z 0 )=0
Уравнение поверхности сферы:
Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R – радиус сферы)
Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.
(x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 (R — радиус сферы; a, b, c — смещение центра сферы относительно центра координат)
Задания для практической работы:
- Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
- Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + (y —3) 2 + z 2 =100.
- Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
- Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)
- Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)
- Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6z+ 5 = 0, является уравнением сферы.
- Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
- Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).
- Какой вид имеет общее уравнение плоскости?
- Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
- Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
- Какой вид имеет общее уравнение прямой?
- Какой вид имеет уравнение сферы?
Уравнение прямой, плоскости и сферы
306 гр. Математика. Дистанционное обучение. Тема 1-3.
Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»
Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.
З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ: Самостоятельная работа
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве
Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу
П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.
Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0
0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно
Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.
Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.
Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением
Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0
Решить задания №1, №2
О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.
R – радиус сферы, т. О – центр сферы.
Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.
Подставим в уравнение сферы: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z-(-5)) 2 =3 2 .
Упростим: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Ответ: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6) 2 +(у+3) 2 +(z-4) 2 =64. Найти координаты центра и радиус сферы.
1)найдем координаты центра: (х-6) 2 +(у-(-3)) 2 +(z-4) 2 =64
2)найдем радиус: R 2 =64, R=√64=8,
Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.
Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6
Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3) 2 +(у+7) 2 +(z-8) 2 =25. Найти координаты центра и радиус сферы.
Уравнения прямой и плоскости
Практическое занятие 36
Форма проведения: Практическая
Обучающая: закрепить понятие уравнения сферы,плоскостии прямой
Развивающая: развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию; интерес к предмету; творческие способности учащихся.
Воспитывающая: воспитывать взаимопомощь у учащихся через работу в группах; уважение к мнению других.
раздаточный материал: карточки с заданиями, заготовки для вывода уравнения сферы, шкалы для оценки урока на этапе рефлексия, маркеры, магниты, чистые листы;
глобус, разминка для глаз в виде полушарий земной поверхности;
Ход урока
Девиз урока Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед! Древнегреческий поэт Нивен
Уравнения прямой и плоскости
Уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат можно задать уравнением вида
для случая, когда прямая не параллельна оси OY, и уравнением
для вертикальной прямой. Но прямая может быть также задана и другим способом. Достаточно указать вектор направления этой прямой и какую-нибудь точку , лежащую на этой прямой. При этом точки, лежащие на прямой, могут быть заданы с использованием векторных операций в виде так называемого параметрического уравнения прямой
в котором параметр t пробегает все значения числовой прямой. Координаты точки, соответствующей некоторому значению этого параметра, определяются соотношениями
( 3.4) |
Прямую в пространстве тоже можно задавать параметрическим уравнением, которое очень легко получить из предыдущего простым переходом от двумерных векторов к трехмерным. Пусть . Тогда это уравнение будет определять прямую в пространстве, а координаты точек этой прямой будут определяться формулами
( 3.5) |
Как известно из элементарной геометрии, через любые три точки в пространстве проходит плоскость. С другой стороны, через каждую точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости. При этом все эти прямые будут параллельны друг другу, а значит, они имеют общий вектор направления. Этот вектор будем называть нормалью к плоскости. Если длина вектора равна единице, мы будем называть его единичной нормалью. В компьютерной графике часто приходится решать задачу построения нормали к некоторой плоскости, заданной тремя точками, а также задачи пересечения прямой с плоскостью и двух плоскостей.
Плоскость в пространстве можно задать, указав вектор нормали к ней и какую-либо точку, принадлежащую данной плоскости. Пусть — вектор единичной нормали, а — некоторая точка на плоскости. Тогда для любой точки , лежащей на плоскости, вектор будет ортогонален вектору нормали, а следовательно, выполняется равенство
Раскрывая это выражение в координатном виде, получаем
Теперь перепишем это уравнение в виде
( 3.6) |
где . Это уравнение называется каноническим уравнением плоскости. При этом совершенно ясно, что если все это уравнение умножить на какой-либо отличный от нуля множитель, то оно будет описывать ту же самую плоскость, т.е. коэффициенты для каждой плоскости задаются с точностью до произвольного ненулевого множителя. Но если при этом вектор имеет единичную длину, то задает расстояние от начала координат до данной плоскости.
В алгоритмах компьютерной графики довольно часто приходится сталкиваться с задачей построения плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть три точки , и , не лежащие на одной прямой, имеют координатами и . Для канонического уравнения необходимо построить нормаль к плоскости, что легко можно осуществить, используя операцию векторного произведения. Поскольку векторы и лежат в искомой плоскости, то вектор будет ортогонален этой плоскости. Пусть , тогда уравнение плоскости будет иметь вид
Остается определить значение . Так как точка принадлежит этой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению. Подставим их в уравнение и получим
и после подстановки окончательно получим:
( 3.7) |
В большинстве алгоритмов, использующих плоскости, достаточно знать нормаль к ней и какую-либо точку, принадлежащую плоскости. Очевидно, что по аналогии можно вывести каноническое уравнение прямой на плоскости, если задана нормаль к ней и принадлежащая прямой точка.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O1(x0;y0;z0). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра O1(x0;y0;z0) равно радиусу R, т. е. O1M= R. Но , где . Следовательно,
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.
Если центр сферы Ο1 совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .
Если же дано уравнение вида F(x;y;z) = 0 , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; y; z)=0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».
Так, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения х, у, z. Уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х — любое число).
Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение F(x;y;z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.
1. Сфера задана уравнением (x – 1) 2 + y 2 + (z – 2) 2 = 9.
1. Найдите координаты центра и радиуса сферы.
2. Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(1; 3; -1) и В(2; 2; 1).
2. Сфера с центром в точке О(0; 1; -2) проходит через точку А(-3; 1; 2).
1. Составьте уравнение сферы.
2. Найдите координаты точек оси абсцисс, принадлежащих данной сфере.
3. Точки А(1; 2; -3) и В(7; 2; 5) лежат на сфере радиуса 13. Найдите
расстояние от центра сферы до прямой АВ.
1. Сфера задана уравнением x 2 + (y +3) 2 + (z – 2) 2 = 25.
1. Найдите координаты центра и радиуса сферы.
2. Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(4; -3; -1) и В(0; 1; 3).
2. Сфера с центром в точке О(-1; 0; 2) проходит через точку А(1; 2; 1).
1. Составьте уравнение сферы.
2. Найдите координаты точек оси ординат, принадлежащих данной сфере.
3. Точки А(1; 5; 6) и В(1; -1; -2) лежат на сфере, центр которой удален от
середины отрезка АВ на 12. Найдите радиус сферы.
1. Сфера задана уравнением x 2 + y 2 + z 2 + 2y – 4z = 4.
a) Найдите координаты центра и радиуса сферы.
b) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) и
В(1; 1; m — 2) принадлежат данной сфере.
2. Диаметр сферы – отрезок АВ с концами А(2; -1; 4) и В(2; 7; 10).
a) Составьте уравнение сферы.
b) Найдите кратчайшее расстояние от точки данной сферы до плоскости Оxy.
3. Сфера задана уравнением (x + 3) 2 + (y – 4) 2 + (z + 1) 2 = 25. Найдите
длину линии, по которой данная сера пересекается с плоскостью Оyz.
http://multiurok.ru/files/uravnenie-priamoi-ploskosti-i-sfery.html
http://megapredmet.ru/1-59472.html