Урок уравнения 10 11 класс — Решение уравнений

Показательные уравнения. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.

Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.

Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.

Структура урока

1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока

– Прочитайте тему сегодняшнего урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения называются показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.

2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)

Подберите корень уравнения 2 х = 32; 3 х = 27; 10 х = 10000
Решите уравнение х 2 = 36; х 2 + х = 0; х 2 + 2х + 1 = 0
Найдите область значений функции у = π х ; у = (0,5) х ; у = (0,5) |х|
Сравните, используя свойства функций, с единицей 2 – 5 ; (0,5) – 3 ; (0,5) 0,5

3. Изучение нового материала (лекция)

Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4). Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).

1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а х = а в , где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160 учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Пример 1 (слайд № 6).

(0,0016) 0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
– 0,8 х – 4 = 2;
– 0,8 х = 6;
х = – 7,5 .

Пример 2 (слайд №7)

36 · 6 х = 1;
6 2 + х = 60;
2 + х = 0;
х = – 2.

Пример 3 (слайд №8)

81 х · 2 4х = 36;
3 4х · 2 4х = 62;
6 4х = 6 2 ;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: 0,5.

Пример 4 (слайд № 9)

2 х – 3 = 3 х – 3 ;
х – 3 = 0;
х = 3.
Ответ: 3.

2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

2 · 3 х + 1 – 6 · 3 х – 1 – 3 х = 9;
3 х (2 · 3 – 6 · 3 – 1 – 1) = 9;
3 х · 3 = 9;
3 х = 3;
х = 3.
Ответ: 3.

Пример 2 (слайд № 11).

5 2х – 7 х – 5 2х · 17 + 7 х · 17 = 0;
5 2х – 5 2х · 17 = 7 х – 7 х · 17;
5 2х (1 – 17) = 7 х (1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5 2х = 7 х ;
25 х = 7 х ;
х= 0.
Ответ: 0.

3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

9 х – 4 · 3 х = 45;
3 2х – 4 · 3 х – 45 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t₁ = 9,
t₂ = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 9;
3 х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.

4. Закрепление изученного материала

– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём №680(3), 681(1), 682(3), 684(1), 693(2).

5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой

– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).

(0,3) 5 – 2х = 0,09;
225 · 15 2х + 1 = 1;
3 х + 1 – 3 х = 18;
9 х – 26 · 3 х – 27 = 0

Решение № 1 (слайд № 14)

Решение № 2 (слайд № 15)

15 2 · 15 2х + 1 = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.

Решение № 3 (слайд № 16)

3 х · 3 – 3 х = 18;
3 х (3 – 1) = 18;
3 х · 2 = 18;
3 х = 9;
3 х = 3 2 ;
х = 2.
Ответ: х = 2.

Решение № 4 (слайд № 17)

3 2х – 26 · 3 х – 27 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 26 t – 27 = 0;
t₁ = 27,
t₂ = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 27; 3 х = 3 3 ; х = 3;
Ответ: 3.

6. Подведение итога урока. Рефлексия

– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?

7. Домашнее задание (слайд № 18)

Урок-практикум по теме «Общие методы решения уравнений» п.56, «Алгебра и начала анализа 10-11 классы», авт.А.Г. Мордкович и презентации по данной теме.
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Цели:

Систематизировать, обобщить знания и умения учащихся по применению различных методов решения уравнений.
Развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.
Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учащихся к взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Скачать:

Вложение	Размер
obshchie_metody_resheniya_uravneniy.docx	19.54 КБ
k_uroku.pptx	247.36 КБ
prilozheniya.docx	56.04 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Общие методы решения уравнений»

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: урок – практикум.

компьютер, проектор, экран;
на магнитной доске размещены таблицы с графиками показательной, логарифмической, степенной функций (см. Приложение 5).
на столах у учащихся карточки № 1, № 2, № 3, оценочные листы (см. Приложение 4).

Систематизировать, обобщить знания и умения учащихся по применению различных методов решения уравнений.
Развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.
Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учащихся к взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Организационный момент. (2 мин.)

Приветствие учащихся.
Формулировка темы урока.
Формулировка целей урока.
Знакомство учащихся с этапами урока по оценочным листам.

Проверка домашнего задания. (1 мин)
Разминка проводится в форме теста по карточкам № 1 (см. Приложение 1). (10 мин.)
Фронтальный опрос. (8 мин)
Решение уравнений с последующим обсуждением. (25 мин)
Самостоятельная работа по карточкам № 2 (см. Приложение 2). (7 мин.)
Домашнее задание. (1 мин.)
Практическая работа по карточкам № 3 из дидактических материалов. (20 мин.) (см. Приложение 3)
Итог урока. Выставление оценок. (4 мин.)
Рефлексия урока. (2 мин.)

Приветствие учащихся. Учитель сообщает тему урока, цели урока.

— Ребята, на сегодняшнем уроке мы повторим основные методы решения уравнений. Эпиграфом к уроку будут слова немецкого математика Лейбница.

На экран проецируется слайд № 2 — эпиграф к уроку.

— Действительно, правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим способом.

Далее учитель знакомит учащихся с оценочными листами, порядком их заполнения.

Проверка домашнего задания.

Консультанты (5 человек), проверившие у учащихся своих групп выполнение домашнего задания на перемене, докладывают учителю о результатах проверки.

— Решение всех сложных уравнений всегда сводится к решению простейших уравнений. Сейчас мы проверим ваши знания и умения по решению простейших уравнений.

Каждый ученик получает тест (Карточка № 1) (см. Приложение № 1). Решает на листке, сдает учителю. В тетрадь записывает номера правильных ответов.

На экран проецируется слайд № 3 (таблица с правильными ответами).

В оценочный лист ученик выставляет 1 балл за каждое правильное решение.

— Ребята, какие общие методы решения уравнений вы знаете?

— Повторим изученные нами методы более подробно.

На экран проецируется слайд № 4. «Замена уравнения

h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x)» с образцом применения. (Метод 1).

— Когда применяется этот метод?

— Когда нельзя применять этот метод?

На экране слайд № 5. «Метод разложения на множители». (Метод № 2).

— В чем заключается суть данного метода?

— Как правильно отобрать корни?

На экране слайд № 6 . «Метод введения новой переменной». (Метод № 3).

— В чем заключается суть данного метода?

— На что важно обратить внимание, если мы ввели новую переменную?

На экране слайд № 7 . «Функционально-графический метод». (Метод № 4).

— В чем заключается идея данного метода?

— Существует красивая разновидность функционально-графического метода. Расскажите о ней.

— Когда обязательно нужна проверка?

Решение уравнений с последующим обсуждением.

На экран проецируется слайд № 8.

определить метод решения уравнений;
решить уравнения по выбору.

Ученики в тетради записывают номер уравнения, рядом указывают номер метода, которым можно решить данное уравнение.

Правильность классификации уравнений по методам решения проверяется в процессе обсуждения.

3 ученика у доски самостоятельно решают уравнения, которые можно решить I способом. Это уравнения № 2, № 5, № 12. В тетради ученики решают одно уравнение по выбору. По окончании решения каждый ученик объясняет свое решение.

Аналогично решаются остальные 3 группы уравнений:

— методом разложения на множители — № 6, № 8, № 10.

— методом введения новой переменной — № 3, № 4, № 7.

— функционально-графическим методом — № 1, № 9, № 11.

Самостоятельная работа по карточкам № 2. (4 варианта) (см. Приложение).

Комментарии. Каждый ученик рядом с уравнением указывает номер метода решения. По окончании работы проводится взаимоконтроль.

На экран проецируется Слайд № 9 с правильными ответами.

В оценочный лист за каждый правильный ответ выставляется по одному баллу.

Карточки остаются у учащихся.

Решить уравнения, записанные на карточках № 2.

Практическая работа по карточкам № 3 из дидактических материалов. (см. Приложение).

Работу выполняют на листах и сдают учителю.

Ответы записаны в тетради.

Сверяют ответы с ответами на экране. ( Слайд № 10).

В оценочный лист учащиеся вписывают баллы: 1 (а) – 3 балла, 1 (б) – 3 балла, 2- 4 балла. Подводят итог, ставят оценки.

Оценочный лист сдают учителю.

Итог урока. Выставление оценок.

Какими навыками, умениями вы овладели на сегодняшнем уроке?
Решение каких задач показалось вам сложным?
Какие задания вам понравились?

1.Алгебра и начала анализа 10-11кл. в двух частях. Учебник и задачник для общеобразоват. учреждений. / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004.

2. Алгебра и начала анализа 11кл. Самостоятельные работы. / Под ред. А. Г. Мордковича – М.: Мнемозина, 2007.

3.Алгебра и начала анализа. Контрольные работы 10-11кл. / А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская, 2005.

4.Тесты для промежуточной аттестации 10кл. / Под ред. Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: Легион, 2007.

5.Алгебра. Открытые уроки (обобщающее повторение в 7,9,10 кл.). /Авт. сост. С.Н. Зеленская – Волгоград: Учитель, 2007.

6.Интернет — ресурсы. http://images.yandex.ru/

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Общие методы решения уравнений Учитель: Протопопова Д.Х.

Эпиграф: « Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели». Готфрид Лейбниц.

Номер задания А1 А2 А3 А4 А5 А6 Вариант 1 1 2 1 2 1 1 Вариант 2 4 4 2 3 2 1

I метод Замена уравнения h ( f ( x )) = h ( g ( x )) уравнением f ( x ) = g ( x ) ПРИМЕР. Решить уравнение Решение: Ответ: 2; 4. X 1 =2, X 2 =4.

II метод Метод разложения на множители f(x) g(x) h(x) = 0 f(x)=0; g(x)=0; h(x) = 0. ПРИМЕР. Решить уравнение Решение: ОДЗ: x+2 ≥ 0 x-8 > 0 X 1 =7 X 2 = — 1; X 3 = — 5 X 4 = 9 ; ; Проверка найденных корней. Ответ: 9.

III метод Метод введения новой переменной f(x) = 0 p(g(x)) = 0 p(u) = 0, ( где u=g(x)) g(x) = u 1 ; g(x) = u 2 ; … g(x) = u n ПРИМЕР. Решить уравнение Решение. Пусть , тогда u 1 =2 ; u 2 = — 11 . Проверить корни подставкой. u 1 = 2 – корень , u 2 = -11 – посторонний корень. x 2 – x = 2; x 1 = 2 ; x 2 = -1. Ответ: 2; -1 .

IV метод Функционально-графический метод ПРИМЕР 1. Решить уравнение Решение. 2) А(1;1), В(4;2) 1 ) 3) х 1 = 1 ; х 2 = 4 . Ответ: 1; 4. ПРИМЕР 2. Решить уравнение Решение. 1) Подбором находим корень х = 2 . 2) 3) — возрастающая функция — убывающая функция Значит, х = 2 – единственный корень. Ответ: 2.

Номер уравнения 1 2 3 4 5 6 Вариант 1 1 3 2 2 4 1 Вариант 2 1 2 4 1 3 4 Вариант 3 4 1 4 3 1 2 Вариант 4 4 1 1 2 3 2

Номер задания 1а (3 балла) 1б (3 балла) 2 (4 балла) Вариант 1 4 Вариант 2 -1 Вариант 3 2;-5 1 Вариант 4 1

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №49. Уравнения. Методы решения уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Методы решения уравнений.
Применение методов решения к уравнениям различного вида.
Примеры решения задач государственной итоговой аттестации

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основные методы решения уравнений

Метод разложения на множители

Решить уравнение:

ООУ:

Преобразуем обе части уравнения

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

или

имеет множество корней

равносильно и его корни

Ответ:

Метод замены переменной

ООУ:

Так как в уравнении присутствует повторяющееся выражение, введем новую переменную

и получи уравнение

, корни которого

Возвращаемся к первоначальной переменной

Ответ:

Метод решения однородных уравнений.

ООУ: x – любое действительное число

Все слагаемые в правой части уравнения имеют равные степени, поэтому разделим обе части уравнения на и получим

Решаем полученное уравнение методом замены переменной

или

Итак, можно сделать следующие выводы. Наличие в уравнении повторяющихся элементов позволяет сделать предположение, что в его решении можно применить метод замены переменной. Наличие общих множителей выводит на применение метода разложение на множители. Если же в одной из частей уравнения стоит однородный многочлен, то применяем метод решения однородных уравнений.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решите уравнение