Урок уравнения и неравенства с двумя переменными

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
• Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
• Нахождение площади получившейся фигуры.

Глоссарий по теме

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где a, b и c — некоторые числа (a ≠ 0 , b ≠0), а, х и у — переменные.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Построить график уравнения 2х+у =1

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
2. Пусть точка М₁(х_1,у₁) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, а М₂(х_1,у₂)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0_. Тогда 2у₂ – 3х₁ – 6 = 0, а 2у₁ – 3х₁ – 6 0 штриховкой (рис. 1)

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c 0, достаточно взять какую-нибудь точку М₁(х₁; у₁), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх₁ + bу₁ + c.

Повторительно-обобщающий урок по теме «Уравнение и неравенства с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Повторительно-обобщающий урок по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

Цель: 1. Систематизировать знания по теме « Уравнения и неравенства с двумя переменными»

Развивать вычислительные навыки

Воспитывать внимательность и аккуратность при работе

Приветствие, объявление темы и цели урока

Б) Работа по карточкам

1.На рисунке изображена прямая у=х+1 и показаны множества точек , задаваемые четырьмя различными неравенствами.

Назовите соответствующие неравенства (а,б- устно ; в,г- самостоятельно)

А) у˂х+1 б) ух+1 в) у≤ х+1 г) у˃х+1

2.Является ли решением системы неравенств пара чисел:

А)( 2;0) да (у доски) б)(1;-3) да в) (-1; 1) нет ( самостоятельно)

4.Решите систему уравнений способом подстановки: (самостоятельно)

А) х=1+у у 2 — (1+у)=41 у 2 -у-42=0 Д=169 у₁=-6 у₂=7 х₁=-5 х₂=8

б) х=-8-у (-8-у)у-у 2 =6 у 2 +4у+3=0 Д=4 у₁=-1 у₂=-3 х₁=-7 х₂=-16

5.Решите систему уравнений методом сложения:

в результате почленного сложения получаем

(5х 2 +5х 2 )+ (2у 2 +(-2у 2 ))=52+ (-12);

Х₁==2 х₂=-=-2

Для того чтобы найти значения у, подставим значения х₁ и х₂ в любое из уравнений системы.

5·2 2 +2у 2 =52 2у 2 =52-20 2у 2 =32 │˸2 у 2 =16 у₁=4 у₂=-4

5·(-2) 2 +2у 2 =52 2у 2 =52-20 2у 2 =32 │˸2 у 2 =16 у₁=4 у₂=-4

А) б)

6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39 см. Найдите катеты треугольника, если известно, что один из его катетов на 21 см больше другого.

ВС=х см АС=у см

441+42у+у 2 +у 2 =1521 2у 2 +42у-1080=0 у 2 +21у-540=0 Д=441+2160=2601

У₁=15 у₂=-36 неуд.усл.задачи Значит, АС=15 см ВС=21+15=36 см

Ответ: 15 см, 36 см.

Дополнительное задание (вариант 114 № 21; вариант 116 № 22)

1.На рисунке изображена прямая у=-2х+1 и показаны множества точек , задаваемые двумя различными неравенствами. Запишите соответствующие неравенства

2.Является ли решением системы неравенств пара чисел (0;2) ?

3.Решите систему уравнений:

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см. Найдите катеты треугольника, если известно, что один из его катетов на 3 см больше другого.

5. Решите систему уравнений:

Карточка для работы

На рисунке изображена прямая у=х+1 и показаны множества точек , задаваемые четырьмя различными неравенствами.

Назовите соответствующие неравенства

Является ли решением системы неравенств пара чисел:

А)( 2;0) б)(1;-3) в) (-1; 1) г) (0;2) д) (3;-4)?

4.Решите систему уравнений способом подстановки:

А) б)

5.Решите систему уравнений методом сложения:

в результате почленного сложения получаем

(5х 2 +5х 2 )+ (2у 2 +(-2у 2 ))=52+ (-12);

Х₁==2 х₂=-=-2

Для того чтобы найти значения у, подставим значения х₁ и х₂ в любое из уравнений системы.

5·2 2 +2у 2 =52 2у 2 =52-20 2у 2 =32 │˸2 у 2 =16 у₁=4 у₂=-4

5·(-2) 2 +2у 2 =52 2у 2 =52-20 2у 2 =32 │˸2 у 2 =16 у₁=4 у₂=-4

А) б)

6. . Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39 см. Найдите катеты треугольника, если известно, что один из его катетов на 21 см больше другого

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 583 477 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 01.03.2016
• 509
• 2

• 01.03.2016
• 761
• 2

• 01.03.2016
• 420
• 1

• 01.03.2016
• 355
• 0

• 01.03.2016
• 521
• 2

• 01.03.2016
• 598
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 01.03.2016 2016
• DOCX 476 кбайт
• 63 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Касенова Юлия Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 40233
• Всего материалов: 26

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Урок в 9 классе «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

У р о к
Итоговый урок по теме «Уравнения
и неравенства с двумя переменными»

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме; закрепить умения решать уравнения, неравенства и их системы с двумя переменными.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из пар чисел (0; 3), (1; –2), (–1; 1) являются решениями данных систем?

а) в)

б) г)

III. Формирование умений и навыков.

Предложить учащимся карточки-задания разного уровня сложности. Учащиеся выполняют решения самостоятельно, а учитель осуществляет контроль и в случае необходимости дает им консультации.

К а р т о ч к а № 1

1. Докажите, что пара чисел (–5; 2) не является решением системы уравнений

2. Решите систему уравнений:

а) б)

3. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

К а р т о ч к а № 2

1. Решите систему уравнений:

а) б)

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = 4х 2 – 2 и прямой 3х – 2у = –1.

3. Произведение двух чисел на 13 больше их суммы. Если из первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 9. Найдите эти числа.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

К а р т о ч к а № 3*

1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению | у + 1 | = 2 – х.

2. Решите систему уравнений:

а) б)

3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20 %, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50 %, получили раствор, содержащий 30 % кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

4. При каких значения параметра а система уравнений:

имеет два решения?

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Р е ш е н и е заданий карточки № 1

1. Подставим х = –5 и у = 2 в каждое из уравнений системы:

Значит, пара чисел (–5; 2) не является решением данной системы.

а)

х ₁ = –6 у₁ = –6 – 3 = –9;

х ₂ = 8 у₂ = 8 – 3 = 5.

О т в е т: (–6; –9), (8; 5).

б)

у ₁ = 1 х₁ = 1 – 2 · 1 = –1;

у ₂ = 3 х₂ = 1 – 2 · 3 = –5.

О т в е т: (–1; 1), (–5; 3).

3. Обозначим первое число за х, а второе – за у. Согласно условию задачи получим систему уравнений:

D = 625 – 4 · 144 = 49;

у ₁ = = 16 х₁ = 25 – 16 = 9;

у ₂ = = 9 х₂ = 25 – 9 = 16.

О т в е т: 9 и 16.

а) б)

Р е ш е н и е заданий карточки № 2

1. а)

у ₁ = –2 х₁ = 5 + (–2) = 3;

у ₂ = –8 х₂ = 5 + (–8) = –3.

О т в е т: (3; –2), (–3; –8).

б)

х ₁ = у₁ = 3;

х ₂ = – у₂ = –3.

О т в е т: (; 3), (–; –3).

2. Чтобы найти координаты точек пересечения данных параболы и прямой, нужно решить систему уравнений:

х ₁ = 1 у₁ = 4 · 1 – 2 = 2;

х ₂ = у₂ = 4 · – 2 = .

О т в е т: (1; 2), .

3. Обозначим первое число за х, а второе – за у. Согласно условию задачи получим систему уравнений:

D = 25 + 264 = 289;

у ₁ = = 2 х₁ = 3 · 2 + 9 = 15;

у ₂ = х₂ = 3 · + 9 = –2.

О т в е т: (15; 2), .

а) б)

Р е ш е н и е заданий карточки № 3*

1. Раскрывая модуль, получим совокупность двух уравнений:

1) если у ≥ –1, то у + 1 = 2 – х,

Изобразим на координатной плоскости оба этих случая:

а)

Сделаем замену: = а, = b. Получим систему:

Складывая почленно левые и правые части уравнений этой системы, получим равенство:

Значит, система имеет бесконечное множество решений.

Выразим из второго уравнения переменную а через переменную b:

a = .

Возвращаясь к замене, получим:

Получаем, что исходная система имеет бесконечное множество решений вида , где у ≠ 0 и у ≠ .

Например, это могут быть такие пары, как , (2; –1), (1,2; –2). И т. д.

б)

Обозначим х + у = т, а ху = п. Тогда имеем:

т ₁ = –10 п₁ = –10 + 29 = 19;

т ₂ = 13 п₂ = 13 + 29 = 42.

Возвращаясь к замене, получим системы:

Решая эти системы, получаем ответ.

О т в е т: (6; 7), (7; 6), (–5 + ; –5 – ), (–5 – ; –5 + ).

3. Пусть было взято x г первого раствора и y г – второго раствора. По условию в первом растворе было 0,2x г кислоты, а во втором – 0,5y г кислоты.

После смешивания получили 30 %-ный раствор, то есть в нем было 0,3 (x + y) г кислоты. Масса кислоты после смешивания двух растворов равна сумме масс исходных растворов.

Получаем, что первый и второй растворы были взяты в отношении 2 : 1.

4.

Вычтем почленно из второго уравнения системы первое:

Тогда данную систему уравнений можно представить как совокупность двух систем:

1) 2)

Исходная система будет иметь два решения в трех случаях:

– если каждая из систем имеет по одному решению;

– если первая система имеет два решения, а вторая – решений не имеет;

– если вторая система имеет два решения, а первая – решений не имеет.

Если в каждой из полученных систем выразить одну переменную через другую и найти дискриминант, то в обоих случаях получим:

Выражение 4а – 10 не может быть одновременно больше и меньше нуля, поэтому подходит тот случай, когда каждая из систем имеет единственное решение, то есть, когда D = 0:

5.

Для построения графика уравнения х 2 – у 2 = 0 воспользуемся формулой разности квадратов. Получим:

(х – у) (х + у) = 0

Для построения графика уравнения у = | х + 2 | необходимо раскрыть знак модуля и рассмотреть два случая.

Домашнее задание: № 527 (а, г), № 528 (а), № 529 (а), № 542, № 555.