Урок в квадратные уравнение конспект

Конспект урока в 8-м классе «Квадратные уравнения»

Презентация к уроку

Тип урока: Урок изучения нового.

Цели урока: Организовать коллективный способ изучения нового материала, повторение формул сокращенного умножения, работу с учебником. Сформулировать определение квадратного уравнения; доказать теорему о корнях уравнения х 2 = d.

В результате ученик

• какие учебные задачи стоят перед ним при изучении темы,
• определение квадратного уравнения,
• название коэффициентов квадратного уравнения:

• из предложенных уравнений выбирать квадратные,
• определение квадратного уравнения,
• составлять квадратное уравнение, если заданы коэффициенты:

• необходимость изучения темы «Квадратные уравнения»

Структура урока:

1. Мотивационно-ориентировочная часть:
   • актуализация знаний
   • мотивация, постановка учебной задачи.
2. Операционно-познавательная часть:
   • решение учебной задачи (цели урока).
3. Рефлексивно-оценочная часть:
   • подведение итогов урока,
   • выдача домашнего задания.

Ход урока

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
С. Коваль.

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся.

– Каков общий вид линейного уравнения? (ах + с = 0)

– Как называются числа а и с, какие значения они могут принимать? (Это коэффициенты уравнения, они могут быть любыми, кроме случая, когда

– Дайте определение корня уравнения. (Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство)

– А что значит решить уравнение? (Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет)

– При изучении каких предметов вам приходилось составлять и решать уравнение? (При изучении физики, химии, геометрии)

– Какую тему я просила вас повторить? (Разложение квадратного трехчлена на множители)

– Чему вы научились за время изучения этой темы, покажут задания, которые я предлагаю вам решить:

(открыть створку доски)

1) Решите уравнения (устно):

2) Разложите на множители способом группировки: х 2 -12х+20;

х 2 – 12х + 20 = х 2 – 10х — 2х + 20 = х (х – 10) – 2(х – 10) = (х – 10) (х – 2)

II. Операционно-познавательная часть.

1 Ребятам предлагается решить задачу №1 в учебнике. Читаем задачу. Учащимся предлагается сформулировать алгоритм решение такого типа задач. На доске ученик записывает решение.

Если х см – это высота прямоугольника, то (х + 10) см – основание
х (х + 10) см 2 – площадь прямоугольника, она равна 24 см 2 . Следовательно
х (х + 10) = 24
х 2 + 10х – 24 = 0 Разложим левую часть на множители способом группировки
х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = (х 2 + 12х) – (2х + 24) =
х (х + 12) — 2 (х + 12) = (х + 12) (х – 2)
(х – 2) (х + 12) = 0
х – 2 = 0 или х + 12 = 0
х₁ = 2, х₂ = -12. Так как длина отрезка не может быть отрицательным числом, то высота прямоугольника равна 2 см.

Учитель обращает внимание, что при решении этой задачи было получено уравнение х 2 + 10х – 24 = 0

Что мы имеем в левой части? (Квадратный трехчлен)

Как вы думаете называется уравнение х 2 + 10х – 24 = 0? (Квадратным уравнением)

Значит тема сегодняшнего урока «Квадратные уравнения».

Мы должны дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по его коэффициентам, выбирать из предложенных уравнений квадратные.

Учитель дает определение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с – заданные числа, а ≠ 0.

Числа a, b, c – это коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, а c – свободным членом.

2. Из истории квадратных уравнений. Презентация.

3. Решить уравнение х 2 = 64.

Теорема. Уравнение х 2 = d, где d > 0? Имеет два корня х₁ =, х₂ = —.

х 2 = d
х 2 – d = 0
Т.к d > 0, то d = () 2 .
х 2 — () 2 = 0
(х — ) (х +) = 0
х — = 0 или х + = 0
х₁ = х₂= —

Если d = 0, то уравнение имеет один корень х = 0.

Если d 2 – 17х + 14 = 0;
б) х 2 + 14 + 0;
в) – 7х 2 + 14 – 5х = 0;
г) – 17х + 14 = 0;
д) – 17х + х 2 = 0;
е) 3х 3 – 17х + 14 = 0;
ж) 5х – 8 — 3х 2 = 0

2. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:

а) а = 3, b = 7, с = 6;
б) а = 2; b = 0; с = 10;
в) а = 4; b = 1; с = 0

3. Приведите данные уравнения к виду ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

а) х 2 + 2х – 3 = 2х + 6;
б) х (х + 1) – 3 = х (2х – 4) + х 2 ;
в) х 2 = (3х – 2 ) 2

– Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Понятие квадратного уравнения)

– Какую цель мы поставили в начале урока?

(Дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по коэффициентам, выбирать среди уравнений квадратные)

– Так какое же уравнение называется квадратным? (Учащиеся отвечают)

Какую работу мы должны провести дальше с уравнениями нового класса?

(Научиться решать, исследовать вопрос о количестве корней уравнения, изучить свойства)

– Об этом мы поговорим на следующих уроках

Запишем домашнее задание.

1. Знать определение квадратного уравнения п.25
2. №403 (2; 4 ), 404 (2; 4 ), 405 (2; 4; 6 ), 408 (2; 4; 6 ), 409 (2; 4; 6 )
3. Для желающих доклады:
   а) Исследования Декарта по решению алгебраических уравнений.
   б) Диофант Александрийский.
   в) Трактат «Китаб аль – джебр валь – мукабала» аль Хорезми. Приемы решений уравнений вида ах 2 = bх.

Полностью текст работы приведен в Приложении.

Конспект урока в 8 классе «Решение квадратных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Конспект урока в 8 классе «Решение квадратных уравнений»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Алгебра .8 класс: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова;

под ред. С.А. Теляковского

Тема: Решение квадратных уравнений

Цель урока: закрепить умение решать квадратные уравнения и совершенствовать навыки решения полных и неполных квадратных уравнений

Образовательные: повторить определение квадратного уравнения, алгоритм решения, формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения.

Развивающие: развивать логическое мышление, внимание, умение аргументировать, делать выводы, формировать грамотность математической речи, интерес к математике.

Воспитательные: воспитывать ответственность, инициативность, настойчивость, дисциплинированность, взаимопомощь.

Тип урока: урок комплексного применения знаний

Методы и приёмы: фронтальный опрос, метод самостоятельной работы, частично-поисковый, взаимопроверка, самопроверка, применение элементов разно-уровневого обучения .

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний (устная работа).
3. Самостоятельная работа с проверкой.
4. Работа по теме урока.
5. Из истории квадратных уравнений (Историческая справка).
6. Физкультминутка.
7. Самостоятельное решение квадратных уравнений по вариантам разного уровня(самопроверка через программированный контроль).
8. Подведение итогов.

Здравствуйте, ребята. Посмотрите внимательно на уравнения, записанные на доске. Найдите среди них лишнее:

2х 2 -4х+3=0; 5х-7х 2 -4=0; 8х –х 2 =0; 7х-15=13; 5х 2— 12=0; 3х 2 -5х=12

Определите тему урока

Нам предстоит поработать над очень важной темой: “Решение квадратных уравнений”. У вас уже достаточно много знаний и умений по этой теме, поэтому наша с вами задача: обобщить и сложить в систему все те знания и умения, которыми вы владеете на данный момент.

Приступим к работе. Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую устную разминку .

2. Актуализация знаний (устная работа). Повторим теорию.

1) Дайте определение квадратного уравнения

2. Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

1) полное; 2)неполное; 3)приведённое

3. Какие уравнения называются приведёнными?

4. Дайте определение неполных уравнений.

— коэффициенты b или с равны нулю

1. Какой вид имеет неполное квадратное уравнение, если b= 0?

1. Какой вид имеет неполное квадратное уравнение, если с = 0?

1. По какой формуле считается дискриминант?

1. Сколько корней имеет уравнение, если ?

1. По какой формуле находят корни квадратного уравнения, если уравнение решается через дискриминант ?

1. Как можно решить квадратное уравнение, если коэффициент b чётный?

3. Самостоятельная работа (взаимопроверка):

№1. Составьте уравнения с заданными коэффициентами и укажите полные и неполные уравнения:

№2. Заполните таблицу и сделайте вывод о количестве корней квадратного уравнения:

4. Решение уравнений (работа на доске)

6) ;

7) ;

8)

9) .

5. Историческая справка (презентация, сообщение ученика)

7. Самостоятельная работа (самоконтроль)

У каждого ученика на столе карточка программированного контроля. Карточки приготовлены по уровню сложности. Ключом к ответу является слово, имеющее отношение к математике

—

—

0;

7;

1;

-1;

-1;

—

—

1. Домашнее задание: на «3» №654(а-г); на «4» » №654(а-г),№655(а);

1. Итоги: Заполнить оценочный лист

Устный опрос ( оценивается учителем)

( оценивается в парах)

( оценивается в парах)

С каким настроением уходите с урока?

Как оцениваете свои знания по теме?

Что нужно повторить?

Текст к презентации: Из истории квадратных уравнений.

История математики уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с квадратными уравнениями решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:

«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе.

В клинописных текстах вавилонян встречаются не только неполные, но и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!»,

«Ты правильно нашел!».

Греческий математик Диофант ( III век нашей эры) составлял и решал квадратные уравнения. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями, которые решены при помощи составления уравнений разных степеней.

Первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми (территория современного Узбекистана)

Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении» («Аль-джебр» и «аль-му-кабала»). Слово «аль-джебр» – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра». Это был первый в мире учебник алгебры. Он дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Трактаты аль-Хорезми были переведены в числе первых сочинений по математике в Европе с арабского на латынь. До XVI в. алгебру в Европе называли искусством алгебры и макабалы.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и яркостью изложения. Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» были включены почти во все европейские учебники XVI-XVII в. и частично XVIII в.

Испанский математик Вальмес в 1486 году как-то в семейном кругу обмолвился о том, что нашел формулу для решения уравнения четвертой степени. В числе гостей оказался влиятельный инквизитор. Услышав слова Вальмеса, он заявил, что волей Божьей решать эти уравнения человеку не дано, а найти формулу можно было только с помощью дьявола.

В ту же ночь Вальмес был брошен в тюрьму, а через три недели сожжен на костре за связь с дьяволом. Лишь через 100 лет решение этих уравнений было найдено вторично.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х 2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Михэлем Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Франсуа Виета, однако он также признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря трудам Рене Декарта, Исаака Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Слайд 7. А с каким еще понятием мы постоянно сталкиваемся при решении квадратных уравнений?

А вот понятие Dискриминант придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов. А зачем нужен дискриминант?

• Он определяет число корней квадратного уравнения (осуществляет дискриминацию)

Слайд 8. Вывод: Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

Слайд 10. В настоящее время, умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики: дробно — рациональные уравнения (8 класс),

тригонометрические, логарифмические, показательные (10-11 классы).

Квадратные уравнения решаются не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии, информатики. Большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений.

Слайд 11. Альберт Эйнштейн говорил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Конспект урока «Квадратные уравнения»

Цели урока: знакомство с квадратными уравнениями; формулирование определения квадратного уравнения; ввести понятия неполного и полного уравнения; научить учащихся решать неполные квадратные уравнения.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока «Квадратные уравнения»»

План-конспект открытого урока

Тема: «Квадратные уравнения»

Цели урока: знакомство с квадратными уравнениями; формулирование определения квадратного уравнения; ввести понятия неполного и полного уравнения; научить учащихся решать неполные квадратные уравнения.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

3. Изучение нового материала: l. Уравнения.

l l. Квадратные уравнения.

l l l. Неполные квадратные уравнения.

lV. Способы решения неполных квадратных уравнений.

Закрепление изученного: решение неполных квадратных уравнений.(на понимание)

Итоги урока. Выставление оценок.

Домашнее задание № 417 — 419 (2;4;6).

По фрагментное распределение содержания учебного текста

Виды уравнений (линейные и нелинейные)

Определение квадратного уравнения.

Коэффициент квадратного уравнения.

Виды квадратных уравнений.

Решение неполных квадратных уравнений.

УРАВНЕНИЕ — равенство, содержащее неизвестные величины.

ЛИНЕЙНЫМ уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах=в, где х — переменная, а и в — числа.

КВАДРАТНОЕ уравнение — уравнение вида ах² + вх + с = 0, где а,в,с — заданные числа, х — переменная.

КОЭФФИЦИЕНТЫ квадратного уравнения: а — первый(старший коэффициент), в — второй коэффициент, с — свободный член.

НЕПОЛНОЕ квадратное уравнение — квадратное уравнение

ах² + вх + с = 0, у которого хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю.

ПОЛНОЕ квадратное уравнение — квадратное уравнение, у которого все три коэффициента отличны от нуля.

Актуализация знаний учащихся:

Учитель:решение многих задач в математике сводится к решению уравнений. С уравнениями вы знакомы еще с начальной школы. Чтобы вспомнить об уравнениях и их видах я предлагаю прочитать текст l, который лежит у вас на партах. И устно ответить на вопросы 1.1.

l l. Учитель: Нелинейные уравнения в зависимости от степени уравнения бывают квадратные и неквадратные (заполнение таблицы). Тема сегодняшнего урока «Квадратные уравнения». Откройте свои тетради, запишите число, тему урока и перечертите таблицу в тетрадь.

Учитель: А теперь читаем текст под римской цифрой l l и отвечаем на вопросы

l l.1-5. Ответы на вопросы вы можете обсудить в парах; задания 2,3,5 выполняем по вариантам в тетрадях.

l l l. Учитель: читаем l l l часть текста и отвечаем на вопросы l l l.1-4.

lV. Учитель: А теперь рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов; читаем lV часть текста и отвечаем на вопросы lV. 1-2. Работа в парах.

Запись в тетрадях: АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ах² + с = 0 ах² + вх = 0 ах² = 0

ах² = — с х(ах + в) = 0 х² = 0

х² = — с : а х=0 или ах + в = 0 х=0

Запись на доске (проверка!)

Учитель: а теперь самостоятельная работа по вариантам lV.3. Проверить у тех, кто решил раньше, остальные сверяют решение, которое уже записано на экране. Итоги самостоятельной работы.

1 вариант 2 вариант

Итог урока: выставление оценок.

Домашнее задание № 417 — 419 (2;4;6).

ПРИЛОЖЕНИЕ К УРОКУ

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовывать в уравнение ах=в, где х — переменная, а и в — числа. Это уравнение называют линейным.

l l. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Решением многих задач математики, физики, техники сводится к решению уравнений вида 2х² + х + 1 =0, 0,8х² — 7х=0, х² -25 =0, 2х² =0. Каждое из этих уравнений имеет вид ах² + вх + с = 0, где а,в,с — заданные числа, х — переменная. В первом уравнении а=2, в=1, с=1; во втором а=0,8, в= -7, с=0; в третьем а=1, в=0, с=-25; в четвертом а=2, в=0, с=0. Такие уравнения называют квадратными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. КВАДРАТНОЕ уравнение — уравнение вида ах² + вх + с = 0, где а,в,с — заданные числа, х — переменная, причем а не равно нулю.

Числа а,в,с — коэффициенты квадратного уравнения.Число а называют первым коэффициентом, в — вторым, с — свободным членом.

При решении многих задач получаются уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2х² +3 х= х² +2 х+ 2 после перенесения всех членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению х² + х- 2=0. Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

l l l. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так уравнения -2х² + 7 =0, 3х² -10 х =0 и -4х²=0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них в=0, во втором с=0, в третьем в=0 и с=0. Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: ах² + с = 0, где в=о; ах² + вх = 0, где с=0; ах² = 0, где в=0 и с=0.

lV. РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

ПРИМЕР 1. Решим уравнение -3х² + 15 = 0, перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3: -3х² = — 15; х² = 5; х= √5 или х= -√5. Ответ: √5; — √5.

ПРИМЕР 2. Решим уравнение 4х² + 16 = 0, перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на4: 4х² = — 16; х² =-4. Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х² + 16 = 0. Ответ: корней нет.

ПРИМЕР 3. Решим уравнение 4х² +9х = 0, разложим левую часть уравнения на множители: х(4х + 9) =0; отсюда х=0 или 4х + 9=0; решим уравнение 4х + 9=0; 4х = — 9; х= — 9/4. Ответ: 0; — 9/4.

ПРИМЕР 4. Решим уравнение 2х²=0; х²=0; х=0. Ответ: 0.

l. 1. Сформулируйте определение уравнения.

2. Назовите виды уравнений, которые вам известны.

3. Приведите примеры линейных уравнений.

l l. 1. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

2. Из приведенных ниже уравнений выпишите квадратные уравнения:

1 вариант 2 вариант

3,7х² — 5х + 1 = 0 5х² — 14х + 17 = 0

48х² — х³ — 9 =0 -7х² — 13х + 8= 0

7х² — 13= 0 х² — х = 0

5х² — 9х + 4 = 0 -13 х³ — 9 =0

-х² — 8х + 1 = 0 х² + 25 = 0

Назовите в каждом квадратном уравнении из задания 2 его коэффициенты.

Можно ли, уравнение

1 вариант (х-3)(х-1) = 12 2 вариант х(х-3) = 4

после алгебраических преобразований свести к квадратному уравнению? Напишите полученное квадратное уравнение. Назовите коэффициенты квадратного уравнения.

Назовите степень следующих уравнений: х² — х = 0; х² — 13х + 8= 0

Запишите квадратное уравнение, если известны его коэффициенты:

1вариант 2 вариант

а=2, в=3, с=4 1) а=3, в=-4, с=6

а=-1, в=0, с=0 2) а=-1, в=0, с=9

а=1, в=0, с=0 3) а=-2, в=0, с=0

l l l. 1. Назовите виды квадратных уравнений в зависимости от их полноты.

2. Сформулируйте определение неполного квадратного уравнения.

3. Назовите виды неполных уравнений. По какому принципу вы их разделили?

4. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов (укажите вид).

lV.1. Напишите алгоритм решения неполных квадратных уравнений.

2. Назовите количество корней у каждого вида неполных квадратных уравнений.

3. Решите уравнение:

1 вариант : 4 х² — 9 = 0 ; 3 х² — 4х = 0 ; 6 х² = 0

2 вариант: 25 х² — 49 = 0 ; 5 х² — 3х = 0 ; -7 х² = 0