Урок виды уравнений и их решения

Урок устной работы по алгебре в 9-м классе. Тема: «Виды уравнений и способы их решения»

Тема: “Виды уравнений и способы их решения”.

Форма: урок устной работы.

Цели:

• Обучающая: привести в систему знания учащихся по данной теме (повторить теорию, выработать умение определять вид уравнения и выбирать рациональный способ решения данного уравнения);
• Развивающая: интенсивное и творческое мышление, желание поиска решения;
• Воспитывающая: привитие интереса к устной работе, воспитание навыков сознательного усвоения материала.

Ход урока

I. Мотивация.

Историческая справка о возникновении “алгебры” в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений (1 мин.)

II. Повторение теоретического материала.

III. Устная работа.

Решите уравнение, объясняя какого вида уравнение, назовите способ его решения, теоретически обосновывая каждый шаг.

А) Линейные уравнения

1.

3х + (20 – х) = 30 линейное уравнение

3х + 20 –1х = 30 раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые

2х + 20 = 30 переносим слагаемые без переменной в правую часть, меняя знак

х = 5 находим значение переменной

2.

7m * 3 = 5 * 2m решается по свойству пропорции

21 m = 10 m переносим слагаемые в левую часть уравнения

21 m – 10 m = 0 приводим подобные члены

11 m = 0 свойство произведения (равенство 0)

3.

( х – 3 ) 2 – х 2 = 7 – 5 х раскрываем скобки

х 2 – 6х + 9 – х 2 = 7 – 5 х приводим подобные слагаемые

– 6х + 9 = 7 – 5 х переносим слагаемые

6х + 5х = 7 – 9 приводим подобные слагаемые

Б) Квадратные уравнения, и уравнения, приводимые к квадратным

1.

z 2 – 10 = 29 неполное квадратное уравнение

z 2 = 39 > 0; 2 корня

z₁ =

z₂ = –

2.

– х 2 = 13 неполное квадратное уравнение

х 2 = –13 2 – 5 ( х – 4 ) + 6 = 0 уравнение, приводимое к квадратному

по теореме, обратной теореме Виета

решаем обратную подстановку:

4.

х 4 – 13 х 2 + 26 = 0, уравнение биквадратное

x 2 = t, t 0

t 2 – 13 t + 36 = 0

Д = ( –13 ) 2 – 4*36 = 169 – 144 = 25 >0, 2 корня

х 2 = 9 > 0, 2 корня

х 2 =4 > 0 , 2 корня

5.

(x + 2) 2 = t, t 0

t 2 – 11 t – 12 = 0

по теореме, обратной теореме Виета:

t₁ t₂ = –12, следовательно t₁ = 12 0

t₂ = –1 – посторонний корень

Решаем обратную подстановку:

Д = 48 > 0, 2 корня

х_{1, 2} = ( –4 + 4) : 2

х_{1, 2} = –2 + 2

В) Уравнения высших степеней

1.

х 2 ( 1 – х ) = 0, следовательно х = 0 или 1 – х = 0 х = 1

2.

разделим обе части на 3:

y =

3.

( х 3 + х 2 ) + ( х + 1) = 0

х 2 (х + 1) + ( х+ 1) =0

( х+ 1) (х 2 +1) = 0, следовательно х + 1 = 0 или х 2 + 1 = 0

х = –1 х 2 = –1 2 = 64

2.

2 а – 5 0

2 * 15 – 5 = 25 0

Е) Уравнения с модулем

х 2 – 5х = 0, если х > 0

если х 0

Ж) Уравнения с параметрами

IV. Устная самостоятельная работа с последующей проверкой (уровневая)

Задание: Решите уравнение, фиксируя на листе только ответы.

“А” ( на оценку “3”)

“Б” (на “4”)

(х 2 – 1) 2 – 11 ( х 2 – 1) + 24 = 0

х 7 + х 6 + х + 1 = 0

(х + 5) (х – 6/7) (х + 1/3) (х –8) = 0

“В” ( на “5”)

1. ( х 2 –2) 2 – 9 (х 2 – 2 ) + 14 = 0

3. х 5 + х 4 + х + 1 = 0

V. Итоги урока Виды уравнений; Способы решения; Активность учащихся, оценка устной работы.

VI. Домашнее задание

Индивидуальные карточки с наборами уравнений.

«Виды уравнений и способы их решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Доклад по математике на тему:

«Виды уравнений и способы их решения»

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположила материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попыталась показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стала ограничиваться только действительным решением, но и указала комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто не законченно. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений.

Математика. выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

1. УРАВНЕНИЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв). Для записи тождества наряду со знаком также используется знак .

Пример: 5 *7 – 6 = 20 + 9

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: ,,c, . – или теми же буквами, снабженными индексами:, , . или , , . ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита:x, y, z. По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя и т. д. неизвестными

Решением уравнения называют такой буквенный или числовой набор неизвестных, которые обращает его в тождество (соответственно числовое или буквенное). Часто решение уравнения называют его также его корнем.

1.1. Линейное уравнение

Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

ax + b = c, где a ≠ 0

Это уравнение имеет единственное решение:

1.2 Квадратное уравнение

Квадратным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

a + bx + c = 0, где a ≠ 0

Дискриминантом квадратного уравнения называют число D =

Справедливы следующие утверждения

1. Если D 0 , то уравнение решений не имеет

2. Если D = 0 , то уравнение имеет единственное решение

3. Если D 0, то уравнение имеет 2 решения

1.2.1 Неполное квадратное уравнение

Неполным квадратным уравнением называют квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

При c =0, уравнение принимает вид:

a+ bx = 0 или x (ax + b) = 0

т.е. либо х=0, либо ax + b = 0, откуда х=0,

При b =0, уравнение принимает вид: a+ c = 0

если выражение 0, то уравнение решений не имеет

если с=0, то уравнение имеет единственное решение: х=0

если выражение, 0,то решений два:

1.2.2 Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета

Приведённым квадратным уравнением называют уравнение вида

т.е. квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице.

Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым. Для этого достаточно каждый коэффициент данного уравнения разделить на первый коэффициент, т.е. на а

Теорема Виета : Если приведённое квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –p, а их произведение- свободному члену q.

Теорема, обратная теореме Виета : Если сумма двух чисел и равна числу –p, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведённого квадратного уравнения + px + q =0

Пример: Используя теорему, обратную теореме Виета, найти корни уравнения

Это уравнение имеет целые корни, Корни легко угадать: это действительно: (-1) * (-2) = 2 и (-1) +(-2) = -3. Значит, числа -1 и -2 являются корнями данного уравнения.

3. Биквадратное уравнение

Уравнение вида a + b + c = 0 называют биквадратным

Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Заметим что t ≥ 0, так как t = исходное уравнение имеет вид

Т.е. является обыкновенной квадратным уравнением, которое решается по приведенной выше схеме.

Пусть и – корни полученного квадратного уравнения. Если > 0 и , исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

Если одно из чисел или отрицательно, а другое неотрицательно, то имеем два корня, либо один (x = 0).

Введение нового переменного – наиболее распространенный метод решения самых разных уравнений.

Решение. Обозначим и заметим, что t ≥ 0

Тогда исходное уравнение примет вид:

Так как D > 0, то полученное квадратное уравнение имеет два корня

Оба эти корня удовлетворяют условию (*) следовательно, уравнение имеет четыре действительных решения

3. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Из теоремы Виета следует очень важное утверждение:

теорема о разложении квадратного трёхчлена на множители.

Если квадратное уравнение a + bx + c = 0, где a ≠ 0 имеет действительные корни то квадратный трёхчлен

a + bx + c = 0 раскладывается на множители следующим образом: a + bx + c = а ( х- ) ( х — )

Пример: Разложить н множители выражение 3 + 5x

Решение: Найдём корни уравнения 3 + 5x = 0

_{По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:}

3. Уравнение, содержащие переменную под знаком модуля

Модулем числа называют само это число, если оно неотрицательно, либо число — | |.

Формальная запись этого определения такова:

При решении уравнений, содержащих переменную плд знаком модуля, используется определение модуля.

пример: решить уравнение: | |=

решение: по определению модуля:

Говорят, что выражение модулем меняет свой знак в точке x=1, поэтому все множество чисел разбивается на два числовых промежутка.

а) При x ≥ 1 исходное уравнение принимает вид:

3. Иррациональные уравнения

1. Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени

Возведение обеих частей уравнения в степень

При возведении обеих частей уравнения в четную степень (в частности, в квадрат) получается уравнение, неравносильному исходному.

Кроме корней исходного уравнения могут появиться посторонние корни, т.е. числа, являющиеся решениями возведенного в четную степень уравнения, но не являющимися корнями исходного уравнения.

Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляет в начальное уравнение и проверяют, верное ли получается числовое неравенство.

Пример. Решить уравнение

Решение возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:

Проверка. При но 1 ≠ -1 следовательно корень x=-1 посторонний

При x = 2; так как 2=2, то проверяемое число действительно является корнем исходного уравнения

1.7 Тригонометрические уравнения

Решение: так как то уравнение можно переписать следующим образом:

2 ( 1 — ) + 7 — 5 = 0, т.е. 27

Полагая, что = y, приходим к квадратному уравнению

2 – 7 y + 3 = 0, откуда = = 3, и получаем совокупность двух простейших уравнений

Первое из них имеет решение

, а второе решений не имеет

1.8 Системы уравнений

Система уравнений состоит из двух и более алгебраических уравнений.

Решением системы называют такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество.

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет.

2. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим несколько способов решения систем уравнений

2.1 Графический способ решения системы уравнений

Решение. Каждое уравнение системы задаёт линейную функцию. Построим графики этих уравнений в одной системе координат. Координаты пересечений графиков обращают оба уравнения системы в верные равенства. Решением системы является пара значений переменных: х=1,у=1. Ответ можно записать так: ( 1; 1 )

Графический способ решения систем уравнения состоит в следующем:

1. Строятся графики каждого уравнения системы

2. Определяются точки пересечения графиков

3. Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков.

2.2 Метод подстановки

Решение: Из первого уравнения выразим x через y:

Подставив полученное выражение во второе уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным

Подставив это число в выражение

Получим ответ: x = 3

Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки

1. Из одного уравнения системы одна переменная выражается через другую.

2. Полученное выражение подставляется во второе уравнение системы.

3. Решается полученное после подстановки уравнение

4. Полученное решение подставляется в выражение из п.1

5. Если при решении последнего уравнения получается тождество 0=0, то это означает, что исходная система имеет бесконечное множество решений вида (х, у), каждое из которых удовлетворяет первому уравнению системы. Если же при тождественных преобразованиях последнего уравнения получится неверное числовое равенство, то система решений не имеет.

2.3 Метод сложения

Решение: Домножим первое уравнение системы на 2, а второе — на 3. Сложим получившиеся уравнения почленно и запишем результат вместо второго уравнения системы.

Числа, на которые домножают уравнения перед сложением, выбирают так, чтобы при суммировании коэффициент перед одной из переменных стал равен нулю.

В результате преобразований уравнений системы и замены одного из уравнений результатом суммирования других получены равносильные системы.

Две системы называют равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой системы и наоборот.

2.4 Метод введения новой переменной

При решении систем нелинейных уравнений, как правило, применя-ются различные комбинации нескольких методов решения систем.

Решение. Преобразуем второе уравнение системы воспользовавшись формулой сокращенного умножения

Из первого уравнения системы x-y =1; подставим 1 во второе уравнение. Запишем получившуюся систему:

К этой системе уже вполне применим метод – выразить одно неизвестное из первого уравнения системы и подставить во второе:

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XXI век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мой доклад может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного доклада я не ставила себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.

На основании всего выше изложенного можно сделать вывод, что уравнения необходимы в современном мире не только для решения практических задач, но и в качестве научного инструмента. Поэтому так много ученых изучали этот вопрос и продолжают изучать.

1. Большой справочник для школьников, поступающие в вузы

П.И. Алтынов, И. И. Баврин, Е. М. Бойченко и др. – М. Дрофа, 2016-840 с.

2. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.

Уравнения, виды уравнений и способы их решений

— систематизировать и обобщить знания обучающихся об уравнениях;

— расширить и обобщить знания обучающихся по теме – решение дробных рациональных уравнений, используя при этом различные приемы и методы.

— повторить различные способы решения дробных рациональных уравнений.

— продолжить обучение решению дробных рациональных уравнений по алгоритму решения дробных рациональных уравнений.

Просмотр содержимого документа
«Уравнения, виды уравнений и способы их решений»

Тема. Решение дробных рациональных уравнений. Обобщение и систематизация темы: «Уравнения, виды уравнений и способы их решения»

— систематизировать и обобщить знания обучающихся об уравнениях;

— расширить и обобщить знания обучающихся по теме – решение дробных рациональных уравнений, используя при этом различные приемы и методы.

— повторить различные способы решения дробных рациональных уравнений.

— продолжить обучение решению дробных рациональных уравнений по алгоритму решения дробных рациональных уравнений. — провести проверку уровня усвоения темы путем проведения самостоятельной работы.

— развитие коммуникативных навыков общения и умения слушать и слышать;

— развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

— развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;

— развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

— воспитание познавательного интереса к предмету;

— стимулировать самостоятельную деятельность, способствовать формированию коммуникативных навыков. — воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов. Цель урока: — обеспечить осознанное усвоение обучающимися алгоритма решения дробно-рациональных уравнений;

— активизировать мыслительную деятельность школьников через активное участие каждого в процессе работы.

Тип урока: Урок систематизации и обобщения знаний и умений.. Методы и технологии, используемые на уроке: проблемно-поисковые, словесные практические, ИКТ, групповые, технология развития критического мышления, технология коллективной мыслительной деятельности (КМД)

Технология креативного мышления «Шесть думающих шляп». Оборудование и наглядность: базовый учебник Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс: учеб. Для обучающихся общеобразовательных учреждений. «Просвещение», 2014г; ноутбук, дополнительный раздаточный материал. Ресурсы: презентация «Решение дробных рациональных уравнений», наборы шляпок, кластеры уравнений, раздаточный материал для рефлексии.

умение понимать смысл поставленной задачи, критичность мышления

Познавательные: понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом

Регулятивные: целеполагание, планирование, контроль, коррекция, оценка

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

Формирование навыка решения рациональных уравнений, умения работать с текстом задачи; грамотно использовать математическую терминологию и символику.

Линейное уравнение, квадратное уравнение, полное, неполное, алгоритм решения линейного и квадратного уравнения, рациональное уравнение, решение дробных рациональных уравнений и алгоритм решения дробно- рациональных уравнений.

Добрый день, ребята! Запишите дату в тетрадях и тему урока: « Решение дробных рациональных уравнений»

Покоряет вершины тот,

кто к ним стремится

1.Определи для себя значение данного материала. 2.Наметь цель и не отступай от неё. 3. Радуйся, когда тебе удастся достичь хотя бы маленького успеха. 4. Не огорчайся, если с первого раза не удастся. Попробуй ещё раз. 5. Не бойся попросить помощи. 6. Спрашивай, если в чём-то сомневаешься. 7. Я верю, что каждый из вас справится.

II.Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний обучающихся. Актуализация знаний

Двое учащихся работают у доски (решение упражнений аналогичных домашним)

При каких значениях a равно нулю значение дроби:

а) ; Ответ :0 б) . Ответ: 0 (Работа в диалоге)

2. Остальные учащиеся проверяют выполнение домашнего задания, применяя «Инсерт»

3. Проверь себя ( Слайд )

нет решений

Ответ: нет решений

П ример 3.

x = -8 ОДЗ: х

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) 5; б) корней нет; в) – 6.

5. Проверка кластеров «Уравнения, виды и способы их решений»

III. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

Сегодня на уроке мне хотелось бы вас пригласить поглубже заглянуть в замечательный мир математики – в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.

Слово учителя о преемственности при изучении темы «Уравнения, виды и способы их решений»

Уравнения в школьном курсе математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

IV.Обобщение и систематизация знаний по теме «Уравнения, виды и способы их решений»

В период обучения в начальной школе формируются базовые знания, умения и навыки, на основе которых будет строиться дальнейшее изучение математики. Начальная школа занимает решающее место: проблема преемственности может не возникнуть только в случае, когда правильно организованно начальное обучение. Другими словами, на начальную школу возлагается высочайшая ответственность за все дальнейшее обучение математики. Вот почему так важно дать учащимся наиболее полную информацию о сущности уравнения и показать им пути его решения.

2 класс «Знакомство с уравнениями. Решение уравнений методом подбора»

— Ребята, посмотрите, пожалуйста, на доску. Вам знакома такая запись?

 + 4 = 12 (Да, это пример с «окошком»)

— А такая: а + 4? (Да, это буквенное выражение)

— Что вы делали в первом случае? (подбирали число, чтобы запись была верной)

— Что делали во втором случае? (Вместо буквы подставляли числа и вычисляли).

— А сейчас внимательно посмотрите на запись, которую принёс нам Знайка Математик.

— На что она похожа? (И на пример с «окошечком» и на буквенное выражение).

— Что нам говорит знак «=»? (Это равенство)

— Какое равенство? Все числа в нём известны? (нет).

— Что неизвестно? (первое число)

— Как оно обозначено? (латинской буквой)

— Если оно неизвестно, перед нами какая встаёт задача? (Найти, узнать какое это число)

— Найдите это число, чтобы равенство было верным. (Это число 8, потому что 8 + 4 = 12)

— А знаете, что вы сейчас сделали? Вы решили уравнение х+4=12

— Попробуем сделать вывод из всего сказанного и сделанного. Уравнение это (учитель показывает знак «=») (Равенство)

— Которое содержит что (показываю на х)? (Неизвестное число)

— Что надо сделать с неизвестным числом? (Его надо найти)

— Как обозначается неизвестное число? (Латинской буквой)

— Кто может сказать, что такое уравнение? (Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число)

— Что значит «решить уравнение»? Найти такое число, чтобы равенство было верным)

— Давайте решим уравнения (3 человека у доски)

8 + х = 14 13 — х = 7 a – 5 = 9

— Как нашли неизвестное число? ( Дети рассказывают алгоритм: 1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть другое слагаемое.

2) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. 3) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое).

— Ребята, вот и близится к концу наш урок. С каким математическим понятием мы познакомились? (Мы познакомились с понятием «уравнение»)

— Тогда скажите, что же такое уравнение?

(Равенство, которое содержит неизвестное число).

— А что значит решить уравнение?

(Решить уравнение – значит найти неизвестное число, чтобы равенство было верным).

– Что такое уравнение? (Равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти).

Самоопределение к деятельности

– Среди записей найдите уравнение.

38 + х 74 – 18 = 56 х + 6 3

46 + 12 = 58 х – 8 = 63 х – 22

– Как вы догадались? (Ответы детей)

– Давайте вспомним, как называются компоненты при вычитании? Что нам нужно найти? Какое правило поможет нам найти уменьшаемое? (Чтобы найти неизвестное уменьшаемое нужно к разности прибавить вычитаемое). Решите уравнение.

– Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?

– Совершенно верно. Мы продолжим учиться решать уравнения.

1. Повторение связи между суммой и слагаемыми.

-Давай вспомним компоненты при сложении( Слагаемое, слагаемое, сумма)

-Что такое 5? (Первое слагаемое)

-Что такое 7? (Второе слагаемое)

-Что такое 12? (Сумма).

-Что необходимо сделать, чтобы найти неизвестное первое слагаемое? (Нужно из суммы вычесть второе слагаемое). 12-7=5

-Что необходимо сделать, чтобы найти второе слагаемое? (Надо из суммы вычесть первое слагаемое). 12—5=7

алгоритм действий по решению простых уравнений

· Определить, что неизвестно в уравнении.

· Применить правило нахождения неизвестного слагаемого.

Алгоритм решения сложного уравнения.

2) Упростить правую часть уравнения.

3)Определить, что неизвестно.

4)Применить правило нахождение неизвестного слагаемого.

— Понятие об уравнении

Способы решения уравнений:

а) способ подбора;

б) решение уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

в) решение уравнений на основе соотношения между частью и целым.

г) решение уравнений на основе знаний конкретного смысла умножения.

1.Уравнения с одной переменной или с одним неизвестным

а).Что такое уравнение? (Равенство, содержащее неизвестное).

б).Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство).

в).Что значит решить уравнение? (Значит найти все его корни или доказать, что их нет).

2. Линейное уравнение

Уравнение вида ах =в , где х – переменная , а и в — некоторые числа , называется линейным уравнением с одной переменной .

Уравнение вида ах =в при а имеет один корень,

при а=0, в не имеет корней,

при а =0 , в= 0 имеет бесконечно много корней ( любое число является его корнем)

Квадратным уравнением называется уравнение вида где x — переменная, а , в и с – некоторые числа, причём а 0.

а , в и с – коэффициенты КУ, число а – называется первым коэффициентом, число в – вторым коэффициентом и число с – свободным членом.

Степень уравнения вида ( наибольшая степень переменной х – квадрат), поэтому – квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при равен 1, называется приведенным квадратным уравнением.

Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

, где с ;

, где в

.

Выражение — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения и его обозначают буквой D = — 4ac

Если D , уравнение имеет два корня,

Если D , то уравнение не имеет корней,

Если D , то уравнение имеет один корень.

Формулы корней КУ:

1. , где D = — 4ac,

2. , где D = — ac для квадратного уравнения ,

3.Теорема Виета — сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. х₁ + х₂ = — ,

а произведение корней равно свободному члену, т.е. х₁ х₂ = ..

2.Дробные рациональные уравнения

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля, называют целыми выражениями.

Выражения, помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменной, называются дробными выражениями

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Что является допустимым значением рациональной дроби (допустимым значением рациональной дроби являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби)

Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными уравнениями.

Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является целым выражением, называют целым.

Способы решения дробно- рациональных уравнений:

1.Исползование свойство дроби равной нулю,

2.Использование свойства дроби, равной 1,

3. Использование свойства пропорции,

4.Введение новой переменной.

Какое уравнение с одной переменной называется целым (целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого — целые выражения)

Дайте определение биквадратного уравнения (уравнение вида + c = 0, где являющемся квадратным относительно , называется биквадратным уравнением).

Какое уравнение называется дробным рациональным (дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причём хотя бы одно из них – дробным выражением­­).

Какие существует способов решения дробных рациональных уравнений:

1.Приведение дробей к общему знаменателю;

2.Умножение дробей на общий знаменатель всех дробей.

3. Графический способ;

4. Введение новой переменной;

5.Выделение из дробей целой части)

Когда дробь равна нулю (дробь равна нулю когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю)

Первый алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножают обе части уравнения на этот знаменатель.

3.Решают получившееся целое уравнение.

4.Исключают из его коней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дроби.

5. Записываем ответ.

Второй алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

Решить получившееся уравнение.

Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения.

Обобщая весь теоретический материал, хочу вас спросить:

Какие виды уравнений вы знаете? Определение. (линейные, квадратные и приводимые к квадратным, дробные, целые, рациональные , дробно- рациональные)

Когда в уравнении появляются посторонние корни?

V.Применение знаний и умений в новой ситуации

VI.Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция

3.71. Тракторист должен был вспахать за некоторое время поле площадью 180 га. Но ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, поэтому закончил работу на 1 день раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?

Во время объяснения задачи применяем технологию «Шесть думающих шляпок»

1.Надеваем белую шляпу – и собираем информацию, которая у нас имеется.

А имеется …… проговариваем условие задачи….

Необходимо определить ……. За сколько дней тракторист вспахал поле?

А как это сделать? …… Площадь поля разделить на количество гектар, которые он вспахивал каждый день

2. Надеваем черную шляпу – ребята, рассмотрим, какие имеются недостатки, проблемы в решении задачи. Но мы не знаем его ежедневной нормы по плану

3.Надеваем красную шляпу – ребята выскажите свои эмоции предположения по данному вопросу, есть ли у вас предложения, как решить задачу, что необходимо сделать.

4.Надеваем желтую шляпу – мы видим, что у …. Давайте посчитаем, …. Каким правилом можно воспользоваться, чтобы узнать ….?

5. Надеваем зеленую шляпу – мы определили, что ……

6.Надеваем синюю шляпу – решим полученное уравнение

Пусть тракторист по плану в день должен вспахать х га.,- дневная норма

но по факту он вспахивал по (х+2) га . Тогда

— дней по плану для выполнение задания;

— дней по факту для выполнение задания.

По условию задачи составляем и решаем уравнение:

— = 1

ОДЗ: х 0, х -2

Общий знаменатель .

Умножим обе части уравнения на

получим ,

180х +360 – 180х =

D = 4+ 1440 =1444 , 2 корня

х= (-2 , — удовлетворяет условию задачи

– не удовлетворяет условию задачи так, как количество гектаров не может быть отрицателным числом.

180 18 =10 ( дней) по плану, а по факту – (10-1) = 9 ( дней).

VII. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

3.10. Решите уравнение

3.11. Решите уравнение

3.12. Решите уравнение

3.13. Решите уравнение

Применение метода на этапе РЕФЛЕКСИИ:

Белая: На мой взгляд, больше всего удалось….. (факты, информация).

Красная: Меня удивило….. (эмоции, интуиция).

Чёрная: Я думаю, что ……. (критика, оценка).

Жёлтая: Для меня было открытием то, что………….. (логический позитив, оптимизм).

Зелёная: На будущее я учту…………. (креатив, новая идея).

Синяя: Я могу похвалить за….. (обобщение).

С помощью светофора ученики оценивают свою работу.

Урок прошел удачно: я участвовал в работе класса, с заданиями справился успешно. Я очень доволен собой.

Сегодня на уроке не все задания оказались легкими. Мне было трудно, но я справился. Я доволен собой!

Задания на уроке оказались трудными. Мне нужна помощь!

Список использованной литературы: (слайд 13)

1. Макарычев Ю.Н. Алгебра.8 класс.- М.:«Просвещение»,2016

2. Жохов В.И., Карташева Г.Д. Уроки алгебры в 8 классе.-М.:«Просвещение»,2014

3. Ященко И.В. ОГЭ (ГИА-9): 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1.-М.: Издательство «Экзамен», 2015

4. Лаппо Л.Д. ЕГЭ. Математика. Тематические тренировочные задания. -М.: Издательство «Экзамен», 2015