Уроки по алгебре решение иррациональных уравнений

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Конспект урока «Решение иррациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебра 11 класс Михальчук Н.Л. учитель математики НИСЦ РО «Восток» для одаренных детей

Тема: Решение иррациональных уравнений

Цель: обеспечение качества усвоения учащимися образовательного стандарта по теме «Решение иррациональных уравнений».

рассмотреть понятие «иррациональное уравнение»;

рассмотреть основные и дополнительные методы решения иррациональных
уравнений;

способствовать сознательному усвоению учащимися способов решения
иррациональных уравнений.

Организационный момент (2 мин) Приветствие

Вашему вниманию предлагаем урок-лекцию по теме «Решение иррациональных уравнений», предназначенную для изучения учащимися 9-10 классов и для обобщения, дополнительного осмысления и обогащения знаний учащимися 11 классов. Решение иррациональных уравнений, по мнению учащихся и педагогов обычно вызывает затруднения. Обращение к данной теме при подготовке к ЕНТ, поступлению ВУЗы является актуальным и целесообразным. Во время занятия мы рассмотрим не только основные методы решения иррациональных уравнений, но и дополнительные. Прежде, чем рассмотреть способы и приемы решения данных уравнений, обратимся к определению иррационального уравнения.

Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком радикала, а также под знаком возведения в дробную степень.

Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том, чтобы освободиться от знака радикала и получить рациональное уравнение.

При решении иррациональных уравнений применяют следующие основные методы: • возведение в степень обеих частей уравнения;

введение новой переменной;

разложение на множители.

Кроме основных методов следует рассмотреть дополнительные методы решения иррациональных уравнений:

умножение на сопряженное;

переход к уравнению с модулем;

метод «пристального взгляда» (метод анализа уравнения);

использование монотонности функции.

Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, используя вышеперечисленные методы, необходимо обратить внимание на вид данного уравнения. Это позволяет определить, есть ли смысл решать уравнение вообще, и если да, то каким способом его можно решить.

К примеру, нет смысла приступать к решению уравнения

арифметического корня не может быть отрицательным числом.

Рассмотрим каждый из основных методов.

а) если иррациональное уравнение содержит только один радикал, то нужно
записать так, чтобы в одной части знака равенства оказался только этот радикал.
Затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, чтобы получилось
рациональное уравнение;

б) если в иррациональном уравнении содержится два или более радикала, то
сначала изолируется один из радикалов, затем обе части уравнения возводят в
одну и ту же степень, и повторяют операцию возведения в степень до тех пор,
пока не получится рациональное уравнение.

3) При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается уравнение, не равносильное данному. Поэтому необходимо проверить, удовлетворяют или не удовлетворяют найденные значения переменной данному уравнению. Проверка является составной частью решения иррациональных уравнений, целью которой является исключение посторонних корней уравнения.

В данном случае проверка оказалась довольно простой. Но могут встретиться уравнения, корни которых иррациональны, и проверка приводит к очень сложным вычислениям. В таких случаях лучше решать простейшие иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований по следующей схеме:

Уроки алгебры по теме «Методы решения иррациональных уравнений» с информационными технологиями в соответствии с требованиями к формированию УУД. 11-й класс

Класс: 11

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (427 кБ)

“Под методом же я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное, и без излишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что доступно”. Декарт

Урок проводиться с использованием информационных технологий. К сценарию урока прилагается технологическая карта урока в соответствии с требованиями к формированию УУД (Приложение 7).

Приемы решения иррациональных уравнений – наиболее трудный раздел математики. Иррациональные уравнения играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры школьников. Тема актуальна еще тем, что иррациональные уравнения очень часто встречаются на ЕГЭ, с их помощью легко диагностируются знания выпускников по многим понятиям, начиная с такого понятия как равносильность уравнений и заканчивая понятием ОДЗ.

В программе алгебры и начал анализа в 11 классе этот раздел затрагивается поверхностно (всего несколько часов). Поэтому важно преподнести материал с максимальной эффективностью.

На изучение темы отвожу 6 часов (три пары).

• Первая пара – изучение и первичное закрепление изученного материала (лекция, решение ключевых задач). Четкая классификация методов решения способствует более осознанному освоению темы, формируется алгоритм действий в различной ситуации, формируются навыки конспектирования лекции, которые применяются при выполнении домашних и тренировочных работ. Очень важно – учебный материал воспроизводится по схеме, по образцу теории, а не по образцу какого-то приведенного в пример уравнения.
• Вторая пара – углубление знаний о методах и приемах решения иррациональных уравнений. (Групповая самостоятельная работа на основе многоуровневой системы задач).
• Третья пара –обобщение знаний. (Зачетное занятие)

Цели, которые ставлю при изучении:

Первая пара: изучение и первичное закрепление изученного материала (лекция, решение ключевых задач).

Цели урока.

Образовательная — сформировать понятие иррациональных уравнений, познакомить с некоторыми приемами решения иррациональных уравнений.
• Развивающая – способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решения, научить применять эти методы, способствовать развитию математического кругозора.
• Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство ответственности, самоконтроля.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Методы обучения:

репродуктивный;
• частично-поисковый.

Формы организации учебной деятельности:

фронтальная;
• индивидуальная.

Организационный момент. Постановка цели урока, мотивация.
1. Актуализация опорных знаний.
2. Изучение новой темы. Лекция.
3. Первичное закрепление нового материала: на уровне воспроизведения и на уровне применения знаний.
4. Подведение итогов.

I. Организационный момент.

II. Изучение нового материала.

Объяснение нового материала опирается на знания учащихся, полученные ими при изучении тем: “Определение и основные свойства корня n-й степени” и “Теоремы о равносильности преобразований уравнений”.

Разбирается классификация иррациональных уравнений по видам, приводятся примеры, изучаются способы решения иррациональных уравнений, разбираются примеры решения уравнений каждого вида. Все понятия, формулировки, примеры демонстрируются в презентации, примеры решения уравнений разбираются на доске. Лекция проводится в виде фронтальной беседы. В ходе беседы ученики составляют краткий конспект лекции: Приложение 1.

III. Отработка навыков решения ключевых задач.

закрепление предварительных знаний и умений, усвоенных при первичной отработке нового материала, и дальнейшее их развитие;
• выявление пробелов в знаниях и умениях учащихся и последующая их ликвидация;
• развитие навыков правильного мышления.

1. Учащиеся решают предложенное уравнение первого типа (у каждого свой вариант), заносят свои результаты в таблицу на интерактивной доске, правильные ответы закрыты шторой, затем открываются правильные ответы, результаты сравниваются, анализируют все вместе полученные ошибки, исправляют их, снова решая уравнение. Приложение 2.

2. Учащимся предлагается решить уравнения других типов по той же схеме.

3. Учащиеся выполняют интерактивную самостоятельную работу на компьютере (самостоятельная работа записана на дисках из Интернет — http://www.uztest.ru), учитель в роли консультанта.

4. Результаты заносятся в таблицу мониторинга учебных навыков по каждому виду уравнений. Приложение 3.

IV. Подведение итогов урока

Анализ допущенных ошибок.
• Краткое повторение изученного теоретического материала, повторение алгоритмов решения иррациональных уравнений.
• Объявление и выставление оценок в журнал.

V. Домашнее задание (дается дифференцировано).

Вторая пара: групповая самостоятельная работа на основе многоуровневой системы задач.

Цели урока:

Тип урока: урок систематизации, обобщения и расширения знаний и умений учащихся, связанных с применением методов решения иррациональных уравнений.

Формы организации учебной деятельности:

фронтальная;
• индивидуальная;
• групповая;
• ваимопроверка.

Организационный момент. Постановка цели урока, мотивация.
1. Проверка домашнего задания.
2. Повторение теории.
3. Отработка ранее изученного материала: на уровне применения знаний (групповая самостоятельная работа по решению предложенных заданий на основе многоуровневой системы задач).
4. Подведение итогов.

I. Организационный момент.

III. Повторение (с использованием презентации)

а) используя конспект предыдущей лекции в ходе занятия, вспомнить классификацию видов иррациональных уравнений, алгоритм решения каждого из видов в общем виде;

б) вспомнить приемы решения ключевых задач;

• Работа в группах: Приложение 4:

IV. Многоуровневая самостоятельная работа.

Цели:

Учащимся предлагается самостоятельная работа из трех вариантов по трем уровням сложности, в каждом варианте еще три уровня: знакомая задача, модифицированная задача и незнакомая задача. Приложение 5

Знакомая задача – ученик воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий (действует в знакомой обстановке).

Модифицированная задача – деятельность не только воспроизводится по памяти, а видоизменяется в новых условиях.

Незнакомая задача – учебная деятельность носит творческий характер, нужно уметь ориентироваться в новой ситуации и вырабатывать совершенно новые программы действий.

• Работа в группах:

Ребята делятся на три группы по уровням сформированности умения действовать в ситуации, самостоятельно решают в группе, выполненные работы сканируются и проецируются на экран, затем каждая группа защищает свое решение. Каждый оценивает себя по участию в группе. Оценки за работу вносятся в оценочный лист. Приложение 6.

V. Подведение итогов урока

VI. Домашнее задание:

Подготовиться к зачетному занятию. Тексты вариантов зачетной работы раздаются заранее.

Третья пара: зачет.

Цели урока:

Тип урока: урок проверки знаний и умений учащихся, связанных с применением методов решения иррациональных уравнений.

Формы организации учебной деятельности:

индивидуальная;
• взаимопроверка.

Организационный момент. Постановка цели урока, мотивация.
1. Выполнение зачетной работы.
2. Защита зачетной работы.
3. Подведение итогов.

I. Организационный момент.

III. Подведение итогов.

VI. Домашнее задание.

Подготовиться к контрольной работе. Задания для подготовки к контрольной работе раздаются заранее.