Уроки по математике тригонометрические уравнения

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Разработка урока «Решение тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Цель урока : закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ »

Учитель математики Ахмедова У.Д .

Тип урока : урок закрепления и систематизации знаний.

Цель урока : закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов.

— закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

— обобщение и систематизация материала;

— создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

— воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

— формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

— развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке :

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации : компьютер, мультимедийный проектор, таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема ( приложение 1 );

на партах учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы , листы учета знаний, лист бумаги для проведения теста , комплект «Математическая игра-лотерея», карточки заданий с уравнениями, карточки с домашними заданиями.

1. Организационный момент.(3 мин)

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

Учитель: «Сегодня у нас очередной урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».

2. Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель : «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, повторим основные формулы». На столах находится раздаточный материал –это приложения, справочный материал, карточки заданий и математическое информационное лото .

Ученики работают с опорным конспектом (приложение №1).

3. Выполнение устного теста.(3 мин)

Работа выполняется на листах

Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
а) (нет);
б) (да);
в) (нет);
г) (нет);
д) (да).
Ученики осуществляют контроль в ходе самопроверки (правильные ответы на слайде).

4. Математическая лотерея(5 мин). Работа парная, меняются листами и проверяют друг у друга правильность подбора ответов,(выставляются оценки на листах учета знаний)

Учитель: «Найдите правильные ответы к вопросам на листочках, т. е. разложите ответы под вопросами-заданиями и прочитайте историческую информацию».

( Приложение 2 . Математическое лото, 3 страницы).

Принцип действия лото: перед учащимися лист с вопросами-заданиями, и разрезанные информационные двусторонние прямоугольнички

Листок с ответами с обратной стороны заклеивается табличками с информацией, разрезаются на прямоугольнички, которые прикладываются под соответствующими вопросами. Учащимся предлагается вначале установить соответствие вопросов и ответов, а затем перевернуть таблички и прочитать «историческую» математическую информацию.

Лист с заданиями на математическом лото.

5. Работа в группах.(20 мин)

Учитель обращается к учащимся:

«Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений»

• Введение новой переменной.
• Разложение на множители.
• Деление обеих частей уравнения на cos(mx) для однородных уравнений первой степени.
• Деление обеих частей уравнения на cos 2 (mx) для однородных уравнений второй степени.
• Метод предварительного преобразования с помощью формул

Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает каким рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению. Время на решение 15-20 минут.

1 группа готовит решение уравнения а),

2 группа-уравнение б )

3 группа –уравнение в)

4 группа –уравнение г)

«А по пятому уравнению д) попрошу обратить внимание группе учащихся»( можно разделить 2 –м учащимся решить одним из прилагаемых способов, а второй группке-другим способом). Если не успевают на уроке –задать на дом, с последующим объяснением на уроках.

Математическая эстафета «Кто быстрее?»

Каждая группа получает карточки с уравнениями, они- находятся в файлах ,на столах. Решив уравнение, один из учащихся группы выходит, изначально записывает ответ на доске , а потом проверяет решение со слайда.

Карточка с уравнениями.( на столах- карточки без ответов)

Урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ «Куйбышевская СОШ»

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

Решение тригонометрических уравнений

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Дроздова Лариса Александровна

— актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

— рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

— закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

— познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

— содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

— формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

— отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

— вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

1. Вводно-мотивационная часть

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Учитель: Учитель: Первый шаг к успеху при решении тригонометрических уравнений – это умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

При решении более сложных уравнений, на какой вопрос вы должны в первую очередь дать ответ?

Ученик: Какой способ применить? Какую формулу?

Учитель: Этот вопрос встаёт при решении любых уравнений, но при решении тригонометрических уравнений ответить на него особенно сложно. Почему?

Ученик: Много формул, сложно выбрать ту формулу, которая необходима в данном случае.

Учитель: Итак, проблему мы обозначили, попробуем её решить. Вспомните, какие уравнения мы решали, какие способы применяли, какие формулы. Постарайтесь разбить их на группы и изобразить это в виде модели.

Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня — рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа: Определение значений тригонометрических функций некоторых углов

Пример 1. .

Разделим обе части уравнения на 4.

,

.

Пример 2. .

Разделим обе части уравнения на.

,

,

уравнение не имеет корней, так как .

Ошибка заключена в делении на 4.

Ошибка заключена в делении на выраже-ние, содержащее переменную.

2. Основная часть урока.

Давайте, проверим домашнюю работу. (На экране отсканированная копия работы ученика), ученик объясняет способы решения уравнения.

Ребята, а теперь вспомним основные методы решения тригонометрических уравнений.

На доске собирается схема. Анализ методов решения.

1. Введение новой переменной.

2sin 2 x – 5sinx + 2 = 0.

Пусть sinx = t, |t|≤1,

Имеем: 2t 2 – 5t + 2 = 0.

Получаем и решаем tg = z,

2. Разложение на множители

2sinx cos5x – cos5x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

3. Однородные тригонометрические уравнения.

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).

Разделим на cosx ≠ 0.

Получаем и решаем: a tgx + b = 0; …

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

1) если а ≠ 0, разделим на cos 2 x ≠0

имеем : a tg 2 x + b tgx + c = 0.

имеем: b sinx cosx + c cos 2 x =0; разделим на cos 2 x ≠0

получаем и решаем

4. Неоднородные тригонометрические уравнения.

asinx + bcosx = c

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Введение вспомогательного угла

Опорные конспекты раздать учащимся

Учитель: Вспомнив теорию, давайте решим несколько тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

3. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой результатов работы Каждому учащемуся дается уравнение для решения, определить метод и решить его.

3 sin x+ 5 cos x = 0 — arctg 5/3+ πk, k Z.

5 sin2 х — 3 sin х cos х — 2 cos2 х =0 π/4 + πk; — arctg 0,4 + πn, k, n Z

3 cos2 х + 2 sin х cos х =0 π /2 + π k; — arctg 1,5 + π n, k, n Z

2 sin 2 x — sin x — 1 = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0 — arctg 2/3+ π k, k Z.

6 sin 2 х — 5 sin х cos х + cos 2 х =0 arctg 1/3+ π k; arctg 0,5 + π n, k, n Z

Физминутка. Найти под сидениями стульев ответ для своего уравнения.

2.2 Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим. Познакомимся с еще одним методом решения тригонометрических уравнений.

Метод оценки левой и правой частей.

Предлагаю решить вам следующее уравнение .

Использование тригонометрических формул не упростит уравнение.

Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравенствах , .

Так как наибольшее значение, которое могут принять функции и равно 1, то уравнение равносильно системе уравнений

Решим каждое уравнение.

, ,

. .

Все корни первого уравнения являются корнями второго ().

,

,

,

.

Следовательно, решением исходного уравнения является множество .

Ответ: .

Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1, получим х = 2 π+ 8πn, n Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn — 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.

Просмотр слайда, где исп. Триг. Ур.

Решение задания ЕГЭ

а) Ре­ши­те урав­не­ние sin 2 x = sin ( π /2+x)

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Сибирь. Ва­ри­ант 302.

3.1 Тест по определению метода

Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений:

а) ; – однородное уравнение ().

б) ; – ур-е, решаемое путем разложения на множ.

в) ; – ур-е, сводящееся к квадратным (замена пер.).

г) ; – ур-е, решаемое с пом. триг. преобразований

д) . – однородное уравнение ().

3.2 Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений я предлагаю вам выполнить домашнее задание дифференцированного содержания:

*Дифференцированное домашнее задание

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

3.3 Учитель: Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения, и с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

— Сегодня я узнал…

Учитель: Спасибо вам за насыщенную работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!