Уроки по теме тригонометрические уравнения 10 класс

Урок по теме Решение тригонометрических уравнений в 10 классе
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Конспект урока по теме Решение тригонометрических уравнений в 10 классе

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока по алгебре в 10 классе

Автор: Буянтуева Валентина Табитуевна,

учитель математики МБОУ «Курумканская СОШ № 2»

Тема: Решение тригонометрических уравнений

• образовательные – закрепить и систематизировать виды и методы решения тригонометрических уравнений;
• развивающие – уметь применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного; развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;
• воспитательные – формирование коммуникативных способностей у учащихся.

Тип урока : урок закрепления и систематизации знаний и умений учащихся.

Методы обучения : частично – поисковый, эвристическая беседа, работа по опорным схемам, решение познавательных обобщающих задач, самопроверка.

Формы организации урока : фронтальная, групповая, индивидуальная формы

Оборудование урока: компьютер, проектор, экран, «кубик – экзаменатор»

I Организационный момент (1 мин)

II Математический диктант (7 мин)

III Историческая справка (4 мин)

IV Систематизация теоретического материала (определение видов, типов тригонометрических уравнений и методов их решения) (7 мин)

V Обсуждение идей решения уравнений (10 мин)

VI Дифференцированная самостоятельная работа (10 мин)

VII Домашнее задание (2 мин)

VIII Итог урока (4 мин)

I Организационный момент . Объявление темы, цели урока.

II Математический диктант . (через копирку)

Цель: контроль знаний, приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

1. Чему равен arcsin(-a)?
2. Чему равен arcctg(-a)?
3. Каково будет решение уравнения sin x = a при IaI большем 1?
4. Какой формулой выражается решение уравнения sin x = а при IaI ≤ 1 ?
5. Какой формулой выражается решение уравнения ctg х = а?
6. Каким будет решение уравнения cos x =1?
7. Каким будет решение уравнения cos x =-1?
8. Каким будет решение уравнения cos x =0?

1. Чему равен arccos(-a) ?
2. Чему равен arctg(-a) ?
3. Каково будет решение уравнения cos x = a при IaI большем 1?
4. Какой формулой выражается решение уравнения cos x = a при IaI ≤ 1?
5. Какой формулой выражается решение уравнения tgх= а?
6. Каким будет решение уравнения sin x =1 ?
7. Каким будет решение уравнения sin x = -1?
8. Каким будет решение уравнения sin x =0?

После окончания математического диктанта собираются листочки – оригиналы (верхние), копии (нижние листы) остаются у детей. Учитель открывает правильные ответы на экране, идет самопроверка, самооценка.

Итоги математического диктанта. Выводы. (Учитель спрашивает у кого все верно, у кого 1 ошибка и т.д.)

III Историческая справка

Выступают 2 учащихся, которые подготовили сообщения о развитии тригонометрических уравнений.

Цель: развитие математического кругозора, воспитание интереса к математике.

IV Систематизация теоретического материала (определение видов, типов тригонометрических уравнений и методов их решения)

Цель: Обобщение, систематизация знаний по видам, типам тригонометрических уравнений и методам их решений.

Фронтальная работа. На доске написаны уравнения:

1. s in 3x = 1
2. cos 2 x – 9 cos x + 8 = 0
3. 2 cos 2 x + 3 sin x = 0
4. sin 2x =-
5. tg x + 3ctg x = 4
6. ctg( + ) =
7. sin x— cos x = 0
8. 2 cos 3x + 4 sin x = 7
9. (ctg x – 1)(2sin + 1) = 0
10. 6 sin 2 х + 4 sin x cos x = 1
11. sin 2x – sin x = 0

12) cos x + sin x = 2

Учитель: Ответы учащихся (примерные )

— Назовите те уравнения, которые простейшие. (1, 4, 6)

— Как они решаются? (по известным формулам)

— Назовите одноименные уравнения и сводящиеся к ним. (2, 3, 5, 7, 10)

— Какие уравнения из них однородные и сводящиеся к ним? (7, 10)

— Каков общий вид однородных уравнений? ( аcos x + вsin x = 0; аcos 2 x + вsin 2 x = 0 ит.д.)

— Как их решаем? (делим обе части на cos x ; cos 2 x и т.д.)

— Почему имеем право делить на них? ( cos x и sin x одновременно равняться нулю не могут)

— Назовите те уравнения, которые можно решить методом замены переменной. (2, 3, 5, 10)

— Какие из этих уравнений можно решить методом разложения на множители? (9, 11)

— Как решить уравнение № 8 ? (методом оценки левой и правой частей)

— Каким методом решить уравнение № 12 ? (методом введения вспомогательного аргумента)

Работа в парах . Задания на карточках: Для данных уравнений выберите соответствующий прием решения и нужную формулу, укажите их стрелкой:

Уравнения Приемы, методы решения Формулы

2sin 2 х + cos x – 1 = 0 разложение на множители 2 cos 2 α = 1 + cos 2α

3sin 2x – sin 2x = 0 понижение степени уравнения sin 2 α + cos 2 α= 1

4 cos 2 x + cos 2x = 5 преобразование суммы sin 2α = 2 sinα cosα

sin 7x + sinx = cos 3x замена переменной

Проверка через проектор на экране.

Выводы : При решении тригонометрических уравнений нет единого метода, следуя которому удалось бы решить такие уравнения. Но общая цель состоит в преобразовании входящих в уравнение выражений таким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к простейшему или распалось на несколько простейших. Ведущий принцип – не терять корни !

— На изображенных на схемах множествах точек выберите те, координаты каждого из которых удовлетворяют заданному условию:

1) сos 8 х + sin 8 х = 1

2) cos 8 х + sin 7 х = 1

3) cos 7 х+ sin 7 х = — 1

схема а) схема б) схема в)

— Вопрос: Найдите соответствующую схему для уравнения cos 8 х+ sin 9 х = 1

— Сколько таких уравнений можно составить?

Ответ: Схема а). Таких уравнений можно составить бесконечно много.

V Обсуждение и раскрытие идей решения уравнений ( Групповая работа )

На доске записаны 6 уравнений, каждая из 6 групп выбирает 1 уравнение, обсуждает, решает в группе.

1. cos 2 x — 2 cosx = 0
2. 2 sin x cos x = 1
3. сos( x) + 3 sin x = 0
4. (2 cos x – 1) (tg x — ) = 0
5. sin x — cosx = 0
6. sin 2 х — 5 cosx – 5 = 0

После истечения времени представители групп выходят к доске, показывают и объясняют ход решения. Остальные группы задают вопросы и записывают решения в тетрадь.

VI Дифференцированная самостоятельная работа

(на выбор учащихся предлагается 3 варианта: А –на «3», В – на «4», С – на «5»)

Вариант А Вариант В Вариант С

1. сosx = 1) sin 2 х — 3 cosx = 0 1) 8 sin 2 х + cosx + 1 = 0
2. 2 sin x – 1)(tg x — ) = 0 2) tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0 2) 4 sin 2 х + 3 sin x cos x — cos 2 x = 0

Проверка самостоятельной работы осуществляется в форме самопроверки по готовым решениям на экране через проектор, оценку ставят сами ученики.

VII Домашнее задание (на выбор учащихся) Вариант А — №23 (в,г); Вариант В — №24 (а,г); Вариант С — №25 (в,г), 26 (а).

VIII Итог урока. Рефлексия . Оценки за урок, желательно всем. Вот уже несколько уроков вы решаете тригонометрические уравнения. Что это за уравнения? Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете? Методы их решения?

Игра «Кубик – экзаменатор» по решению простейших тригонометрических уравнений.

Каждый игрок бросает кубик один раз, решает устно простейшее тригонометрическое уравнение, которое написано на грани кубика. Развертка кубика.

Урок алгебры в 10 — м классе по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

“Приобретать знания — храбрость, приумножать их — мудрость, а умело применять — великое искусство”.

Цели и задачи урока:

1) повторить основные формулы и методы решения тригонометрических уравнений;

2) закрепить умения и навыки решения тригонометрических уравнений общими и специальными методами;

3) познакомить учащихся с новым методом решения уравнений;

4) развивать у учащихся ключевые компетенции.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, презентация.

I. Организующее начало урока

— Сегодня у нас не совсем обычный урок. У нас присутствуют гости, и я надеюсь, что мы не разочаруем.

И начать урок мне хочется тоже не совсем обычно.

— Французский математик и физик Паскаль говорил: “Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его намного занимательным”.

Я решила начать последовать совету Паскаля и предложить вам разгадать такой ребус.

— Как вы думаете, почему я предложила вам расшифровать такое слово? Что оно означает?

“Тригонометрия” происходит от греческого слова τριγουο треугольник и греческого μετρειν измерять, т.е. означает измерение треугольников. Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

— Одной из наиболее важных тем тригонометрии является решение тригонометрических уравнений, с которыми мы познакомились в этом учебном году. Эта тема очень актуальна и важна, т.к. входит в вопросы переводного экзамена в 10 кл. и широко представлена на ЕГЭ в 11 кл.

Итак, тема сегодняшнего урока “Решение тригонометрических уравнений”.

II Актуализация знаний

Слайд 4. “Решение тригонометрических уравнений”.

Восточная мудрость гласит: “Приобретать знания — храбрость, приумножать их — мудрость, а умело применять — великое искусство”

Какие-то знания по теме “Тригонометрические уравнения” мы уже приобрели, приумножать знания — никогда не поздно, поэтому и на сегодняшнем уроке будем мудрыми, и еще раз посмотрим, насколько умело мы применяем наши знания.

Чтобы решить любое тригонометрическое уравнение, что необходимо знать?

— Общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

— Какие простейшие тригонометрические уравнения вы знаете?

— sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

— Вспомните общие формулы их решений.

Простейшие тригонометрические уравнения sin x = a, cos x = a

— Что надо помнить при решении таких уравнений?

— Частные случаи. Слайд 7

Уравнения вида tg x = a и ctg x = a.

— Проверим, насколько хорошо мы умеем решать простейшие тригонометрические уравнения.

Укажите общую формулу, по которой находятся все корни уравнения. Слайд 9. (Для удобства — задания на листах на каждом столе)

1)

А) ,

Б) ,

Г) ,

Д) .

2)

А) ,

Б) ,

В) ,

Д) .

1)

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) ,

Д)

2)

А) ,

Б)

В)

Г) ,

Д) .

Проверьте себя! (Указаны правильные ответы).

— Поднимите руку, кто не допустил ни одной ошибки.

III. Основная часть урока

— Решение простейших уравнений мы вспомнили, можно приступать к решению более сложных уравнений.

Вспомним, какие методы тригонометрических уравнений мы знаем.

Наверное, надо начать с общих методов:

— разложение на множители,

— метод введения новой переменной,

— функциональный (применение свойств функций).

К специальным методам относятся:

— применение формул тригонометрии,

— метод вспомогательного аргумента,

— метод универсальной подстановки.

Перед каждым учеником лежит лист, на котором записано 15 уравнений.

Будем работать над решением этих уравнений. Некоторые решим устно, более сложные — письменно.

1. .

— Введение новой переменной (у = sin х)

2.

— Сведение к квадратному уравнению относительно cos x.

3.

— Применение формул тригонометрии, разложение на множители.

4.

— Сведение к одноименным функциям, сведение к квадратному уравнению.

5.

— Как называется такое уравнение и как его решить?

— Однородное II степени : cos 2 x 0

Сведение квадратному уравнению относительно tg.

6.

— Как удобно решить такое уравнение?

— С помощью метода вспомогательного аргумента

— Вернемся к нашему уравнению (Слайд 17)

Чему равен ?

7.

— Использование свойства ограниченности функций

I слагаемое 2, II слагаемое 4, следовательно, сумма 6, т.е. корней нет.

8. Укажите число корней уравнения на промежутке [0; 2π]

— Какой метод решения удобно использовать?

— А теперь решим следующие уравнения письменно (сразу 2 человека на боковых досках).

9.

Упростим левую часть уравнения:

,

— посторонний корень

10.

— решений нет, т.к.

.

— Внимательно посмотрите на уравнение №11.

Можете ли вы сейчас предложить метод его решения? В чем заключается проблема его решения?

— В левой и правой частях этого уравнения находятся функции, имеющие различную природу.

— Такие уравнения решаются особым методом — “Методом мажорант”, с которым вас познакомит ваш одноклассник.

Выступление ученика по теме “Метод мажорант”.

— Посмотрите, какие еще уравнения можно решить этим же методом?

— Уравнения№12 и №15.

12. (один ученик решает на доске с полным объяснением).

Подставим найденное число в I уравнение.

=> — корень уравнения.

IV. Постановка домашнего задания

Уравнения №13, 14, 15 — ваше домашнее задание.

13.

14.

15.

При подведении итога урока мне хочется задать вам один вопрос: что бы вы посоветовали ученику, который только начинает учиться решать тригонометрические уравнения?

Начните свои советы со слов: “Помни, что…”.

И в конце нашего урока хочу обратить ваше внимание на такие слова Станислава Коваля “Уравнение — это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

Урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ «Куйбышевская СОШ»

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

Решение тригонометрических уравнений

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Дроздова Лариса Александровна

— актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

— рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

— закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

— познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

— содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

— формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

— отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

— вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

1. Вводно-мотивационная часть

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Учитель: Учитель: Первый шаг к успеху при решении тригонометрических уравнений – это умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

При решении более сложных уравнений, на какой вопрос вы должны в первую очередь дать ответ?

Ученик: Какой способ применить? Какую формулу?

Учитель: Этот вопрос встаёт при решении любых уравнений, но при решении тригонометрических уравнений ответить на него особенно сложно. Почему?

Ученик: Много формул, сложно выбрать ту формулу, которая необходима в данном случае.

Учитель: Итак, проблему мы обозначили, попробуем её решить. Вспомните, какие уравнения мы решали, какие способы применяли, какие формулы. Постарайтесь разбить их на группы и изобразить это в виде модели.

Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня — рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа: Определение значений тригонометрических функций некоторых углов

Пример 1. .

Разделим обе части уравнения на 4.

,

.

Пример 2. .

Разделим обе части уравнения на.

,

,

уравнение не имеет корней, так как .

Ошибка заключена в делении на 4.

Ошибка заключена в делении на выраже-ние, содержащее переменную.

2. Основная часть урока.

Давайте, проверим домашнюю работу. (На экране отсканированная копия работы ученика), ученик объясняет способы решения уравнения.

Ребята, а теперь вспомним основные методы решения тригонометрических уравнений.

На доске собирается схема. Анализ методов решения.

1. Введение новой переменной.

2sin 2 x – 5sinx + 2 = 0.

Пусть sinx = t, |t|≤1,

Имеем: 2t 2 – 5t + 2 = 0.

Получаем и решаем tg = z,

2. Разложение на множители

2sinx cos5x – cos5x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

3. Однородные тригонометрические уравнения.

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).

Разделим на cosx ≠ 0.

Получаем и решаем: a tgx + b = 0; …

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

1) если а ≠ 0, разделим на cos 2 x ≠0

имеем : a tg 2 x + b tgx + c = 0.

имеем: b sinx cosx + c cos 2 x =0; разделим на cos 2 x ≠0

получаем и решаем

4. Неоднородные тригонометрические уравнения.

asinx + bcosx = c

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Введение вспомогательного угла

Опорные конспекты раздать учащимся

Учитель: Вспомнив теорию, давайте решим несколько тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

3. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой результатов работы Каждому учащемуся дается уравнение для решения, определить метод и решить его.

3 sin x+ 5 cos x = 0 — arctg 5/3+ πk, k Z.

5 sin2 х — 3 sin х cos х — 2 cos2 х =0 π/4 + πk; — arctg 0,4 + πn, k, n Z

3 cos2 х + 2 sin х cos х =0 π /2 + π k; — arctg 1,5 + π n, k, n Z

2 sin 2 x — sin x — 1 = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0 — arctg 2/3+ π k, k Z.

6 sin 2 х — 5 sin х cos х + cos 2 х =0 arctg 1/3+ π k; arctg 0,5 + π n, k, n Z

Физминутка. Найти под сидениями стульев ответ для своего уравнения.

2.2 Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим. Познакомимся с еще одним методом решения тригонометрических уравнений.

Метод оценки левой и правой частей.

Предлагаю решить вам следующее уравнение .

Использование тригонометрических формул не упростит уравнение.

Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравенствах , .

Так как наибольшее значение, которое могут принять функции и равно 1, то уравнение равносильно системе уравнений

Решим каждое уравнение.

, ,

. .

Все корни первого уравнения являются корнями второго ().

,

,

,

.

Следовательно, решением исходного уравнения является множество .

Ответ: .

Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1, получим х = 2 π+ 8πn, n Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn — 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.

Просмотр слайда, где исп. Триг. Ур.

Решение задания ЕГЭ

а) Ре­ши­те урав­не­ние sin 2 x = sin ( π /2+x)

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Сибирь. Ва­ри­ант 302.

3.1 Тест по определению метода

Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений:

а) ; – однородное уравнение ().

б) ; – ур-е, решаемое путем разложения на множ.

в) ; – ур-е, сводящееся к квадратным (замена пер.).

г) ; – ур-е, решаемое с пом. триг. преобразований

д) . – однородное уравнение ().

3.2 Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений я предлагаю вам выполнить домашнее задание дифференцированного содержания:

*Дифференцированное домашнее задание

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

3.3 Учитель: Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения, и с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

— Сегодня я узнал…

Учитель: Спасибо вам за насыщенную работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!