Уроки уравнения и неравенства с модулем

Урок алгебры в 9-м классе (занятие элективного курса) по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модули»

Презентация к уроку

На занятии изучается методика решения уравнений и неравенств, содержащих модули. Даётся подробная классификация уравнений и неравенств с модулем.

Введение. Определение модуля и его геометрический смысл.

«Модуль» (от лат. modulus-мера) ввёл английский математик Р. Котес (1682–1716). Знак модуля – немецкий математик (в 1841г.) К. Вейерштрасс (1815–1897).

Модуль числа a есть расстояние от нуля до точки a,

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, соответствующим этим точкам.

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно решить простейшие уравнения и неравенства с модулем. Простейшие уравнения и неравенства удобно решать с помощью равносильных преобразований: возведение в квадрат и т.д.

Изучение нового материала

Учитель даёт систематизацию материала, классификацию уравнений и неравенств с модулем. Показывает презентацию. Таблица №1

Таблица №1 Классификация уравнений и неравенств с модулем

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Разработка урока по теме «Решение уравнений и неравенств с модулем»
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Целью урока является совершенствование навыков решения уравнений и неравенств с модулем. В ходе урока рассматриваются рациональные приёмы и методы решения. Урок предназначен для классов с расширенным изучением математики.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: Решение уравнений и неравенств с модулем.

Тип урока: Урок совершенствования умений и навыков.

дидактическая : научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения;

развивающая: развивать логическое мышление, память познавательный интерес, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

воспитательная: развивать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыков контроля и самоконтроля.

Этапы урока и их содержание

1. Организационный этап

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения уравнений и неравенств с модулем, используя как традиционные методы, так и нестандартные подходы

1. Проверка домашнего задания

На дом вам было предложено решить уравнения

различными способами. Посмотрим ваше решение

Многообразие приёмов решения задач с модулем подталкивает нас к выбору более рационального из них при решении конкретных уравнений или неравенств.

Решение (на основе аналитического определения модуля).

№ 2 Решить уравнение

Решение (применение геометрической интерпретации модуля).

На геометрическом языке: требуется найти точки с координатами х такие, что сумма расстояний от этих точек до точек с координатами -1 и 1 равна 2. Очевидно, что эти точки располагаются на отрезке

Ответ: .

№ 3 Решите неравенство

Решение (функционально графический метод).

Обе части неравенства определены на R. Левая часть неравенства принимает значения из отрезка , а значения правой части составляют луч . Следовательно, исходное неравенство может иметь решение только, если выполняется система

№ 4 Найти все значения параметра b при которых уравнение имеет ровно три различных корня.

Решение (графический способ).

у = и построим её график используя преобразования, содержащие модуль, а также параллельный перенос.

Графиком функции у =b является прямая параллельная оси х.

Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно три различных корня при b=-1.

№ 5 Решить неравенство .

Решение (метод интервалов).

Пусть f(x)= , тогда

Решим уравнение f(x)=0. Получим:

Осталось установить знак f(x) на промежутках: (-∞;-4), (-4;-1), (-1;2), (2;5), (5;+∞).

(заранее приготовлен слайд на интерактивной доске)

1) Решить неравенство

2) Найти все значения параметра b при которых уравнение имеет ровно два различных корня.

3) Решить уравнение

Решение уравнений и неравенств с модулем требует от учащихся глубоких теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания трудолюбия, сообразительности. Наверное,

поэтому такие задания и включены в материалы ЕГЭ.

Сегодня на уроке все очень хорошо поработали, 15 человек получили оценки. Молодцы ребята!

сообщает тему урока, дату проведения, цель урока

Если учащиеся не готовы показать все способы, то решение показывается на экране интерактивной доски,(приложение 1).

Вызывает по желанию 7-х человек к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам (приложение 2) Выставляет оценку за д/з.

Направляет на выбор рационального метода решения

Совместно с учащимися выбирает метод решения уравнения.

Следит за грамотным решением предложенного уравнения и одновременно проверяет индивидуальные решения уравнений у учащихся работающих на боковой доске по карточке, выставляет оценки за работу.

Направляет на выбор рационального метода решения

Следит за верностью

рассуждений учащихся и одновременно проверяет решение заданий по карточкам, выставляет оценки за работу.

Обсуждает совместно с учащимися метод решения неравенства, следит за грамотностью рассуждений учащихся и верной записью решения неравенства. Выставляет оценку за работу.

Поясняет домашнее задание, обращая внимание учащихся на то, что аналогичные задания были разобраны на уроке.

Первое неравенство можно решить методом интервалов, второе уравнение –графически, а третье-с помощью аналитического определения модуля, рассматривая три случая (подмодульное выражение больше нуля, равно нулю и меньше нуля ) отдельно.

Сообщают об отсутствующих

записывают в тетради

7 учащихся работают у доски, остальные принимают активное участие в устном теоретическом опросе

Предлагают методы решения, один учащийся устно объясняет решение уравнения №1.

2 человека работают на боковой доске индивидуально (приложение №3), остальные записывают в тетрадь решение уравнения №2.

Один ученик решает неравенство № 3.

Остальные участвуют в выборе рационального метода решения неравенства. Записывают решение в тетрадь.

Один ученик решает задание № 4 у доски. Три ученика работают по карточкам (приложение №4),

остальные записывают в тетрадь решение задания № 4.

Один ученик решает у доски, остальные записывают решение неравенства №5 в тетради.

Внимательно прослушав пояснение учителя, записывают домашнее задание.

Предварительный просмотр:

2)

а) метод «интервалов» для уравнений с модулем

найдём нули модулей: х=2; х=1

ни одна из систем совокупности не имеет решений.

Ответ: нет корней.

б) решение значительно упрощается если заметить, что левая часть уравнения принимает только неотрицательные значения, значит х-8 0 х 8

На множестве х 8 уравнение примет вид х-2+х-1=х-8, откуда следует х=-5, что противоречит условию х 8.

Ответ: нет корней.

5) Решить неравенство .

а) (применение геометрической интерпретации модуля)

Поскольку — расстояние между точками М(х) и М(-2) на числовой прямой, то нужно найти все такие точки М(х), которые удалены от точки М(-2) на расстояние, меньшее чем 3.Очевидно что это точки с координатами удовлетворяющими неравенству

б) (метод интервалов для непрерывных функций)

Пусть f(x) = ,тогда D = R

Решим уравнение f(x)=0. Получим:

Осталось установить знак f(x) на промежутках: (-∞;-5), (-5;1), (1;+∞).